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1、学习好资料欢迎下载高中数学高考综合复习专题三十四概率与统计 ( 一)高中数学高考综合复习专题三十四概率与统计（一）一、知识网络二、高考考点1. 离散型随机变量的分布列、期望与方差以及运用期望与方差的意义解决实际问题；2. 抽样方法的概念与区别；3. 总体分布值所用的计算；正态分布的公式以及正态分布曲线的性质应用；4. 线性相关以及回归方程的意义。1 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - -
2、-p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载三、知识要点（一）随机变量凡是对现象的观察或为此而进行的实验都称之为试验，一个试验如果满足下述条件：试验可以在相同情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但是一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果；那么这个试验称之为一个随机试验。1、定义：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。随机变量通常用希腊字母、 等表示。认知：随机变量，用来表示随机试验结果的变量，其中（1）如果随机变量可能取的值，可以按一定次
3、序一一列出，那么这一随机变量叫做离散型随机变量；（2）如果随机变量可以取某一区间内的一切值，则这一随机变量叫做连续型随机变量。2、性质（1）若 是随机变量，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载（2）若 是随机变量，量。3、离散型随机变量的分布列（1）概率分布（分布列）设离散型随机变量 的
4、可能取的值为 取每一个值的概率，则表是单调函数或连续函数，则也是随机变量，即随机变量的某些函数也是随机变（a，b 为常数），则 也是随机变量，即随机变量的一次型函数也是随机变量；称为随机变量 的概率分布，简称为 的分布列。离散型随机变量的分布列具有下述性质（）（）； 2 一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率，等于它取这个范围内各个值的概率之和。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - -
5、 -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载（2）二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是，其中 k=0，1，2， n，q=1-p. 于是得到随机变量 的概率分布如下：我们称这样的随机变量 服从二项分布：记作B（n，p）， 其中n，p 为参数，并记（3）几何分布设在一次试验中某事件发生的概率为p，又设在独立重复实验中，某事件第一次发生时所作试验的次数为，则“ =k”表示在第k 次独立重复实验时事件第一次发生，于是得到随机变量 的概率分布如下：我们称此时 服从几何分布，并记4
6、、离散型随机变量的期望与方差. 期望（1）定义若离散型随机变量 的概率分布为精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载，其中 q=1-p，k=1，2，3，.则称一切可能值与对应的概率为 的数学期望或平均数、均值，简称期望，即分布列中随机变量的的乘积的和叫做随机变量 的数学期望；反映了离散型随机
7、变量取值的平均水平，是反映随机变量 集中趋势的指标（相当于质点分布的重心）；3 为常量。（2）数学期望的性质（）如果得特例：当 a=0 时有当 b=0 时有精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载当 a=1 时有（）（3）二项分布的期望若 B（n，p），则，即随机变量 与常数之和的期望等于这
8、个常数与随机变量 的期望的和。，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积；，即常数的数学期望为常数本身；（其中 a，b 为常数），则 也是随机变量。并且由，即随机变量 的线性函数的数学期望，等于它的数学期望的同一线性函数。可即若随机变量 服从二项分布，则它的期望等于独立重复试验的次数n 与在一次试验中事件发生的概率p 的乘积。（4）几何分布的期望若随机变量 服从几何分布，且. 方差（1）定义：当随机变量 的分布列为叫做随机变量 的均方差，简称方差；认知：随机变量 的数学期望精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢
9、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载的稳定与波动、集中与离散的程度。值的偏差大小。（2）随机变量函数的方差则 时， 的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作，即 = 。 反映离散型随机变量取值的平均水平。与 都反映了随机变量 关于期望则反映随机变量 的取值与期望越小，稳定性越高，波动性越小；标准差越小，则 与其期望值的偏差越小。4 对于随机变量函数特例：（）当 a=0 时有（）当 b=0 时
10、有积。（）当 a=1 时有（3）二项分布的方差精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载若 B（n，p）. 则（4）几何分布的方差（a，b 为常数），即常数的方差等于0。 ，即随机变量与常数乘积的方差，等于这一常数的平方与这个随机变量方差的乘 ，即随机变量与常数之和的方差，等于这个随机变量的方
11、差本身。若随机变量 服从几何分布，且四、经典例题例 1设离散型随机变量 的分布列为则试求（1）（2）分析：（1）注意到的概率；，在由题设得出的所有取值之后，借助计算 取各值的分布列。的分布列；（2）注意到这里，故求的分布列时注意精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载5 解：（1）注意到这里
12、由已知得的分布列：（2）注意到由已知得的分布列，提醒：我们在这里看到，当 取不同值时，同值的各种情况。例 2一个盒子中有9 个正品和 3 个次品零件，每次取一个零件，如果取出的是次品则不再放回，求直到取得正品为会取相同的值，故求时要考虑到 取相止已经取出的次品数 的概率分布，并求解：注意到这里“取出的次品不再放回”，随机变量（次品件数）的可能取值为0，1，2，3，而精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 精品学
13、习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载k+1 次零件，其中前k 次取得的都是次品，第k+1 次取得正品（ k=0，1，2，3）。 表示：共取又 ，即第一次取到正品，试验结束，此时，；，第一次取到次品，第二次取到正品。此时，；同理可得；故得随机变量 的分布列6 点评：欲求随机变量的分布列，首先须明确随机变量可能取的每一个值，以及 取每一个值时所表示的意义，进而再求随机变量取每一个值时的概率。例 3一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6 个交通岗。假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率均为（1）设
14、为这名学生在上学途中遇到的红灯次数，求 的分布列；（2）设 为这名学生首次停车前经过的路口数，求 的分布列；精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载（3）求这名学生在上学途中至少遇到一次红灯的概率。解：（1）由题意知， 的可能取值为0，1，2，3，4，5，6且将在每个交通岗遇到的信号看作一
15、次试验，遇红灯的概率均为，且每次试验相互独立，故 的分布列为（2）令 表示前 k 个路口没有遇到红灯，但在第k+1 个路口遇上红灯，注意到在各个路口遇到红灯的独立性，故有又 表示一路没有遇上红灯，其概率为，于是可得的分布列为（3）由（ 2）得所求概率为7 点评：本题通过3 个设问，分别考察了n 次独立重复试验中事件A发生k 次的概率，独立事件同时发生的概率以及互斥事件有一个发生的概率。为了今后的解题，应注意品悟本题（1）、（ 2）中概率的区别与联系，以防误将有关概率分布判断为二项分布。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载
16、 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载例 4某车间有 10 台各为 7.5kw 的机床，如果每台机床的使用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动12 分钟，试求全部机床用电超过48kw的可能性有多大？解：注意到相互独立的每台机床正在工作的概率为，而且每台机床都有“工作”与“不工作”两种情况，故每一时刻正在工作的机床数 服从二项分布，即 根据题意， 48kw可供 6 台机床同时工作，用电超过48kw即意味着有7台或 7 台以上的机床同时工作。这一事件的概率为由此可知这一车间的用电量超过48kw的可能性是极小的，据此，人们便可以适当选择供电设备，做到既保证供电又合理节约用电。点评：用心审题，适时转化为相应的概率模型解决问题。在这里，明确某一时刻正在工作的机床台数 服从二项分布是解题关键。一般地，如果所考察的试验是一个只有两种结果A和发生的次数 服从二项分布。例 5设 是一个离散型随机变量
