《高中数学第二讲直线与圆的位置关系知识归纳(20211118083241)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二讲直线与圆的位置关系知识归纳(20211118083241)（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二讲直线与圆的位置关系 对应学生用书P35 近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等题目难度不大， 以容易题为主 对于与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查题型，常见的证明方法有：到某定点的距离都相等；如果某两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角) 等1( 湖南高考 ) 如图，已知AB，BC是O的两条弦，AOBC，
2、AB3，BC22，则O的半径等于 _解析：设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，ADAB2BD21，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BDCDADDE，即 (2)22r1，解得r32. 答案：322.( 新课标全国卷) 如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E. 证明：(1)BEEC；(2)ADDE2PB2. 证明： (1) 连接AB，AC. 由题设知PAPD，故PADPDA. 因为PDADACDCA，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - -
3、- - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，从而BEEC. 因此BEEC. (2) 由切割线定理得PA2PBPC. 因为PAPDDC，所以DC2PB，BDPB. 由相交弦定理得ADDEBDDC，所以ADDE2PB2. 3( 新课标全国卷) 如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为
4、弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF，B，E，F，C四点共圆(1) 证明：CA是ABC外接圆的直径；(2) 若DBBEEA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值. 解： (1) 证明：因为CD为ABC外接圆的切线，所以DCBA，由题设知BCFADCEA，故CDBAEF，所以DBCEFA. 因为B，E，F，C四点共圆，所以CFEDBC，故EFACFE90.所以CBA 90，因此CA是ABC外接圆的直径(2) 连接CE，因为CBE90，所以 过B，E，F，C四点的圆的直径为CE. 由BDBE，有CEDC. 又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2. 而DC
5、2DBDA3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为12. 对应学生用书P35 圆内接四边形的判定与性质圆内接四边形是中学教学的主要研究问题之一，近几年各地的高考选做题中常涉及圆内接四边形的判定和性质精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - - 例 1 已知四边形ABCD为平行四边形，过
6、点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F. 求证：C、D、E、F四点共圆 证明 连接EF，因为四边形ABCD为平行四边形，所以BC180.因为四边形ABFE内接于圆，所以BAEF180.所以AEFC. 所以C、D、E、F四点共圆 例 2 如图，ABCD是O的内接四边形，延长BC到E，已知BCDECD32，那么BOD等于 ( ) A120B136C144 D150 解析 由圆内接四边形性质知ADCE，而BCDECD32，且BCDECD180，ECD72.又由圆周角定理知BOD2A144. 答案 C 直线与圆相切直线与圆有三种位置关系，即相交、相切、相离；其中直线与圆相切的位置关系非常重要，结合此
7、知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题是高考选做题热点之一，解题时要特别注意 例 3 如图，O是 RtABC的外接圆，ABC90，点P是圆外一点，PA切O于点A，且PAPB. (1) 求证：PB是O的切线；(2) 已知PA3，BC1，求O的半径 解 (1) 证明：如图，连接OB. OAOB，OABOBA. PAPB，PABPBA. OABPABOBAPBA，即PAOPBO. 又PA是O的切线，PAO90.PBO90. OBPB. 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - -
8、- - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -又OB是O半径，PB是O的切线(2) 连接OP，交AB于点D. 如图PAPB，点P在线段AB的垂直平分线上OAOB，点O在线段AB的垂直平分线上OP垂直平分线段AB. PAOPDA90.又APOOPA，APODPA. APDPPOPA. AP2PODP. 又OD12BC12，PO(POOD) AP2. 即PO212PO(3)2，解得PO2. 在 RtAPO中，OAPO2PA21，即O的半径为 1. 与圆有关的比例线段
9、圆的切线、 割线、相交弦可以构成许多相似三角形，结合相似三角形的性质，又可以得到一些比例式、 乘积式， 在解题中， 多联系这些知识， 能够计算或证明角、线段的有关结论 例 4 如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC4，BE10，且BCAD，求DE的长 解 设CBADx，则由割线定理得：CACDCBCE，即 4(4 x) x(x10) ，化简得x26x160，解得x2 或x 8( 舍去) ，即CD6，CE12. 连接AB，因为CA为小圆的直径，所以CBA90，即ABE90，则由圆的内接四边形对角互补，得D90，则CD2DE2CE2，所以
10、62DE2122，所以DE63. 例 5 ABC中，ABAC，以AB为直径作圆，交BC于D，O是圆心，DM是O的切线交AC于M( 如图) 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -求证：DC2ACCM. 证明 连接AD、OD. AB是直径，ADBC. OAOD，BADODA. 又ABAC，ADBC，BADCAD
11、. 则CADODA，ODAC. DM是O切线，ODDM. 则DMAC，DC2ACCM. 对应学生用书P43 ( 时间： 90 分钟，满分： 120 分) 一、选择题 ( 本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1圆内接四边形的4 个角中，如果没有直角，那么一定有( ) A2 个锐角和 2 个钝角B1 个锐角和 3 个钝角C1 个钝角和 3 个锐角D都是锐角或都是钝角解析： 由于圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的4 个角中若没有直角，则必有2个锐角和2 个钝角答案： A 2. 如图，在O中，弦AB长等于半径，E为BA延长线上一
12、点，DAE80，则ACD的度数是 ( ) A60 B50C45 D30解析：BCDDAE80，在 RtABC中，B90，AB12AC，ACB30. ACD803050.答案： B 3如图所示，在半径为2 cm 的O内有长为23 cm 的弦AB. 则此弦所对的圆心角AOB为( ) A60 B90精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - -
13、 - - - - - -C120 D150解析：作OCAB于C，则BC3，在 RtBOC中 cos BBOOB32. B30.BOC60 . AOB120.答案： C 4. 如图，已知O的半径为 5，两弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB 8，CEED49，则圆心到弦CD的距离为 ( ) A.2143B.289C.273D.809解析：过O作OHCD，连接OD，则DH12CD，由相交弦定理知，AEBECEDE. 设CE4x，则DE9x，44 4x9x，解得x23，OHOD2DH25213322143. 答案： A 5. 如图，PA切O于A，PBC是O的割线，且PBBC，PA32，那么BC的长
14、为 ( ) A.3 B23 C3 D33 解析：根据切割线定理PA2PBPC，所以 (32)22PB2.所以PB3BC. 答案： C 6两个同心圆的半径分别为3 cm 和 6 cm，作大圆的弦MN63 cm，则MN与小圆的位置关系是 ( ) A相切B相交C相离D不确定精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -解
15、析：作OAMN于A. 连接OM. 则MA12MN33. 在 RtOMA中，OAOM2AM23(cm) MN与小圆相切答案： A 7. 如图，PAB，PDC是O的割线，连接AD，BC，若PDPB14，AD 2，则BC的长是 ( ) A4 B5 C6 D8 解析：由四边形ABCD为O的内接四边形可得PADC，PDAB. PADPCB. PDPBADCB14. 又AD2，BC8. 答案： D 8已知O的两条弦AB，CD交于点P，若PA8 cm，PB18 cm，则CD的长的最小值为( ) A25 cm B24 cm C20 cm D12 cm 解析：设CDa cm，CD被P分成的两段中一段长x cm，
16、另一段长为(ax) cm. 则x(ax) 818，即 818(xax2)214a2. 所以a2576 242，即a24.当且仅当xax，即x12a12 时等号成立所以CD的长的最小值为24 cm. 答案： B 9如图，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC、BC，AB10，tan BAC34，则阴影部分的面积为( ) A.252B.25224 C24 D.25224 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -解析：AB为直径，ACB90，tan BAC34，sin BAC35. 又 sin BACBCAB，AB10，BC3510 6. AC43BC4368，S阴影S半圆SABC1252128625224. 答案： B 10在 RtABC中，ACB90，以A为圆心、AC为半径的圆交AB于F，交BA的延长线于
