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1、4.3.2空间两点间的距离公式1.了解空间间两点间间的距离公式的推导过导过 程和方法.2.掌握空间间两点间间的距离公式.3.能够应够应 用空间间两点间间的距离公式解决简单简单 的问题问题 .空间间两点间间的距离(1)公式：已知空间间中任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则则|P1P2|=_.(2)特殊情况：空间间中任意一点P(x,y,z)与原点O的距离为为|OP|=_.1.“判一判”理清知识识的疑惑点(正确的打“”,错误错误 的打“”).(1)点A(a,b,c)与它在平面yOz内的射影的距离为为a.()(2)空间间两点间间的距离公式与两点顺顺序有关.()(3)点A(1,
2、1,0)与点B(1,1,1)之间间的距离是1.()(4)在空间间直角坐标标系中,点P(x0,y0,z0)到坐标轴标轴 的距离分别别等于相应应坐标标的绝对值绝对值 .()提示：(1)错误.点A(a,b,c)与它在平面yOz内的射影的距离为|a|.(2)错误.空间中两点间的距离与两点的顺序无关.(3)正确. (4)错误.在空间直角坐标系中,点P(x0，y0，z0)到坐标轴的距离分别是答案：(1) (2) (3) (4)2.“练练一练练”尝试尝试 知识识的应应用点(请请把正确的答案写在横线线上).(1)已知A(-1,2,3),B(-1,4,-2),则则|AB|=.(2)已知A(-2,1,m),B(-
3、2,2,0),若|AB|=1,则则m=.(3)点M(2,-3,5)到x轴轴的距离是.【解析】(1)答案：(2)因为所以1+m2=1,所以m=0.答案：0(3)过点M作x轴的垂线，垂足的坐标是(2，0，0)，所以答案：空间间两点间间的距离公式观观察空间间两点间间的距离公式,一般地,空间间中任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间间的距离为为探究1：观观察公式,探究以下问题问题(1)空间间两点间间的距离公式有何特征?提示：空间两点间的距离公式右端是同名坐标的差的平方和的算数平方根.(2)空间间两点间间的距离公式与平面内两点间间的距离公式有什么关系?提示：空间两点间的距离公式是平
4、面内两点间的距离公式的推广,其形式和结构特征是相同的,只是多出一组坐标.探究2：结结合空间间两点间间的距离公式,探究式子(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2的几何意义义是什么?提示：式子(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2表示两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)距离的平方.【拓展延伸】空间两点间的距离公式的几何意义空间中任意一点P(x,y,z)到原点O的距离 当OP为定值时, =r(r0)的几何意义是以原点O为球心,以r为半径的球面.【探究提升】对空间两点间距离公式的三点说明(1)空间两点间距离公式是平面内两点间距离公式的推广.(2)公式的推导
5、是转化成平面内两点之间的距离,结合勾股定理推出的.(3)公式中x1,x2及y1,y2及z1,z2的顺序可以改变.类型 一 空间两点间的距离公式尝试解答下列题目，归纳利用空间两点间的距离公式求空间距离的步骤.1.点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于 ( )2.设点P在x轴上，它到点P1(0， ，3)的距离为到点P2(0,1,-1)的距离的两倍，求点P的坐标.【解题指南】1.先求出点B的坐标，再由距离公式求解.2.先根据x轴上点的坐标特点设出点P的坐标(a,0,0),再根据两点间距离公式列出关于a的方程，然后解方程即可.【解析】1.选B.因为点B坐标为(0，2，3)，所
6、以 故选B.2.设P(a,0,0),因为|PP1|=2|PP2|,所以所以a2+2+9=4(a2+1+1),所以a=1,即P(1，0，0)或P(-1,0,0).【互动探究】若题2中“点P在x轴上”换为“点P在z轴上”其他条件不变，其结论又如何呢？【解析】设P(0,0,c),因为|PP1|=2|PP2|,所以所以2+(c-3)2=4(1+c2+2c+1),所以所以P(0,0, )或P(0，0， ) .【技法点拨】利用空间两点间距离公式求距离的两个步骤【变式训练】在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M与A与B的距离相等，则M的坐标是_.【解题指南】设出M
7、点坐标，利用|MA|=|MB|列式求解.【解析】设M(0,b,0),则由|MA|=|MB|得解得b=-1.即M的坐标是(0，-1，0).答案：(0,-1,0)类型 二 空间间两点间间距离公式的应应用通过过解答下列与两点间间距离公式应应用有关的题题目,试总试总结结两点间间距离公式在几何上的应应用.1.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则则ABC的形状为为 ()A.等腰三角形 B.等边边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形2.如图图,已知正方体ABCD-ABCD的棱长为长为 a,M为为BD的中点,点N在AC上,且|AN|=3|NC|,试试求|MN|.【解题指南】1
8、.先利用空间两点间距离公式求出三角形的三边长，再根据三角形的三边确定三角形的形状.2.先根据空间几何体的结构特征建立空间直角坐标系，然后根据题目中的条件求出点M，N的坐标，最后利用空间两点间距离公式即可求出|MN|.【解析】1.选C. 因为|AB|2=|AC|2+|BC|2,又|AB|，|AC|，|BC|两两不等，所以ABC为直角三角形，故选C.2.以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系.因为正方体棱长为a,所以B(a,a,0),A(a,0,a),C(0,a,a),D(0,0,a).由于M为BD的中点，取AC的中点O,所以因为|AN|=3|NC|,所以N为AC的四等分点,从而N为OC的中点，故
9、根据空间两点间的距离公式，可得【技法点拨】两点间距离公式在几何中的应用(1)求立体几何中线段长度问题建系：将立体图形放在空间直角坐标系中.定坐标：在空间直角坐标系中,根据条件确定有关的点的坐标.定距离：利用空间两点间距离公式确定所求线段的长.(2)判断三角形形状利用两点间距离公式求三边长.结合三边长及三角形有关知识判断三角形的形状.【拓展延伸】建立空间直角坐标系遵循的两个原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.(2)充分利用几何图形的对称性.【变变式训练训练 】四棱锥锥S-ABCD的底面是矩形,AB=1,AD=2,SA=1,且SA底面ABCD,问边问边 BC上是否存在异于B,C的点P
10、,使得SPD是直角?【解析】以A为原点,射线AB,AD,AS分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),S(0,0,1),D(0,2,0).设P(1,x,0)(0 x2),所以SP2=(1-0)2+(x-0)2+(0-1)2=x2+2,PD2=(1-0)2+(x-2)2+(0-0)2=(x-2)2+1,SD2=(0-0)2+(0-2)2+(1-0)2=5.因为SPD是直角,所以SP2+PD2=SD2,即x2+2+(x-2)2+1=5,所以x2-2x+1=0,解得x=1.因此边BC上存在异于B,C的点P,使得SPD是直角.1.点A(3，6，1)与B(5，3，-1)的距离是
11、( )【解析】选C.|AB|2.设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，AB的中点M，则|CM|=( )【解析】选C.由于AB的中点M的坐标为 ,则3.在空间间直角坐标标系中,已知点P(a,b,c)满满足方程(x+2)2+(y-1)2+(z-3)2=3,则则点P的轨轨迹是()A.直线线 B.圆圆 C.球面 D.线线段【解析】选C.由题意,动点P到定点(-2,1,3)的距离为定值 ,所以点P的轨迹是球面.4.已知A(2，5，-6)，点P在y轴上，|PA|=7，则点P的坐标是 ( )A.(0，8，0) B.(0，2，0)C.(0，8，0)或(0，2，0) D.(0，-8，0)【解析
12、】选C.因为点P在y轴上，所以可设P(0,b,0),因为|PA|=7，A(2，5，-6)，所以解得b=2或b=8.5.在空间间直角坐标标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的顶顶点A(3,-1,2),其中心M的坐标为标为 (0,1,2),则该则该 正方体的棱长长等于.【解析】所以对角线|AC1|设棱长为x,则3x2= 所以答案：6.如图图,在宽宽、长长、高分别为别为 2,4,3的长长方体ABCD-A1B1C1D1中,利用空间间两点间间距离公式,求对对角线线AD1,AB1和AC1的长长.【解析】以D为坐标原点,DA,DC和DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则D(0,0,0),A(2,0,0),D1(0,0,3),B1(2,4,3),C1(0,4,3).所以
