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1、四、二次曲面第三节一、曲面方程的概念二、旋转曲面 三、柱面机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面及其方程 第八章 学习目标：熟悉各种二次曲面的标准方程及它们的图形特征，并能画出其草图。在多元微积分中常会碰到二次曲面高等数学(同济六版)D83曲面方程一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)D83曲面方程定义1. 如果曲面 S 与方程 F(
2、 x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.两个基本问题 :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 建立方程识别图形高等数学(同济六版)D83曲面方程故所求方程为例1. 求动点到定点方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为解: 设轨迹上动点为即依题意距离为 R 的轨
3、迹表示上(下)球面 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)D83曲面方程例2. 研究方程解: 配方得此方程表示:说明: 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面. 表示怎样半径为的球面.球心为 一个球面, 或点 , 或虚轨迹.机动 目录 上页 下页 返回 结束 1）三元二次方程；2）无交叉项；3）二次项系数相同。高等数学(同济六版)D83曲面方程二、柱面引例. 分析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程解:在 xoy 面上，表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意 z ,平行 z 轴
4、的直线 l ,表示圆柱面在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)D83曲面方程定义2. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面. 表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面.z 轴的平面.表示母线平行于 (且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线, l 叫做母线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 规律：直线沿曲线平移！高等数学(同济六版)D83曲面方程一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线
5、柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地，空间中仅含两个变量的方程表示：以平面上该曲线为准线，母线平行于方程中未出现变量对应的坐标轴的柱面。高等数学(同济六版)D83曲面方程定义3. 一条平面曲线三、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴 .例如 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 规律： 曲线绕直线转动一周高等数学(同济六版)D83曲面方程建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线 C: 则有则
6、有该点转到机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)D83曲面方程思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地，生成方程时：与旋转轴相同的变量不变，另一变量替换为其余两变量平方和的平方根。高等数学(同济六版)D83曲面方程例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)D83曲面方程例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转
7、绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)D83曲面方程四、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)D83曲面方程1. 椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)D83曲面方程与的交线为椭圆：(4) 当 ab
8、 时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:为正数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)D83曲面方程2. 抛物面(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.( p , q 同号)机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)D83曲面方程3. 双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时, 截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）平面 上的截痕情况:机动 目录 上页 下页 返回 结束 双曲线: 高等数学(同济六版)D83曲面方程虚轴平行于x 轴）时, 截痕为时, 截痕
9、为(实轴平行于z 轴;机动 目录 上页 下页 返回 结束 相交直线: 双曲线: 高等数学(同济六版)D83曲面方程(2) 双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线单叶双曲面双叶双曲面P18 目录 上页 下页 返回 结束 图形高等数学(同济六版)D83曲面方程4. 椭圆锥面椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到, 见书 P28)机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)D83曲面方程内容小结1. 空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如, 曲线绕
10、 z 轴的旋转曲面: 柱面如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)D83曲面方程2. 二次曲面三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面: 单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)D83曲面方程斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面思考与练习1. 指出下列方程的图形:机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)D83曲面方程2. P31 题3 , 10机动 目录 上页 下页 返回 结束 题10 答案: 在 xoy 面上 高等数学(同济六版)D83曲面方程作业 P31 2 ; 7 ; 8 (5) ; 11第四节 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)D83曲面方程
