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1、名师总结精品知识点数列通项公式的四大题型类型一：观察分析法（已知前几项，写通项公式）具体方法有：(1) 联想比较法。如由-1，2，-3，4，-5，联想到数列 -1 ，1，-1 ，1，和1，2，3，4，5，可得nann)1(；由 3，6，11，18，27，联想到数列1，4，9，16，25，可得22nan；由,117,95,73,51可知该数列中各项分式的分子为2n-1, 而分母比分子多4，故3212nnan. (2) 逐差法。如1，3，5，7，9，可发现：3-1=5-3=7-5=9-7=2 ，于是归纳得12nan. (3) 逐商法 . 如 1，3，9，27，81，可发现, 32781927391
2、3于是归纳可得13nna. (4) 待定系数法 . 如：3，6，11，18，27，38，一次逐差得数列3，5，7，9，11，二次逐差得数列 2 ，2，2，2，一般地，逐差k 次后可得常数列，则通项公式可设为k 次多项式 . 可以猜想通项公式为cbnanan2. 令 n=1,2,3, 得a+b+c=3 1 4a+2b+c=6 2 9a+3b+c=11 3 联立123 可得 a=1,b=0,c=2. 经检验适合，故22nan. 类型二：定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例 1等差数列na是递增数列，前n 项和为nS，且931,aaa成等比数
3、列，255aS求数列na的通项公式. 解：设数列na公差为)0(dd931,aaa成等比数列，9123aaa，即)8()2(1121daadadad120d，da1255aS211)4(2455dada由得：531a，53dnnan5353)1(53点评： 利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。类型三：前n项和法（已知前n项和，求通项公式）名师总结精品知识点若已知数列的前n项和nS与na的关系，求数列na的通项na可用公式2111nSSnSannn求解。例 2已知数列na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn求数列na的通项公式。解：由112111
4、1aaSa当2n时，有,) 1(2)(211nnnnnnaaSSa1122( 1),nnnaa,)1(22221nnnaa，.2212aa11221122( 1) 2( 1)2 ( 1)nnnnnaa.) 1(2323) 2(1 2) 1(2)2() 2() 2() 1(21211211nnnnnnnnn经验证11a也满足上式，所以) 1(23212nnna点评：利用公式211nSSnSannnn求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并类型四：由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特
5、殊数列。题型 1： 递推公式为)(1nfaann解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法 (逐差相加法 )求解。例 3. 已知数列na满足211a，nnaann211，求na。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分别令) 1( , 3 ,2 ,1nn，代入上式得)1(n个等式累加之，即)()()()(1342312nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn所以naan111211a，nnan1231121（2n）名师总结精品知识点211a=1123满足上式故nan123题型 2 ：递推公式为nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为)(
6、1nfaann，利用累乘法 ( 逐商相乘法 ) 求解。例 4. 已知数列na满足321a，nnanna11，求na。解：由条件知11nnaann，分别令)1( ,3, 2, 1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即1342312nnaaaaaaaann1433221naan11又321a，nan32（2n）321a满足上式故nan32注：由nnanfa)(1和1a确定的递推数列na的通项还可以如下求得：所以1) 1(nnanfa，21)2(nnanfa，12)1 ( afa依次向前代入，得1)1()2()1(afnfnfan，题型三、形如1nnnpaaqap的递推式解法：取倒法构造辅助数列例
7、 5：111,21nnnnnaaaaaa数列满足:求通项公式题型 4、递推式：nfpaann 1解法：只需构造数列nb，消去nf带来的差异其中nf有多种不同形式111n11n12111221a112aannnnnnaaaaaa解：是以为首项，以为公差的等差数列名师总结精品知识点nf为常数，即递推公式为qpaann 1（其中 p，q 均为常数，)0) 1(ppq）。解法：转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例 6. 已知数列na中，11a，321nnaa，求na. 解：设递推公式321nnaa可以转化为)(21tatann即321ttaann.故递推公式为
8、)3(231nnaa,令3nnab，则4311ab,且23311nnnnaabb.所以nb是以41b为首项， 2 为公比的等比数列，则11224nnnb, 所以321nna. nf为一次多项式，即递推公式为srnpaann 1解法：转化为：)()1(1BAnapBnAann，其中A，再利用换元法转化为等比数列求解。例 7设数列na：)2( ,123,411nnaaann，求na. 解：设BAnbaB，Anabnnnn则，将1,nnaa代入递推式，得12) 1(31nBnAbBAnbnn)133()23(31ABnAbn13323ABBAA11BA1nabnn取（）则13nnbb,又61b，故n
9、nnb32361代入（）得132nann备注：本题也可由1231naann ,1)1(2321naann（3n）两式相减得2)(3211nnnnaaaa转化为qpbbnn1求之. )(nf为n的二次式，则可设CBnAnabnn2; 题型 5 ：递推公式为nnnqpaa1（其中 p，q 均为常数，)0)1)(1(qppq）。（或1nnnaparq,其中 p，q, r 均为常数）解法：该类型较题型3 要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再应用类型 3 的方法解决。例 8. 已知数列na中，
10、651a,11)21(31nnnaa，求na。解：在11)21(31nnnaa两边乘以12n得：1)2(32211nnnnaa名师总结精品知识点令nnnab2，则1321nnbb,应用例 7 解法得：nnb)32(23所以nnnnnba)31(2)21(32题型 5： 递推公式为nnnqapaa12（其中 p，q 均为常数）。解法：先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中 s，t 满足qstpts，再应用前面类型3 的方法求解。例 9. 已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na。解：由nnnaaa313212可转化为)(112nnnnsaatsaa即nnnstaatsa12)(3132stts311ts或131ts这里不妨选用311ts（当然也可选用131ts，大家可以试一试），则)(31112nnnnaaaannaa1是以首项为112aa，公比为31的等比数列 ,所以11)31(nnnaa,应用类型 1 的方法，分别令)1( ,3 ,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累加之，即2101)31()31()31(nnaa311)31(11n又11a，所以1)31(4347nna。
