《高等数学微积分82多元函数的概念课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学微积分82多元函数的概念课件（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.2多元函数的概念n一、二元函数的定义与几何意义n二、二元函数的极限n三、二元函数的连续性二元函数的定义n定义：设D是一个平面点集,若对于D内每个点P(x,y),变量z按照某个确定的对应法则f都有唯一确定的值和它对应,则称f是定义在D上的函数,记为z=f(x,y)。(或记为z=f(P)。)n n类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数: : u u= =f f( (x x, ,y y, ,z z)当当n n 2 2时时, ,n n元函数统称为多元函数。元函数统称为多元函数。n n多元函数同样有定义域、值域、自变量、因变多元函数同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念。量等
2、概念。n n二元函数有两个自变量二元函数有两个自变量, ,故其定义域是一个平故其定义域是一个平面上的区域：面上的区域：D Df f=(=(x x, ,y y)| )| 。例题与讲解n例求函数定义域：n解：所求定义域为例题与讲解n例：求下面二元函数的定义域n n解解 由分子由分子知知x x、y y应满足应满足由分母由分母知知x x、y y应满足应满足且且故定义域为故定义域为且且二元函数的图形n定义：n n二元函数的图形通常是二元函数的图形通常是一张曲面一张曲面. .二元函数的极限n描述性定义：当二元函数z=f(x,y)定义域Df内的动点P(x,y)无限趋近定点P(x0,y0)时,相应的函数值无限
3、接近某确定的常数A,则称当xx0, yy0时函数z=f(x,y)以为A极限。记：n n注意注意：对于一元函数的极限：对于一元函数的极限, ,自变量只要沿自变量只要沿x x轴从左右轴从左右两个方向趋向于两个方向趋向于x x0 0时时, ,函数值变化趋势一致就够了函数值变化趋势一致就够了 。而对于二元函数极限而对于二元函数极限, ,动点动点P PP P0 0的方式要复杂得多。的方式要复杂得多。因为平面上因为平面上, ,动点趋向于定点的方式有很多动点趋向于定点的方式有很多, ,只有动点只有动点P P以各种可能的方式趋向于定点时以各种可能的方式趋向于定点时, ,函数的极限都存在函数的极限都存在且相等且
4、相等, ,这时才算这时才算存在。存在。二元函数极限的分析定义n定义：例题与讲解*n例：求证 n n证证当 时，结论成立极限计算例题与讲解n例：求极限 n n解解其中有界量与无穷小量之积有界量与无穷小量之积例题与讲解(证明)例题与讲解n例：证明不存在。不存在。n n证证取其值随k的不同而变化，故极限不存在多元函数的连续性n定义：设n元函数f(P)的定义域为点集D,P0是其聚点且P0D，如果则称则称n n元函数元函数f f( (P P) )在点在点P P0 0处连续。处连续。n间断点：设P0是n元函数f(P)定义域D的聚点,如f(P)在点P0处不连续,则称P0是函数f(P)的间断点。n多元连续函数
5、的性质：与一元函数类似。有:连续的四则运算、复合运算性质;最值定理、介值定理;初等函数在定义区域内连续等。例题与讲解n例：讨论函数在在(0,0)(0,0)的连续性的连续性n n解解取取 y y= =kxkx其值随其值随k k 的不同而变化，故极限不存在。的不同而变化，故极限不存在。所以，函数在所以，函数在 (0,0) (0,0) 处不连续。处不连续。例题与讲解n例：讨论函数在在(0,0)(0,0)的连续性的连续性n n解：解：( (极限四则运算性质极限四则运算性质) )( (无穷小性质无穷小性质) )即即f f( (x x, ,y y) )在在(0,0)(0,0)的连续。的连续。例题与讲解n例：求极限n n解解( (初等函数连续性初等函数连续性) )
