《第十五章坐标系与参数方程(必记知识点+必明易错点+必会方法)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十五章坐标系与参数方程(必记知识点+必明易错点+必会方法)（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习好资料欢迎下载第十五章坐标系与参数方程第一节坐_标_系对应学生用书P1821平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：x x， 0 ，y y， 0的作用下，点P(x，y)对应到点P (x， y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系与极坐标(1)极坐标系：如图所示， 在平面内取一个定点O，叫做极点， 自极点 O 引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度 )及其正方向 (通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标：设 M 是平面内一点，极点O 与点 M 的距离 |OM|叫做点M
2、的极径，记为 ；以极轴Ox为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点 M 的极角，记为 .有序数对 ( ， )叫做点 M 的极坐标，记为M( ， )一般地，不做特殊说明时，我们认为 0， 可取任意实数3极坐标与直角坐标的互化设 M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是 ( ， )( 0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点 M 直角坐标 (x，y)极坐标 ( ， ) 互化公式x cos y sin 2x2y2tan yxx04.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为 r 的圆 r(0 2)学习好资料欢迎下载圆心为 (r,0)，半径为 r 的圆 2r
3、cos_2 2圆心为r，2，半径为 r 的圆 2rsin_ (0 )过极点，倾斜角为的直线(1) ( R)或 ( R) (2) ( 0)和 ( 0) 过点 (a,0)，与极轴垂直的直线 cos_ a2 2过点 a，2，与极轴平行的直线 sin_ a(0 )1在将直角坐标化为极坐标求极角时，易忽视判断点所在的象限(即角 的终边的位置)2在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视注意极坐标 ( ， )( ， 2k)，( ， 2k)( kZ)表示同一点的坐标试一试 1点 P 的极坐标为2，3，则点 P 的直角坐标为_2极坐标方程 sin 2cos 能表示的曲线的直角坐标方程为_1确定极坐标方程的四要素极
4、点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可2直角坐标 (x，y)化为极坐标 ( ， )的步骤(1)运用 x2y2，tan yx(x0) (2)在0,2 )内由 tan yx(x0)求 时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限练一练 1在极坐标系中，圆心在(2，)且过极点的圆的方程为_2已知直线的极坐标方程为 sin ( 4)22，则极点到该直线的距离是_对应学生用书P183学习好资料欢迎下载考点一平面直角坐标系中的伸缩变换1 (2014 佛山模拟 )设平面上的伸缩变换的坐标表达式为x12x，y 3y，则在这一坐标变换下正弦曲线ysin x 的方程变为 _2函数 ysin(2x4)经伸
5、缩变换x 2x，y12y后的解析式为 _3 双曲线 C： x2y2641 经过 ：x 3x，2y y变换后所得曲线C的焦点坐标为_类题通法 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示在伸缩变换x x， 0y y， 0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆考点二极坐标与直角坐标的互化典例 (2014石家庄模拟 )在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3212 cos 10( 0)(1)求曲线 C1的直角坐标方程；(2)曲线 C2的方程为x216y241，设 P，Q 分
6、别为曲线C1与曲线 C2上的任意一点，求|PQ|的最小值类题通法 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行针对训练 (2014 合肥模拟 )在极坐标系中，直线 cos sin 10 与圆 2sin 的位置关系是_学习好资料欢迎下载考点三极坐标方程及应用典例 (2014郑州模拟 )已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x22cos ，y2sin (为参数 )，在极坐标系 (与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为 sin( 4)2 2. (1)求曲线 C 在极坐标
7、系中的方程；(2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长在本例 (1)的条件下，求曲线C 与曲线 C1： cos 3( 0,0 0)所表示的图形的交点的极坐标是 _2(2013 惠州模拟 )在极坐标系中，已知两点A，B 的极坐标分别为(3，3)、 (4，6)，则AOB(其中 O 为极点 )的面积为 _3 (2013 天津高考 )已知圆的极坐标方程为 4cos ，圆心为 C, 点 P的极坐标为4，3，则|CP|_. 4在极坐标系中，圆： 2 上的点到直线： (cos 3sin )6 的距离的最小值为_5(2014 银川调研 )已知直线l：x t，y 1t (t 为参数 )与圆 C： 4 2cos(
8、4)(1)试判断直线l 和圆 C 的位置关系；(2)求圆上的点到直线l 的距离的最大值课下提升考能1(2014 福州质检 )求经过极点且圆心的极坐标为C 2，4的圆 C 的极坐标方程2在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C 的学习好资料欢迎下载极坐标方程为 cos 31，M，N 分别为曲线C 与 x 轴， y 轴的交点(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求点M，N 的极坐标；(2)设 MN 的中点为P，求直线OP 的极坐标方程3在极坐标系中定点A 1，2，点 B 在直线 l： cos sin 0(0 b0)xacos ybsin (为参数 ) 1不明确
9、直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程xx0tcos ，yy0tsin .(t 为参数 ) 注意： t 是参数， 则是直线的倾斜角2参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性练一练 1若直线的参数方程为x12t，y23t(t 为参数 )，则直线的斜率为_2参数方程为x3t22yt21(0t5)的曲线为 _ (填“线段”“射线”“圆弧”或“双曲线的一支”) 1化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法2利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点 P(x0，y0
10、)，倾斜角为的直线 l 的参数方程为xx0tcos ，yy0tsin (t 为参数 )若 A，B 为直线 l 上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段 AB 的中点为M，点 M 所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0t1t22；(2)|PM|t0|t1t22；(3)|AB| |t2t1|；(4)|PA| |PB|t1 t2|. 学习好资料欢迎下载练一练 1已知P1，P2是直线x112t，y 232t(t 为参数 )上的两点，它们所对应的参数分别为t1，t2，则线段 P1P2的中点到点P(1， 2)的距离是 _2已知直线x212t，y 112t(t 为参数 )与圆 x2y2
11、4 相交于 B，C 两点，则 |BC|的值为_对应学生用书P185考点一参数方程与普通方程的互化1.曲线x23cos y3 2sin (为参数 )中两焦点间的距离是_解析： 曲线化为普通方程为y218x2121， c6，故焦距为2 6. 2(2014 西安质检 )若直线 3x4ym0 与圆x 1cos ，y 2sin ( 为参数 )相切，则实数m 的值是 _3(2014 武汉调研 )在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线x t，y3t(t 为参数， tR)与曲线 C1： 4sin 异于点 O 的交点为A，与曲线 C2： 2sin 异于点 O 的交点
12、为 B，则 |AB| _. 类题通法 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围学习好资料欢迎下载考点二参数方程的应用典例 (2014郑州模拟 )已知直线C1：x1 tcos ，ytsin (t 为参数 )，曲线 C2：xcos ，ysin (为参数 )(1)当 3时，求 C1与 C2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作 C1的垂线， 垂足为 A，P 为 OA 的中点， 当 变化时， 求点 P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线在本例 (1)条件下，若直线C1：x1 tcos ytsin ，
13、(t 为参数 )，与直线 C2xs，y1as(s 为参数 )垂直，求a. 类题通法 1 解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题2对于形如xx0at，yy0bt(t 为参数 ) 当 a2b21 时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题针对训练 (2013 新课标卷 )已知动点P，Q 在曲线 C：x2cos t，y2sin t(t 为参数 )上，对应参数分别为t与 t2为 (0 2)，M 为 PQ 的中点(1)求 M 的轨迹的参数方程；(2)将 M 到坐标原点的距离d 表示为 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点学习好资料欢迎下载考点三极
14、坐标、参数方程的综合应用典例 (2013福建高考 )在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点A 的极坐标为2，4，直线 l 的极坐标方程为 cos 4a，且点 A 在直线 l 上(1)求 a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆 C 的参数方程为x1cos ，ysin (为参数 )，试判断直线l 与圆 C 的位置关系类题通法 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程针对训练 (2014 石家庄质检 )已知 P 为半圆 C：xcos ，ysin (为参数， 0 ) 上
15、的点，点A 的坐标为 (1,0) ，O 为坐标原点，点M 在射线 OP 上，线段OM 与半圆 C 的弧AP的长度均为3. 学习好资料欢迎下载(1)以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；(2)求直线 AM 的参数方程对应学生用书P186课堂练通考点1(2013 重庆高考 )在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极坐标方程为 cos 4 的直线与曲线xt2，yt3(t 为参数 )相交于 A，B 两点，则|AB|_. 2(2013 江西高考 )设曲线C 的参数方程为xt，yt2(t 为参数 )，若以直角坐标系的原点为极点， x
16、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为_3 (2014 合肥模拟 )在平面直角坐标系中， 直线 l 的参数方程为x12t，y2232t(t 为参数 )，若以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos 4.若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，则|AB|_. 4(2014 苏州模拟 )在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为： sin2 cos . (1)求曲线 C 的直角坐标方程；学习好资料欢迎下载(2)若直线 l 的参数方程为x 222t，y22t(t 为参数 )， 直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，求|AB|的值课下提升考能1在平面直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为xt 1，y2t(t 为参数 )，曲线 C 的参数方程为x2tan2 ，y2tan (为参数 )试求直线l 和曲线 C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标2(2014 长春模拟 )已知曲线C 的极坐标方程为 4cos ，以极点为原点，极
