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1、学习必备欢迎下载高中数学函数知识点总结1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 ( 两点必须同时具备 ) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数的定义域是yxxx432lg（答：，）022334函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数xytankkxRx,2,且余切函数xycotkkxRx,且反三角函数的定义域函数 yarcsinx的定义域是 1, 1 ，值域是，函数 yarccosx 的定义域是
2、1, 1 ，值域是 0, ， 函数 yarctgx的定义域是 R ， 值域是. ， 函数 yarcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, ) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。3. 如何求复合函数的定义域？的定，则函数，的定义域是如：函数)()()(0)(xfxfxFabbaxf义域是 _ 。（答：，）aa复合函数定义域的求法： 已知)(xfy的定义域为nm,，求)(xgfy的定义域，可由nxgm)(解出 x 的范围，即为)(xgfy的定义域。例若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义
3、域为。分析： 由函数)(xfy的定义域为2,21可知：221x；所以)(log2xfy中有2log212x。解：依题意知：2log212x解之，得42x)(log2xf的定义域为42|xx4、函数值域的求法精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通
4、过观察得到。例 求函数 y=x1的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y=2x-2x+5，x-1 ，2 的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂.112.22222222ba y型：直接用不等式性质k+xbxb. y型, 先化简，再用均值不等式xmxnx1例： y1+xx+xxmxnc y型 通常用判别式xmxnxmxnd. y型xn法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉xx1 （x+1） （x+1） +1 1例：
5、 y（x+1）1211x1x1x14、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数 y=6543xx值域。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数 y=11xxee，2sin11siny，2sin11cosy的值域。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 精品学习资
6、料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载222110112sin11| sin| | 1,1sin22sin12sin1(1cos )1cos2sincos114sin()1,sin()41sin()114即又由知解不等式，求出，就是要求的答案xxxeyyeyeyyyyyyyyyxyxyyxyy6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数 y=25xlog31x（2x10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主
7、要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数 y=x+1x的值域。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：已知点 P（x.y ）在圆 x2+y2=1上，2,(2),2(,20, (1)的取值范围 (2)y-2的取值范围解:(1) 令则是一条过 (-2,0)的直线 . d为圆心到直线的距离 ,R为半径 ) (2)令y-2即也是直线 d dyxxykyk xxR dxbyxbR例求函数 y=)2(2x+)8(2x的值域。解：原函数可化简得： y=x-2 +x+8上式可以看成数轴上
8、点P（x）到定点 A（2） ，B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点 P 在线段 AB上时，y=x-2 +x+8=AB =10 当点 P在线段 AB的延长线或反向延长线上时，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载y=x-2 +x+8 AB =10 故所求函数的值域为： 10 ，+）例求函数
9、 y=1362xx+ 542xx的值域解：原函数可变形为： y=)20()3(22x+) 10()2(22x上式可看成 x 轴上的点 P（x，0）到两定点 A （3，2） ，B（-2 ，-1）的距离之和，由图可知当点 P为线段与 x 轴的交点时， ymin=AB =) 12()23(22=43，故所求函数的值域为 43，+） 。注：求两距离之和时，要将函数9 、不等式法利用基本不等式 a+b2ab，a+b+c3abc3（a，b，cR） ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：33()13()32x (3-2
10、x)(0 x1.5)xx+3-2x =xx (3-2x) (应用公式abc时，应注意使3者之和变成常数）abc10. 倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例求函数 y=32xx的值域332(0)11113333222x =xx (应用公式a+b+c时，注意使者的乘积变成常数）xxxxxxabc精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料
11、- - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载2320121112202222012时，时， =00 xyxxxxyyxxxyy多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂如：，求fxexf xx1( ).令，则txt10 xt21f tett(
12、)2121f xexxx( )212106. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）如：求函数的反函数f xxxxx( )1002（答：）fxxxxx1110( )在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：(2004. 全国理 )函数) 1( 11xxy的反函数是（ B ）Ay=x22x+2(x1) By=x22x+2(x1) Cy=x22x ( x=1. 排除选项 C,D.现在看值域。原函数至于为y=1, 则反函数定义域为 x=1, 答案为 B. 我题目已经做完了，好像没有
13、动笔（除非你拿来写*书） 。思路能不能明白呢？精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载7. 反函数的性质有哪些？反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y）2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的 x）3、反函数的图像和原
14、函数关于直线=x 对称（难怪点（ x,y ）和点（ y，x）关于直线 y=x 对称互为反函数的图象关于直线yx 对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；设的定义域为，值域为，则yf(x)ACaAbCf(a) = bf1( )baff afbaf fbf ab111( )( )( )( )，由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如（04. 上海春季高考）已知函数)24(log)(3xxf，则方程4)(1xf的解x_. 8 . 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：根据定义，设任意得x1,x2，找出 f(x1),f(x2)之间的大
15、小关系可以变形为求1212()()f xf xxx的正负号或者12()()f xf x与 1 的关系(2) 参照图象：若函数 f(x) 的图象关于点 (a， b)对称，函数 f(x) 在关于点 (a， 0)的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）若函数 f(x) 的图象关于直线xa 对称，则函数 f(x) 在关于点 (a，0)的对称区间里具有相反的单调性。 （特例：偶函数）(3) 利用单调函数的性质：函数 f(x) 与 f(x) c(c 是常数 )是同向变化的函数 f(x) 与 cf(x)(c是常数 ) ，当 c0 时，它们是同向变化的；当c0 时，它们是反向变化的。如果函数 f1(x)
16、，f2(x) 同向变化，则函数f1(x) f2(x) 和它们同向变化；（函数相加）如果正值函数 f1(x) ，f2(x) 同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2) 与f2(x) 同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）函数 f(x) 与1( )fx在 f(x) 的同号区间里反向变化。若函数 u(x) ，x ， 与函数 yF(u) ，u ( ) ，( ) 或 u ( ), () 同向变化，则在 ， 上复合函数 yF (x) 是递增的；若函数u(x),x， 与函数 yF(u) ，u ( ) ，( ) 或 u ( ) ，( ) 反向变化，则在 ， 上复合函数 yF(x) 是递减的。 （同增异减）若函数 yf(x) 是严格单调的，则其反函数xf1(y) 也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。如：求的单调区间yxxlog1222f(g) g(x) fg(x) f(x)+g(x) f(x)*g(x) 都是正数增增增增增增减减/ / 减增减/ / 减减增减减精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -
