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1、人口预测的数学模型摘 要本题要求根据给出的01到05年的人口情况的数据，对我国的人口增长建立数学模型并做出预测。我们建立递归模型，从2005年开始预测。按照性别和市，镇，乡的区别把人口分为6类。按照年龄进行分段，每一个年龄作为一段。用2005年的每个年龄的人数预测06年统一年龄的人数。把06年各年龄的预测值相加，即可得到2006年的总人数的预测值。然后依次递归，得出其他年份的人口数据。影响人口增长的主要因素有：出生率、死亡率、政府政策、老龄化、和乡村城镇化的影响。我们在递归模型主题框架的基础上，逐步深入建立了四个模型：模型一，只考虑出生率和死亡率对人口增长的影响，从2001年到2005年的数据
2、中，求出平均出生率和平均死亡率，并假定2005年以后的平均出生率和平均死亡率不变。为了减少累计误差，用05年数据逐步迭代得到人口随时间的变化曲线。然后，用01年的数据运用模型一迭代出0105年人数，与修正后的数据进行比较，求得我们的模型的估计值与实际值相近，进而推出模型基本的合理性。模型二，在模型一的基础上加上政策因素的影响，引进人口政策影响因子R，通过对结果进行分析，发现政府政策对人口的变化情况会产生较大的影响。体现为了控制人口数量，国家可以进行较好的宏观调控。模型三，在模型二的基础上加上老龄化对人口增长的影响，引进阻滞因子，建立人口随时间的变化曲线。模型四，在模型三的基础上加上乡村人口城镇
3、化的影响，通过对结果进行分析我们发现模型四与前几个模型的主要区别是在城镇人口的数量，及城镇人口在全国人口总人口的比率上，更符合实际情况。在每个模型的基础上，进一步分别对人口总数，性别比例，老龄化程度，生育期内妇女总数，有劳动力的人数等做出了预测。此外根据国家人口发展战略研究报告计划的目标，在模型四的基础上，通过对R值进行调整，得到当R1.36基本能够满足国家的战略计划。并对国家的政策给出合理化建议。运用matlab编程求解，求得四个模型人口峰值及达到峰值时间如下表；模型一模型二模型三模型四202520402038203513.67亿14.81亿14.65亿14.56亿 在模型的最后，对模型的优
4、缺点及不足之处进行了分析。关键词：递归模型，人口政策影响因子，阻滞因子，人口城镇化1问题的重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的国家人口发展战略研究报告还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势
5、做出预测； 2问题分析本题要求我们通过20012005年的数据，从我国的实际情况和人口增长的特点出发，建立人口增长的数学模型，对我国人口增长的中短期和长期的趋势做出预测。由题中所给数据，不同性别，不同地区包括（城、镇、乡），我们将人员分为六类。对每一类人分别进行分析，具体分类情况如下：表1 人员分类情况表分类市男市女镇男镇女乡男乡女i123456对每一类人分别进行递归，得到0到岁人口的变化情况。 在递归过程中，首先考虑死亡率和生育率，通过01年05年的数据求出平均死亡率和平均生育率。 对模型进行再分析，人口的增长不仅仅由出生率和死亡率决定，还有很多社会因素，包括城市化进程，老龄化，性别比例及政
6、府的政策。如目前国家已经放宽了计划生育政策，允许夫妻双方都是独生子女的生第二胎。除了考虑因素外，人口的增长还受社会平均教育水平等多方面因素的影响。所以，我们应不断增加模型的考虑因素，对模型进行优化。在我们的模型中，采用老年人的衡量标准是60岁，有劳动能力的人的衡量标准是15到59岁；孕期妇女的衡量标准是15到49岁。3模型假设1 忽略中国人口出国和外国人口加入我国国籍的情况；2 假定每年的平均出生率和平均死亡率恒定不变；3 假定没有影响人口非正常增长的意外情况发生；4、人口迁移后与当地人的各方面因素相同；5假设短期，中期和长期分别为5年，20年和50年；4符号约定 5模型一的建立与求解5.1
7、问题的进一步分析城、镇、乡人口的出生率和死亡率是不同的，不同年龄不同性别的死亡率也是不同的。在对平均死亡率的处理上，我们将不同年龄、性别的人的死亡率分别考虑。题目中给出了01到05年全国人口分布情况，我们采用递归法，后一年各年龄上的人数，是上一年小一岁的人数减去该人数在本年中死亡人数。用01年到05年，每年新出生的婴儿的总量，和5年女性人口的总数取比值，可以求出01到05年平均生育率。据模型假设，05年以后的平均出生率，等于计算得到的平均出生率。5.2数据的预处理国家统计局公布的数据01到05年全国总人数如下表。表2 0105年全国人口总数（单位：万人）20012002200320042005
8、127627128453129227129988130756题目中给出的2005年中国人口1%调查数据是：表3 题目给出的05年数据表城市男城市男镇男镇女乡男乡女总数23576792350224146480414441764762400460648416985767国家统计局给出的2005年中国人口总数是1307560000人。如果根据国家统计局公布的人口总数，1%的人数应该是13075600人，和16985767有明显的偏差。所以题目中给出的各项的人数不是在1%的条件的准确数据。我们认为题目中给出的各项数据的比例是准确的。对2005年城市人口的数据做如下修正：表4 修正后2005年的数据市男
9、城女镇男镇女乡男乡女总数18160521807716112750011109293662326354476813075600对2001年到2004年的数据做同样的修正。利用经过上述处理的数据，可以算出01到05年各类人，各年龄的平均死亡率: (5.1)平均出生率为：； （5.2）各年出生的男孩女孩的性别比计算如下：表5 2001到2005年出生婴儿的男女性别比例市镇乡年份男婴人数女婴人数男婴人数女婴人数男婴人数女婴人数20051667101144965312540221074876468789338945572004152080713266621135296885145.84643516375
10、90372003131178811806091055038920760488879240739932002144927612845868845487265935169821439820620011388248124056293370582292651384444448206平均性别比0.530940.469060.5429340.4570660.5438390.4561615.3 模型建立由于城市，城镇和乡村的人口情况差别很大，我们在建立模型的时候，以对城市人口的情况进行建模为例进行说明。城镇和乡村人口的模型与城市人口的模型，从数学的角度来讲完全一样，只是有关的参数的数值有些许的差别。此时，i
11、=1,2.由于2001年到2005年，总的人口情况已经给出，所以我们只要对从2006年开始的以后年份开始预测即可。因为人口变化的影响因素很多，并且我们的模型只是局部适用的，不可能对所有的年份都适用，我们只对2006年到2055年的人口模型进行预测。我们建立递归的模型如下：第i类，第j年，年龄为0的城市人数，即第j年新出生的第i类人数，符号表示如下： (5.3) 第i类，第j年，年龄为k的城市人数是由第(j-1)年，年龄为(k-1)的人数乘以 后剩余的总人数，符号表示如下： (5.4)第i类，第j年，年龄为的城市人数由两部分组成，一部分是第(j-1)年，年龄为89岁人经过一年，年龄变为；另外一部
12、分是第(j-1)年，年龄为的人经过一定的存活率之后剩余的人数。两类人数总和即为第i类，第j年，年龄为的人数，用符号表示如下： （5.5） 第j年末的总的城市人数量符号表示如下： (5.6)2005的城市人口情况的数据已经给出，通过以上模型，可以递归出2006年城市的人数。同样的处理方法，我们可以递归出2006年的乡村和城镇的人数。然后依次递归，即可求出后面每年的人口数量。因为我们建立的递归模型只和相邻两年的数据有关，我们从2005年开始递归。综上所述，模型一为： 5.4 模型求解编制的MATLAB程序计算里面，分别考虑了城男，城女，镇男，镇女，乡男和乡女六种情况，并且计算了每一年六种人数的总和
13、。程序运行的结果如下：表6 模型一预测2006年到2054年全国人口数据（单位：万人）年份2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 人数130693 131268 131815 132336 132830 133297 133734 134143 134522 134871 年份2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 人数138979 139679 140355 141006 141633 142235 142812 143362 143884 144379 年份2025 2026 2027 2028 2029 2030 2031 2032 2033 2034 人数147811 147931 148021 148082 148116 148123 148105 148065 148004 147923 年份2035 2036 2037 2038 2039 2040 2041 2042 2043 2044 人数147811 147931 148021 148082 148116 148123 148105 148065 148004 147923 年份147811 147931 148021 148082 14
