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1、二、基本知识点:1王新敞数列是特殊的函数, 有些题目可结合函数知识去解决,体现了函数思想、数形结合的思想王新敞2王新敞等差、等比数列中,a1、na、n、d(q)、nS“知三求二”,体现了方程 (组)的思想、整体思想,有时用到换元法王新敞3王新敞求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1,公比是字母时要进行讨论,体现了分类讨论的思想王新敞4王新敞数列求和的基本方法有:公式法,倒序相加法,错位相减法,拆项法,裂项法,累加法,等价转化等王新敞等差数列相关公式: (1)), 1(1为常数dndaann; (2)通项公式:dnaan)1(1;(3)前 n 项和公式:dnnnaaanSnn2)1(2)(
2、11; (4)通项公式推广:dmnaamn)(王新敞等差数列na的一些性质: (1)对于任意正整数n,都有121aaaann; (2)na的通项公式)2()(2112aanaaan;( 3 ) 对 于 任 意 的 整 数srqp,, 如 果srqp, 那 么srqpaaaa; (4)对于任意的正整数rqp,,如果qrp2,则qrpaaa2; (5)对于任意的正整数n1,有112nnnaaa; (6)对于任意的非零实数b,数列nba是等差数列, 则na是等差数列(7) 已知nb是等差数列, 则nnba也是等差数列 (8),23133122nnnnnaaaaa等都是等差数列; (9)nS是等差数列
3、na的前n 项和,则kkkkkSSSSS232,仍成等差数列,即)( 323mmmSSS;(10) 若)(nmSSnm, 则0nnS(11) 若pSqSqp,, 则)(qpSqp(12)bnanSn2,反之也成立王新敞等比数列相关公式: (1)定义:)0,1(1qnqaann; (2)通项公式:11nnqaa王新敞(3)前 n 项和公式:1q1)1 (1q11qqanaSnn; (4)通项公式推广:mnmnqaa王新敞等比数列na的一些性质:(1) 对于任意的正整数n, 均有121aaaann; (2) 对于任意的正整数srqp,一等比数列等差数列表示方法图像与函数的关系前 n 项和通项定义数
4、列正整数集上函数及性质数列知识结构精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -如果srqp,则srqpaaaa; (3)对于任意的正整数rqp,,如果rpq2,则2qrpaaa(4)对于任意的正整数n1,有112nnnaaa; (5)对于任意的非零实数b,nba也是等比数列;(6)已知nb是等比数列,则nnba也是
5、等比数列; (7)如果0na,则lognaa是等差数列;(8)数列lognaa是等差数列,则na是等比数列; (9),23133122nnnnnaaaaa等都是等比数列 ;(10)nS是等比数列na的前 n 项和,当 q=1 且 k 为偶数时,kkkkkSSSSS232,不是等比数列 .当 q 1 或 k 为奇数时,kkkkkSSSSS232,仍成等比数列王新敞数列前 n 项和公式:2)1(321nnn;6) 12)(1(3212222nnnn;2333)1(2121nnn; 等 差 数 列 中 ,mndSSSnmnm; 等 比 数 列 中 ,nmmmnnnmSqSSqSS;裂项求和:111)
6、1(1nnnn; (!)!1(!nnnn)王新敞三、巩固练习 (2004 年高考试题)浙江文理 (3) 已知等差数列na的公差为2,若431,aaa成等比数列 , 则2a=(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 全国卷四文理6等差数列na中,78,24201918321aaaaaa,则此数列前20 项和等于A160 B 180 C200 D220王新敞天津卷理8. 已知数列na,那么“对任意的*Nn,点),(nnanP都在直线12xy上”是“na为等差数列”的A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件王新敞全国卷四文18已知数列 na 为等
7、比数列,.162,652aa()求数列 na 的通项公式;()设nS是数列 na的前n项和,证明.1212nnnSSS王新敞解: (I)设等比数列 an 的公比为q,则 a2=a1q, a5=a1q4. 依题意, 得方程组a1q=6, a1q4=162.解此方程组,得 a1=2, q=3.故数列 an 的通项公式为an=23n1王新敞(II ).1331)31 (2nnnS113231332313231)33(3122222122222212nnnnnnnnnnnnnSSS王新敞全国三文( 4)等比数列na中29,a5243a,则na的前 4 项和为 A. 81 B. 120 C. D. 19
8、2王新敞精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -全国三文 设公差不为零的等差数列an,Sn是数列 an的前 n 项和,且2329SS,424SS,求数列 an的通项公式 . 解:设数列 an 的公差为d(d 0),首项为 a1,由已知得:21111(33 )9(2)464(2)adadadad.解之得:941a
9、,98d或01da(舍)1484(1)(1)(21)999naandnn王新敞全国卷三理 设数列na是等差数列,26,a86a,Sn是数列na的前 n 项和,则()A.S4S5B.S4S5C.S6S5D.S6S5王新敞全国卷三理 (22)已知数列 an的前 n 项和 Sn满足: Sn=2an +(-1)n,n 1.写出求数列 an的前 3 项 a1,a2,a3;求数列 an 的通项公式;证明:对任意的整数m4,有4511178maaa王新敞解:当n=1 时,有: S1=a1=2a1+(-1)a1=1;当 n=2 时,有: S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0;当 n=3 时,有: S3
10、=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2;综上可知a1=1,a2=0,a3=2;由已知得:1112( 1)2( 1)nnnnnnnaSSaa,化简得:1122( 1)nnnaa上式可化为:1122( 1)2( 1)33nnnnaa,故数列 2( 1)3nna是以112( 1)3a为首项 , 公比为 2 的等比数列 .故121( 1)233nnna121222( 1)2( 1) 333nnnnna王新敞数列 na 的通项公式为:222( 1) 3nnna王新敞由已知得:2324511131112 21212( 1)mmmaaa23 1111112 391533632( 1)mm111111
11、23511211111112351020511(1)1 45212 312m51 42212 355 2m王新敞5131 1131041057( )155 2151201208m. 故4511178maaa,( m4)王新敞天津卷文20. 设na是一个公差为)0(dd的等差数列,它的前10 项和11010S且1a,2a,4a成精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 -
12、 - - - - - - - - - - - - - -等比数列。(1)证明da1; (2)求公差d的值和数列na的通项公式王新敞证明:因1a,2a,4a成等比数列,故4122aaa,而na是等差数列,有daa12,daa314于是21)(da)3(11daa,即daaddaa121212132,化简得da1王新敞( 2)解:由条件11010S和daS291010110,得到11045101da,由( 1) ,da1,代入上式得11055d,故2d,ndnaan2) 1(1,,3,2,1n王新敞浙江卷文( 17)已知数列na的前 n 项和为).)(1(31,NnaSSnnn()求21,aa;
13、()求证数列na是等比数列王新敞解: ( )由)1(3111aS,得) 1(3111aa,1a21,又) 1(3122aS,即)1(31221aaa,得412a.()当 n1 时,),1(31)1(3111nnnnnaaSSa得,211nnaa所以na是首项21,公比为21的等比数列王新敞广东卷 17. 已知,成公比为2 的等比数列 (0 2,),且s in ,s in ,s in也成等比数列. 求, ,的值王新敞解: ,成公比为 2 的等比数列,=2,=4, sin,sin,sin成等比数列2sinsinsin 2sin 4cos2cos1sinsinsinsin 2王新敞22coscos1
14、0即1cos1,cos2解得或当 cos=1 时, sin=0,与等比数列的首项不为零,故cos=1 应舍去,124cos,0, 2 ,233当时或2484816,333333所以或王新敞北京文理( 14)定义“等和数列” :在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。已知数列an是等和数列,且a12,公和为 5,那么a18的值为 _,且(文:这个数列的前21 项和S21的值为 _) (理:这个数列的前n 项和Sn的计算公式为 _( 3 ; (文: 52)理:当 n 为偶数时,Snn52;当 n 为奇数时,Snn5212)精品p
15、d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -湖北卷理8 文 9已知数列 na的前 n 项和), 2, 1()21)(1(2)21(211nnbaSnnn其中a、b 是非零常数, 则存在数列 nx、ny使得()A,nnnnxyxa其中为等差数列, ny为等比数列B,nnnnxyxa其中和ny都为等差数列C,nnnnxyxa其
16、中为等差数列, ny都为等比数列D,nnnnxyxa其中和ny 都为等比数列王新敞湖南文 20 已知数列 an是首项为a 且公比 q不等于 1 的等比数列, Sn是其前 n 项的和, a1,2a7,3a4成等差数列 .(I)证明12S3,S6,S12-S6成等比数列; (II)求和 Tn=a1+2a4+3a7+,+na3n 王新敞()证明由4713,2,aaa成等差数列,得41734aaa,即.3436aqaaq变形得,0) 1)(14(33qq所以14133qq或(舍去) .由.1611211)1(121)1(123316136qqqaqqaSS.1611111)1(1)1(166611216126612qqqqaqqaSSSSS得.12661236SSSSS所以 12S3,S6,S12S6成等比数列王新敞()解:.3232)1(36323741nnnnaqaqaqanaaaaT即.)41()41(3)41(212anaaaTnn)41(得:ananaaaTnnn)41()41()41(3)41(24141132.)41()54(54)41()41(1)41(1anaanannn所以