高中数学第三章数列章节知识点与高考试题

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1、二、基本知识点：1王新敞数列是特殊的函数， 有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想王新敞2王新敞等差、等比数列中，a1、na、n、d(q)、nS“知三求二”，体现了方程 (组)的思想、整体思想，有时用到换元法王新敞3王新敞求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想王新敞4王新敞数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等王新敞等差数列相关公式： （1）), 1(1为常数dndaann； （2）通项公式：dnaan)1(1；（3）前 n 项和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(

2、11； （4）通项公式推广：dmnaamn)(王新敞等差数列na的一些性质： （1）对于任意正整数n，都有121aaaann； （2）na的通项公式)2()(2112aanaaan；（ 3 ） 对 于 任 意 的 整 数srqp,， 如 果srqp， 那 么srqpaaaa； （4）对于任意的正整数rqp,，如果qrp2，则qrpaaa2； （5）对于任意的正整数n1，有112nnnaaa； （6）对于任意的非零实数b，数列nba是等差数列， 则na是等差数列（7） 已知nb是等差数列， 则nnba也是等差数列 （8）,23133122nnnnnaaaaa等都是等差数列； （9）nS是等差数列

3、na的前n 项和，则kkkkkSSSSS232,仍成等差数列，即)( 323mmmSSS；（10） 若)(nmSSnm， 则0nnS（11） 若pSqSqp,， 则)(qpSqp（12）bnanSn2，反之也成立王新敞等比数列相关公式： （1）定义：)0,1(1qnqaann； （2）通项公式：11nnqaa王新敞（3）前 n 项和公式：1q1)1 (1q11qqanaSnn； （4）通项公式推广：mnmnqaa王新敞等比数列na的一些性质：（1） 对于任意的正整数n， 均有121aaaann； （2） 对于任意的正整数srqp,一等比数列等差数列表示方法图像与函数的关系前 n 项和通项定义数

4、列正整数集上函数及性质数列知识结构精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -如果srqp，则srqpaaaa； （3）对于任意的正整数rqp,，如果rpq2，则2qrpaaa（4）对于任意的正整数n1,有112nnnaaa； （5）对于任意的非零实数b，nba也是等比数列；（6）已知nb是等比数列，则nnba也是

5、等比数列； （7）如果0na，则lognaa是等差数列；（8）数列lognaa是等差数列，则na是等比数列； （9）,23133122nnnnnaaaaa等都是等比数列 ；(10)nS是等比数列na的前 n 项和，当 q=1 且 k 为偶数时，kkkkkSSSSS232,不是等比数列 .当 q 1 或 k 为奇数时，kkkkkSSSSS232,仍成等比数列王新敞数列前 n 项和公式：2)1(321nnn；6) 12)(1(3212222nnnn；2333)1(2121nnn； 等 差 数 列 中 ，mndSSSnmnm； 等 比 数 列 中 ，nmmmnnnmSqSSqSS；裂项求和：111)

6、1(1nnnn； （!)!1(!nnnn）王新敞三、巩固练习 （2004 年高考试题）浙江文理 (3) 已知等差数列na的公差为2,若431,aaa成等比数列 , 则2a=(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 全国卷四文理6等差数列na中，78,24201918321aaaaaa，则此数列前20 项和等于A160 B 180 C200 D220王新敞天津卷理8. 已知数列na，那么“对任意的*Nn，点),(nnanP都在直线12xy上”是“na为等差数列”的A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件王新敞全国卷四文18已知数列 na 为等

7、比数列，.162,652aa（）求数列 na 的通项公式；（）设nS是数列 na的前n项和，证明.1212nnnSSS王新敞解： （I）设等比数列 an 的公比为q，则 a2=a1q, a5=a1q4. 依题意， 得方程组a1q=6, a1q4=162.解此方程组，得 a1=2, q=3.故数列 an 的通项公式为an=23n1王新敞（II ）.1331)31 (2nnnS113231332313231)33(3122222122222212nnnnnnnnnnnnnSSS王新敞全国三文（ 4）等比数列na中29,a5243a，则na的前 4 项和为 A. 81 B. 120 C. D. 19

8、2王新敞精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -全国三文 设公差不为零的等差数列an，Sn是数列 an的前 n 项和，且2329SS,424SS，求数列 an的通项公式 . 解：设数列 an 的公差为d(d 0),首项为 a1，由已知得：21111(33 )9(2)464(2)adadadad.解之得：941a

9、，98d或01da（舍）1484(1)(1)(21)999naandnn王新敞全国卷三理 设数列na是等差数列，26,a86a，Sn是数列na的前 n 项和，则（）A.S4S5B.S4S5C.S6S5D.S6S5王新敞全国卷三理 (22)已知数列 an的前 n 项和 Sn满足： Sn=2an +(-1)n,n 1.写出求数列 an的前 3 项 a1,a2,a3；求数列 an 的通项公式；证明：对任意的整数m4，有4511178maaa王新敞解：当n=1 时,有： S1=a1=2a1+(-1)a1=1；当 n=2 时,有： S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；当 n=3 时,有： S3

10、=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：1112( 1)2( 1)nnnnnnnaSSaa，化简得：1122( 1)nnnaa上式可化为：1122( 1)2( 1)33nnnnaa，故数列 2( 1)3nna是以112( 1)3a为首项 , 公比为 2 的等比数列 .故121( 1)233nnna121222( 1)2( 1) 333nnnnna王新敞数列 na 的通项公式为：222( 1) 3nnna王新敞由已知得：2324511131112 21212( 1)mmmaaa23 1111112 391533632( 1)mm111111

11、23511211111112351020511(1)1 45212 312m51 42212 355 2m王新敞5131 1131041057( )155 2151201208m. 故4511178maaa，( m4)王新敞天津卷文20. 设na是一个公差为)0(dd的等差数列，它的前10 项和11010S且1a，2a，4a成精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 -

12、 - - - - - - - - - - - - - -等比数列。（1）证明da1； （2）求公差d的值和数列na的通项公式王新敞证明：因1a，2a，4a成等比数列，故4122aaa，而na是等差数列，有daa12，daa314于是21)(da)3(11daa，即daaddaa121212132，化简得da1王新敞（ 2）解：由条件11010S和daS291010110，得到11045101da，由（ 1） ，da1，代入上式得11055d，故2d，ndnaan2) 1(1，,3,2,1n王新敞浙江卷文（ 17）已知数列na的前 n 项和为).)(1(31,NnaSSnnn（）求21,aa；

13、（）求证数列na是等比数列王新敞解: ( )由)1(3111aS,得) 1(3111aa，1a21，又) 1(3122aS,即)1(31221aaa,得412a.()当 n1 时,),1(31)1(3111nnnnnaaSSa得,211nnaa所以na是首项21,公比为21的等比数列王新敞广东卷 17. 已知，成公比为2 的等比数列 (0 2，），且s in ，s in ，s in也成等比数列. 求， ，的值王新敞解： ,成公比为 2 的等比数列，=2，=4， sin,sin,sin成等比数列2sinsinsin 2sin 4cos2cos1sinsinsinsin 2王新敞22coscos1

14、0即1cos1,cos2解得或当 cos=1 时， sin=0,与等比数列的首项不为零，故cos=1 应舍去，124cos,0, 2 ,233当时或2484816,333333所以或王新敞北京文理（ 14）定义“等和数列” ：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列an是等和数列，且a12，公和为 5，那么a18的值为 _，且（文：这个数列的前21 项和S21的值为 _） （理：这个数列的前n 项和Sn的计算公式为 _（ 3 ； （文： 52）理：当 n 为偶数时，Snn52；当 n 为奇数时，Snn5212）精品p

15、d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -湖北卷理8 文 9已知数列 na的前 n 项和), 2, 1()21)(1(2)21(211nnbaSnnn其中a、b 是非零常数， 则存在数列 nx、ny使得（）A,nnnnxyxa其中为等差数列， ny为等比数列B,nnnnxyxa其中和ny都为等差数列C,nnnnxyxa其

16、中为等差数列， ny都为等比数列D,nnnnxyxa其中和ny 都为等比数列王新敞湖南文 20 已知数列 an是首项为a 且公比 q不等于 1 的等比数列， Sn是其前 n 项的和， a1,2a7,3a4成等差数列 .（I）证明12S3,S6,S12-S6成等比数列； （II）求和 Tn=a1+2a4+3a7+,+na3n 王新敞（）证明由4713,2,aaa成等差数列，得41734aaa，即.3436aqaaq变形得,0) 1)(14(33qq所以14133qq或（舍去） .由.1611211)1(121)1(123316136qqqaqqaSS.1611111)1(1)1(166611216126612qqqqaqqaSSSSS得.12661236SSSSS所以 12S3，S6，S12S6成等比数列王新敞（）解：.3232)1(36323741nnnnaqaqaqanaaaaT即.)41()41(3)41(212anaaaTnn)41(得：ananaaaTnnn)41()41()41(3)41(24141132.)41()54(54)41()41(1)41(1anaanannn所以