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1、3.2 微积分基本公式 3.2.1 原函数和不定积分的概念 3.2.2 基本积分表 3.2.3 微积分基本公式3.2.1 原函数和不定积分的概念 一、案例 二、概念和公式的引出 一、案例路程函数已知物体的运动方程为 ，则其速度为 这里速度2t是路程t2的导数，反过来，路程t2又称为速度2t的什么函数呢？若已知物体运动的速度v(t)，又如何求物体的运动方程s(t)呢？ 二、概念和公式的引出如果在开区间I内，可导函数 F(x)的导函数为f(x), 即当 时, 或 则称函数 F(x)是函数f(x)在区间I内的一个原函数 原函数若 是函数 在开区间 内的一个原函数，即其它符号的名称与定积分中的名称一致
2、 不定积分在该区间 内的不定积分，记作 称为 为任意常数） 的所有原函数的表达式 则 （C称为积分常数，或 或 函数的不定积分与导数（或微分）之间的运算关系：3.2.2 基本积分表 一、案例 二、概念和公式的引出一、案例幂函数的不定积分于是类似地, 由基本初等函数的求导公式，可以写出与之对应的不定积分公式 因为是 的一个原函数1.基本积分表 (1)为常数） (2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) 二、概念和公式的引出(9)(10)(11)(12)(13)2、不定积分的性质 即两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数的不定积分的和（差）。性质可推广到有限个函数的情形为常数 即被积函数中不为的
3、常数因子可以提到积分号外(1) 性质1(2) 性质23.2.3 微积分基本公式 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习列车快进站时必须减速若列车减速后的速度为（km/min），问列车应该在离站台多远的地方开始减速？解 由变速直线运动路程的计算，有当列车速度为 时停下，解出 （min） 一、案例列车制动，且 因此，求 即s（3)转化为求s(t),而 （km）即列车在距站台1.5km处开始减速由速度与路程的关系 知路程 满足列车从减速开始到停下来的3min内所经过的路程为将s(0)=0代入上式，得C=0，故原函数，则此公式称为微积分基本公式，也称为牛顿莱布尼兹公式是连续函数 在区间 若函数
4、上的一个 二、概念和公式的引出微积分基本公式2、定积分的性质即两个函数和(差)的定积分等于它们定积分的和(差) 性质可推广到有限个函数的情形为常数 即被积函数的常数因子可以提到积分号外 (1) 性质1(2) 性质2 牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间a,b上的增量F(b)F(a)即可. 该公式把定积分的计算归结为求原函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.练习1 运动方程 已知一物体作直线运动，(1)求速度v与时间t的函数关系； (2)求路程s与时间t的函数关系 三、进一步的练习且当 时，
5、加速度为 解 (1)由速度与加速度的关系 知速度 满足 且求不定积分，得 将代入上式得 C=2所以 (2)由路程与速度的关系 ，知路程 满足且求不定积分，得 将代入上式得 C=3所以 练习2 磁场能量 在电压和电流关联参考方向下，电感元件吸收的功率为在dt时间内，电感元件在磁场中的能量增加量为电流为零时，磁场亦为零，即无磁场能量；当电流从0增大到i时，电感元件储存的磁场能量为由此可见，磁场能量只与最终的电流值有关，而与电流建立的过程无关。 练习3 电流函数 若t=0时i=2A，求电流i关于时间t的函数. 一电路中电流关于时间的变化率为 解 由 得 将代入上式得 C=2所以 练习4 结冰厚度起到时刻 t(单位：h)冰的厚度（单位：cm），t 是正的常数求y关于t的函数给出，其中 是自结冰池塘结冰的速度由 解 由 ,得 其中 t=0开始结冰，此时冰的厚度为0，即有 y(0)=0代入上式，得 C=0.所以
