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1、学习必备欢迎下载高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结一、集合与命题1. 集合元素具有 确定性、 无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性 ，如（ 1）设PQ、为两个非空实数集合，定义集合|,PQab aP bQ ，若0, 2, 5P， 6, 2, 1Q，则PQ中元素的有_个。（答：8）（ 2）非空集合5 ,4 ,3 ,2, 1S，且满足“若Sa，则Sa6”，这样的S共有 _个（答： 7）2. 遇到AB时，你是否注意到“极端 ”情况：A或B；同样当AB时，你是否忘记A的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合|10Ax ax，2|320Bx xx
2、，且 ABB ，则实数a_.（答：10,1,2a）3.对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n2，12n，12n.22n如满足1,21,2,3,4,5M集合M 有_个。（答： 7）4.集合的运算性质： ABABA； ABBBA ；ABuuAB痧； uuABAB痧； uABUABe； ()UCABUUC AC B；()UUUCABC AC B. 如设全集5 ,4,3 ,2 ,1U，若2BA，4)(BACU，5 ,1)()(BCACUU，则 A_，B_. （答：2,3A，2,4B）5. 研究集合问题， 一定要 理解集合的意义抓住集合的代表元素。 如：|x
3、yf x函数的定义域；|y yfx函数的值域；( , ) |x yyfx函数图象上的点集，如设集合|2Mx yx，集合 N2|,y yxxM，则MN_ _ （答：4,)）；6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集 这两种特殊情况， 补集思想 常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知关于x的不等式250axxa的解集为M，若3M且5M求实数a的取值范围。（答：519 253a，）7. 四种命题及其相互关系。若原命题是“若p 则 q”，则逆命题为“若q 则 p”；否命题为“若p则q” ；逆否命题为“若q则p”。 提醒 ：（1）互为逆否关系的命题是
4、等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价； （2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或 ”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“ABBA”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在 ABC 中，若 C=900，则 A、B 都是锐角”的否命题为（答：在ABC中，若90C，则,AB不都是锐角）；（2）已知函数2( ),11xxf xaax，证
5、明方程0)(xf没有负数根。8.充要条件 。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载BA，则 A 是 B 的充分条件；若BA，则 A 是 B 的必要条件
6、；若A=B ，则 A 是 B 的充要条件。 如设命题 p：|43| 1x；命题 q:0)1() 12(2aaxax。若p是q的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是（答：10,2）二、不等式1. 不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,ab cd，则acbd（若,ab cd，则acbd），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0abcd，则acbd（若0,0abcd，则abcd）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0ab，则nnab或nnab；（4）若
7、0ab，ab，则11ab；若0ab，ab，则11ab。如（ 1）对于实数cba,中，给出下列命题：22,bcacba则若； babcac则若,22； 22,0bababa则若；baba11,0 则若； baabba则若,0； baba则若,0；bcbacabac则若,0；11,abab若，则0 ,0ab。其中正确的命题是 _（答：）（2）已知11xy，13xy，则3xy的取值范围是 _（答：1,7）（3）已知cba，且, 0cba则ac的取值范围是 _ （答：12,2）2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的
8、代数式）；（3）分析法；（ 4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如设2a，12paa，2422aaq，试比较qp,的大小（答：pq）3. 一元一次不等式的解法：通过去分母、 去括号、 移项、合并同类项等步骤化为axb的形式，若0a, 则bxa；若0a, 则bxa；若0a, 则当0b时，xR；当0b时，x。如已知关于x的不等式0)32()(baxba的解集为)31,(，则关于x的不等式0)2()3(abxba的解集为 _（答：|3x x）4. 一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当0和0
9、时的解集你会正确表示吗？设0a,12,x x是方程20axbxc的两实根，且12xx，则其解集如下表：20axbxc20axbxc20axbxc20axbxc01|x xx或2xx1|x xx或2xx12|x xxx12|x xxx0|2bx xaR |2bx xa0R R 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - -
10、- -学习必备欢迎下载如解关于x的不等式：01)1(2xaax。（答：当0a时，1x；当0a时，1x或1xa；当01a时，11xa；当1a时，x；当1a时，11xa）5. 对于方程02cbxax有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为 0，其次若0a，则一定有042acb。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1）222210axax对一切Rx恒成立，则a的取值范围是 _（答：(1,2）； （2）关于x的方程( )f xk有解的条件是什么？ ( 答：kD，其中D为( )f x的值域 ) 6. 一元二次方程根的分布理论。方程2( )0(0)f x
11、axbxca在),(k上有两根、在(, )m n上有两根、在),(k和),(k上各有一根的充要条件分别是什么？0()0( )02f mf nbman、( )0f k）。根的分布理论成立（0( )02f kbka、的前提是开区间，若在闭区间,nm讨论方程0)(xf有实数解的情况，可先利用在开区间),(nm上实根分布的情况，得出结果，再令nx和mx检查端点的情况如12)2(24)(22ppxpxxf在 区 间1 , 1上 至 少 存 在 一 个 实 数c， 使0)(cf，求实数p的取值范围。（答：3( 3,)2）7. 二次方程、二次不等式、 二次函数间的联系你了解了吗？二次方程20axbxc的两
12、个 根 即 为 二 次 不 等 式20(0)axbxc的 解 集 的 端 点 值 ， 也 是 二 次 函 数2yaxbxc的图象与x轴的交点的横坐标。 如 （1） 不等式32xax的解集是(4, )b，则a=_ （ 答 ：18） ； （ 2） 若 关 于x的 不 等 式02cbxax的 解 集 为),(),(nm， 其中0nm， 则关于x的不等式02abxcx的解集为 _（答：),1()1,(nm）； （3）不等式23210 xbx对 1,2x恒成立，则实数b的取值范围是 _（答：）。8. 简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（ 1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项
13、的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现( )f x的符号变化规律，写出不等式的解集。如： （1）解不等式2(1)(2)0 xx。（答：1,2）（2）不等式2(2)230 xxx的解集是 _（答：3,1）（3）设函数( )f x、( )g x的定义域都是R，且( )0f x的解集为|12xx，( )0g x的解集为，则不等式( )( )0fx g x的解集为 _（答：,12,）（4）要使满足关于x的不等式0922axx（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式08603422xxxx和中的一个，则实数a的取值范
14、围是. （答：817,8）9. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将y (a0) O k x1x2x 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正
15、或恒为负时可去分母。如： （1）解不等式25123xxx（答：1,12,3）（2）关于x的不等式0bax的解集为), 1(，求关于x的不等式02xbax的解集（答：, 12,）10. 绝对值不等式的解法：（1）分段讨论 （最后结果应取各段的并集）：如解不等式|21|2|432|xx（答：R）（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式|1|3xx（答：, 12,）（4）两边平方： 如若不等式|32| | 2|xxa对任意xR恒成立，则实数a的取值范围。（答：43）11.含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解
16、集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. （见 4 中例题）12.含绝对值不等式的性质：ab、同号或有0| |abab| |abab；ab、异号或有0| |abab| |abab . 如设2( )13f xxx，实数a满足| 1xa，求证：|( )( ) | 2(| 1)f xf aa13. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17 字方针。如： （1）下列命题中正确的是A.1yxx的最小值是2 B.2232xyx的最小值是2 C.423(0)yxxx的最大值是24 3D.423(0)yxxx的最小值是24 3（2）若21xy，则24xy的最小值是 _（答：2 2）（3）正数, x y满足21xy，则yx11的最小值为 _（答：32 2）14. 常用不等式 有：（ 1）2222211abababab(当且仅当abc时，取等号 ) ， 根据目标不等式左右的结构选用；（2）abcR、 、，222abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）；（3）若0,0abm，则bbmaam（糖水的浓度问
