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1、.解三角形高考会这样考1考查正、余弦定理的推导过程2考查利用正、余弦定理判断三角形的形状3考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法4.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题基础梳理1正弦定理：2R,其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：abcsin Asin Bsin C；a2Rsin_A,b2Rsin_B,c2Rsin_C；sin A,sin B,sin C等形式,以解决不同的三角形问题2余弦定理：a2b2c22bccos_A,b2a2c22accos_B,c2a2b22abcos_C余弦定理可以变形为：cos A,cos B,cos C.3面积公式：S
2、ABCabsin Cbcsin Aacsin Br,并可由此计算R,r.4已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况如已知a,b,A,则A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解5用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等6实际问题中的常用角仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角如图方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为如图方向角：相对于某正方向的水平角,如南偏东30,北偏
3、西45,西偏东60等坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数考向探究题型一 正弦余弦定理运用例题1在ABC中,已知a=,b=,B=45,求A、C和c.例题2 在ABC中,a、b、c分别是角A,B,C的对边,且=-.1求角B的大小；2若b=,a+c=4,求ABC的面积.例题3 14分ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0.1求角A的大小；2若a=,求bc的最大值；3求的值.变式1.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若c=,b=,B=120,则a=.2.1ABC中,a=8,B=60,C=75,求b;ABC中,B=30,b=4,c=8,求C、A、a.3.在
4、ABC中,A=60,AB=5,BC=7,则ABC的面积为.4.已知ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为S,且2S=a+b2-c2,求tanC的值.5.在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若b-ccosA=acosC,则cosA=.6. 在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2+c2-b2tanB=ac,则角B的值为.7.在ABC中,内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=.1若ABC的面积等于,求a、b的值；2若sinC+sin=2sin2A,求ABC的面积.题型二 判断三角形形状例题在ABC中,a、b、c分别表示三
5、个内角A、B、C的对边,如果a2+b2sinA-B=a2-b2sinA+B,判断三角形的形状.变式 已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列,且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断ABC的形状.题型三 测量距离问题例题如图所示,为了测量河对岸A,B两点间的距离,在这岸定一基线CD,现已测出CDa和ACD60,BCD30,BDC105,ADC60,试求AB的长变式 如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75,30,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60,AC
6、0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,D的距离题型四测量高度问题例题如图,山脚下有一小塔AB,在塔底B测得山顶C的仰角为60,在山顶C测得塔顶A的俯角为45,已知塔高AB20 m,求山高CD.变式如图所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得BCD,BDC,CDs,并在点C测得塔顶A的仰角为,求塔高AB.题型五正、余弦定理在平面几何中的综合应用例题如图所示,在梯形ABCD中,ADBC,AB5,AC9,BCA30,ADB45,求BD的长变式 如图,在ABC中,已知B45,D是BC边上的一点,AD10,AC14,DC6,求AB
7、的长巩固训练1.在ABC中,若2cosBsinA=sinC,则ABC一定是三角形.2.在ABC中,A=120,AB=5,BC=7,则的值为.3.已知ABC的三边长分别为a,b,c,且面积SABC=b2+c2-a2,则A=.4.在ABC中,BC=2,B=,若ABC的面积为,则tanC为.5.在ABC中,a2-c2+b2=ab,则C=.6.ABC中,若a4+b4+c4=2c2,则C=.7.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=,c=,则B=.8.某人向正东方向走了x千米,他右转150,然后朝新方向走了3千米,结果他离出发点恰好千米,那么x的值是.9.下列判断中不正确的结论
8、的序号是.ABC中,a=7,b=14,A=30,有两解ABC中,a=30,b=25,A=150,有一解ABC中,a=6,b=9,A=45,有两解ABC中,b=9,c=10,B=60,无解10. 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,并且a2=b.1求证：A=2B；2若a=b,判断ABC的形状.11.在ABC中,cosB=-,cosC=.1求sinA的值； 2ABC的面积SABC=,求BC的长.12.已知a、b、c是ABC的三边长,关于x的方程ax2-2 x-b=0 的两根之差的平方等于4,ABC的面积S=10,c=7.1求角C；2求a,b的值.13.在ABC中,角A、B、C的对边分
9、别为a、b、c,已知a+b=5,c=,且4sin2-cos2C=.求角C的大小；2求ABC的面积.14如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,ACB45,CAB105后,就可以计算出A,B两点的距离为 A50 m B50 m C25 m D. m15从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则,的关系为 A B C90 D18016若点A在点C的北偏东30,点B在点C的南偏东60,且ACBC,则点A在点B的 A北偏东15 B北偏西15 C北偏东10 D北偏西1017一船向正北航行,看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,
10、继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60,另一灯塔在船的南偏西75,则这艘船的速度是每小时 A5海里 B5海里C10海里 D10海里18海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛相距10海里,BAC60,ABC75,则B,C间的距离是_海里19.如图,甲船以每小时30海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处,此时两船相距10海里问：乙船每小时航行多少海里？ 参考答案例题答案题型一 正弦、余弦定理例题1解 B=4590且asinBb
11、a,ABC有两解.由正弦定理得sinA= =,则A为60或120.当A=60时,C=180-=75,c=.当A=120时,C=180-=15,c=.故在ABC中,A=60,C=75,c=或A=120,C=15,c=.例题2解1由余弦定理知：cosB=,cosC=.将上式代入=-得:=-整理得:a2+c2-b2=-accosB= =-B为三角形的内角,B=.2将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=2-2ac-2accosBb2=16-2ac,ac=3.SABC=acsinB=.例题3解1cosA=-, 又A0,180,A=120. 2由a=,得b2+c2=3-bc
12、,又b2+c22bc当且仅当c=b时取等号,3-bc2bc当且仅当c=b时取等号. 即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1. 3由正弦定理得：2R,= =变式1.2. 解1由正弦定理得.B=60,C=75,A=45,b=4.由正弦定理得sinC=1.又30C150,C=90.A=180-=60,a=4.3. 104. 解 依题意得absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.所以,absinC=2ab,即sinC=2+2cosC,所以2sincos =4cos2化简得：tan=2.从而tanC=-.5. 6. 或7. 解 1由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4.又因为ABC的面积等于,所以absinC=,所以ab=4.联立方程组 解得.2由题意得sin+sin=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,当cosA=0时,A=,B=,a=,b=.当cosA0时,得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立方程组 解得所以ABC的面积S=absinC=.题型二 判断三角形形状例题解方法一 已知等式可化为a2sinA-B-sinA+B=b2-sinA+B-sin2a2cosAsinB=2b2c
