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1、名师总结优秀知识点高一数学：解函数常见的题型及方法主编：东平校区张忠兵一、函数定义域的求法函数的定义域是函数三要素之一，是指函数式中自变量的取值范围。高考中考查函数的定义域的题目多以选择题或填空题的形式出现， 有时也出现在大题中作为其中一问。 以考查对数和根号两个知识点居多。1、求具体函数xfy定义域求函数的定义域， 其实质就是以函数解析式所含的运算有意义为准则，列出不等式或不等式组， 然后求出它们的解集，其准则一般是：分式中分母不为零偶次方根，被开方数非负对于0 xy，要求0 x指数式子中，底数大于零且不等于1 对数式中，真数大于零，底数大于零且不等于1 由实际问题确定的函数，其定义域要受实
2、际问题的约束例：函数 y23x30323xx）（的定义域为。解: 要使函数有意义，则.03032023xxx，所以原函数的定义域为 x|x 32，且 x32. 评注： 对待此类有关于分式、根式的问题，切记关注函数的分母与被开方数即可，两者要同时考虑，所求“交集”即为所求的定义域。2、求抽象函数的定义域(1) 若已知函数xfy的定义域为ba,， 其复合函数xgfy的定义域由不等式bxga求出 x 的取值范围，即为函数xgfy的定义域；例: 若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为。分析： 由函数)(xfy的定义域为2 ,21可知：221x；所以)(log2xfy中有2lo
3、g212x。解：依题意知：2log212x解之，得42x)(log2xf的定义域为42|xx点评：对数式的真数为x，本来需要考虑0 x，但由于42x已包含0 x的情况，因此不再列出。(2) 若已知函数xgfy的定义域为ba,，其函数xfy的定义域为xg在bax,时的值域。例 3：已知12xfy的定义域为（ -1，5 ，求函数xfy的定义域。解： -1 x5 -3 2x-19 所以，函数xfy的定义域为93xx. 二、函数值域求解方法求函数的值域是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一， 由于求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，所以难度比较大。以下是求函数值域的几种常用
4、方法：1、直接法： 从自变量x的范围出发，推出( )yf x的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。例： 求函数11,1yxxx的值域。2,例： 求函数1yx的值域。解：0 x，11x，函数1yx的值域为1,)。2、配方法：配方法式求 “二次函数类” 值域的基本方法。 形如2( )( )( )F xafxbfxc的函数的值域问题，均可使用配方法。例： 求函数242yxx（ 1,1x）的值域。解：2242(2)6yxxx， 1,1x，2 3, 1x，21(2)9x23(2)65x，35y函数242yxx（ 1,1x）的值域为 3,5 。3、函数的单调性法： 确定
5、函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例： 求函数xxy1在区间,0 x上的值域。分析与解答：任取,0,21xx，且21xx，则212121211xxxxxxxfxf，因为210 xx，所以：0,02121xxxx，当211xx时，0121xx，则21xfxf；当1021xx时，0121xx，则21xfxf；而当1x时，2miny于是：函数xxy1在区间,0 x上的值域为),2。4、反函数法： 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
6、- - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结优秀知识点例：求函数6543xxy的值域。解：由6543xxy可得3564yyx，则其反函数为3564xxy，其定义域为：53x函数6543xxy的值域为53yy。5、换元法： 运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如yaxbcxd（a、b、c、d均为常数，且0a0c）的函数常用此法求解。例：求函数212yxx的值域
7、。解：令12tx（0t） ，则212tx，22151()24yttt当12t，即38x时，max54y，无最小值。函数212yxx的值域为5(,4。6、判别式法： 把函数转化成关于x的二次方程( ,)0F x y；通过方程有实数根，判别式0，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xcya xb xc（1a、2a不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例：求函数2231xxyxx的值域。解：由2231xxyxx变形得2(1)(1)30yxyxy，当1y时，此方程无解；当1y时，xR，2(1)4(1)(3)0yyy，解得1113y，又1y，1113y函数2231xxyxx的值域为1
8、1|13yy7、分离常数法： 分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例：求函数125xyx的值域。解：177(25)112222525225xxyxxx，72025x，12y，函数125xyx的值域为1|2y y。8、有界性法： 利用某些函数有界性求得原函数的值域。例：求函数2211xyx的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得2(1)(1)yxy，1y，211yxy（ xR，1y） ，101yy，11y，函数2211xyx的值域为|11yy三、求函数解析式的方法求函数的解析式是函数的常见问题, 也是高考的常规题型之一,
9、 方法众多 , 下面对一些常用的方法一一辨析 . 1、配凑法： 已知复合函数 ( )f g x的表达式，求( )f x的解析式，( )f g x的表达式容易配成( )g x的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数( )f x的定义域不是原复合函数的定义域，而是( )g x的值域。例：已知221)1(xxxxf)0(x，求( )f x的解析式解：2)1()1(2xxxxf，21xx2)(2xxf)2(x2、换元法： 已知复合函数( )f g x的表达式时，还可以用换元法求( )f x的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例： 已知xxxf2)1(，求)1(xf解：令1xt，则1t
10、，2) 1(txxxxf2)1(, 1)1(2)1()(22ttttf精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结优秀知识点1)(2xxf)1(xxxxxf21) 1()1(22)0(x3、待定系数法： 若已知函数类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法例：已知xf是二次函数，且442112xxxfxf
11、，求xf的解析式解：设)0(,2acbxaxxfcabxaxxfxf22221124224222caba解得121cba122xxxf4、构造方程组法： 若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例：设,)1(2)()(xxfxfxf满足求)(xf解xxfxf)1(2)(显然, 0 x将x换成x1，得：xxfxf1)(2)1(解 联立的方程组，得：xxxf323)(例： 设)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，又,11)()(xxgxf试求)()(xgxf和的解析式解)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，)()(),()(xgxgxfxf又11
12、)()(xxgxf ，用x替换x得：11)()(xxgxf即11)()(xxgxf解 联立的方程组，得11)(2xxf，xxxg21)(5、赋值法： 当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例： 已知：1)0(f，对于任意实数 x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，求)(xf解对于任意实数 x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，不妨令yx，则有)12()()0(xxxxff以函数解析式为：1)(2xxxf6、代入法： 求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例：已知：
13、函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3,2(对称，求)(xg的解析式解：设),(yxM为)(xgy上任一点，且),(yxM为),(yxM关于点)3 ,2(的对称点则3222yyxx，解得：yyxx64，点),(yxM在)(xgy上xxy2把yyxx64代入得：)4()4(62xxy整理得672xxy67)(2xxxg例： 设)(xf是定义在 R上的奇函数 , 且当132)(02xxxfx时，试求函数)(xf的解析式解：设0 x，则0 x1322xxxf)(xf是定义在 R上的奇函数xfxf故1322xxxf0 xxfxf，当0 x时，00f013200013222xxxxxxxxf四、判断具
14、体函数单调性的方法1、定义法一般地，设xf为定义在 D 上的函数。若对任何1x、Dx2，当21xx时，总有精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结优秀知识点(1)()(21xfxf，则称xf为 D 上的增函数； (2)()(21xfxf, 则称xf为 D 上的减函数，。利用定义来证明函数)(xfy在给定
15、区间 D 上的单调性的一般步骤：（1）设元，任取1x,Dx2且21xx；（2）作差)()(21xfxf；（3）变形（普遍是因式分解和配方） ；（4）断号（即判断)()(21xfxf差与 0 的大小） ；（5）定论（即指出函数)(xf在给定的区间 D上的单调性）。例：用定义证明函数xkxxf)()0(k在),0(上的单调性。证明：设1x、), 0(2x，且21xx，则)()()()(221121xkxxkxxfxf)()(2121xkxkxx)()(211221xxxxkxx)()(212121xxxxkxx)(212121xxkxxxx，又210 xx所以021xx，021xx，当1x、, 0
16、(2kx时，021kxx0)()(21xfxf，此时函数)(xf为减函数；当1x、),(2kx时，021kxx0)()(21xfxf，此时函数)(xf为增函数。综上函数xkxxf)()0(k在区间,0(k 内为减函数；在区间),(k内为增函数。2、函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表：函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数)0(kbkxy当0k时， y 在 R上是增函数；当0k时， y 在 R上是减函数。二次函数cbxaxy2),0(Rcbaa当0a时，abx2时 y单调减 , abx2时 y 单调增；当0a时，abx2时 y 单调增 ，abx2时 y 单调减。反比例函数xkyRk(且0k)当0k时, y 在0 x时单调减，在0 x时单调减；当0k时, y 在0 x时单调增，在0 x时单调增。指数函数xay)1,0(aa当1a时， y 在 R上是增函数；当10a，时 y 在 R上是减函数。对数函数xyalog)1,0(aa当1a时， y 在), 0(上是增函数；当1
