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1、第五章,5.6,函数yAsin(x)(二) 5.6 函数 y Asin(x )( 二) 学习目标 1.掌握函数 yAsin(x)的图象与性质，并能解决有关问题.2.能够利用函数 yAsin(x)解决实际问题 一、由图象求三角函数的解析式 例 1 如图是函数 yAsin(x) A0，0，| 2的图象的一部分，求此函数的解析式 解 方法一 逐一定参法 由图象知 A3， T 56 6， 2T2， y3sin(2x) 点 6 ，0 在函数图象上， 6 202k，kZ， 又| 2 ， 3 ， y3sin 2x 3. 方法二 待定系数法 由图象知 A3.图象过点 3 ，0 和 56，0 ， 3，562，解
2、得 2， 3 . y3sin 2x 3. 方法三 图象变换法 由 A3，T，点 6 ，0 在图象上， 可知函数图象由 y3sin 2x 向左平移 6 个单位长度而得， y3sin 2 x 6，即 y3sin 2x 3. (学生留) 反思感悟 给出 yAsin(x)的图象的一部分，确定 A， 的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定 A 和 ，则选取五点法中的第一零点的数据代入x0(要注意正确判断哪一点是第一零点)求得 或选取最大值点时代入公式 x 2 2k，kZ，选取最小值点时代入公式 x322k，kZ. (2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数 A，.这里需要注意
3、的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式 (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式 yAsin x，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数 跟踪训练 1 (1)函数 yAsin(x) A0，0，| 2的部分图象如图所示，则( ) Ay2sin 2x 6 By2sin 2x 3 Cy2sin x 6 Dy2sin x 3 答案 A 解析 由题图可知，A2，T2 3 6，所以 2.由函数经过点 3 ，2 可知2sin 2 3 2，所以 23 2 2k，kZ，所以 6 2k，kZ，因为|2 ，所 以 6 ，所以函数的解析式为 y2sin 2x 6. (2)已知
4、函数 f(x)Asin(x)，xR 其中A0，0，0 2的图象与 x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为 2 ，且图象上一个最低点为 M 23，2 ，求 f(x)的解析式 解 由最低点 M 23，2 ，得 A2. 在 x 轴上两相邻交点之间的距离为 2 ， 故 T2 2 ，即 T，2T 22. 由点 M 23，2 在图象上得 2sin 2 23 2，即 sin 43 1， 故 43 322k，kZ， 6 2k，kZ， 又 0， 2， 6 .故 f(x)2sin 2x 6. 二、三角函数性质的综合问题 例 2 (1)(多选)将函数 ysin(2x)的图象沿 x 轴向左平移 8 个单位长度后，得到一
5、个偶函数的图象，则 的可能取值为( ) A. 54 B. 4 C0 D34 答案 ABD 解析 将函数 ysin(2x)的图象向左平移 8 个单位长度后，得到 ysin 2x 4的图象，因为它是偶函数，所以 4 2 k，kZ，即 4 k，kZ，当 k0 时，4 .当 k1 时， 34.当 k1 时， 54 ，故选 ABD. (2)若 f(x) 3sin 2x1(0)在区间 32， 2上单调递增，则 的最大值为_ 答案 16 解析 因为 f(x) 3sin 2x1(0)在区间 32， 2上单调递增，可得 322 2 ，且2 22 ，求得 16 ，故 的最大值为16 . 反思感悟 (1)正弦、余弦
6、型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数 yAsin(x)和余弦型函数 yAcos(x)不一定具备奇偶性对于函数 yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数，当k 2 (kZ)时为偶函数；对于函数yAcos(x)，当 k(kZ)时为偶函数，当 k 2 (kZ)时为奇函数 (2)与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧 结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间 确定函数 yAsin(x)(A0，0)单调区间的方法：采用换元法整体代换，将 x 看作一个整体，可令zx，即通过求 yAsin z 的单调区间而求出函数的单调区间若 0，则可利用诱导公式先将 x 的系数转变为正数，再求单调区间 跟踪训练 2
7、 已知函数 f(x)sin(x)(0,0)是 R 上的偶函数，其图象关于点M 34，0 对称，且在区间 0， 2上具有单调性，求 和 的值 解 由 f(x)是偶函数，得 f(x)f(x)， 即函数 f(x)的图象关于 y 轴对称， f(x)在 x0 时取得最值，即 sin 1 或1. 依题设 0， 2 . 由 f(x)的图象关于点 M 对称，可知 sin 34 20，即 34 2 k，kZ， 解得 4k3 23 ，kZ. 又 f(x)在 0， 2上具有单调性，T，即 2 . 2，又 0，k1 时， 23 ；k2 时，2. 故 2 ，2 或23 . 三、三角函数的实际应用 例 3 已知某海滨浴场
8、的海浪高度 y(米)是时间 t(时)的函数，其中 0t24，记 yf(t)，下表是某日各时的浪高数据： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，yf(t)的图象可近似地看成是函数 yAcos tb 的图象 (1)根据以上数据，求其最小正周期和函数解析式； (2)根据规定，当海浪高度大于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00 到 20：00 之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？ 解 (1)由表中数据可知，T12， 6 . 又 t0 时，y1.5，Ab1.5； t3
9、时，y1.0，得 b1.0，A 12 ， 函数解析式为 y 12 cos 6 t1(0t24) (2)y1 时，才对冲浪爱好者开放， y 12 cos 6 t11，cos 6 t0， 2k 2 6 t2k2 ，kZ， 即 12k3t12k3(kZ) 又 0t24，0t3 或 9t15 或 21t24， 在规定时间内冲浪爱好者只有 6 个小时可以进行活动，即 9t15. 反思感悟 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行 (1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论 (2)建立三角函数模型，将实际问题数学化 (3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解
10、 (4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解 (5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案 跟踪训练 3 如图，某动物种群数量 1 月 1 日低至 700,7 月 1 日高至 900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化 (1)求出种群数量 y 关于时间 t 的函数表达式(其中 t 以年初以来的月为计量单位)； (2)估计当年 3 月 1 日动物种群数量 解 (1)设种群数量 y 关于 t 的解析式为 yAsin(t)b(A0，0)， 则 Ab700，Ab900，解得 A100，b800. 又周期 T2(60)12， 2T 6 ， y100sin 6 t 800. 又当 t6 时，y900， 90
11、0100sin 6 6 800， sin()1，sin 1，取 2 ， y100sin 6 t2800. (2)当 t2 时， y100sin 6 22800750， 即当年 3 月 1 日动物种群数量约是 750. 1将函数 ysin 2x 4的图象向左平移 8 个单位长度，所得图象所对应的函数是( ) A非奇非偶函数 B既奇又偶函数 C奇函数 D偶函数 答案 D 解析 ysin 2x 4向左平移 8 个单位长度 ysin 2 x 8 4 sin 2x 2 cos 2x，为偶函数 2若函数 f(x)2sin 2x 3 是偶函数，则 的值可以是( ) A. 56 B. 2 C.3 D2 答案
12、A 解析 令 x0 得 f(0)2sin 3 2， sin 31，把 56代入，符合上式故选 A. 3同时具有性质(1)最小正周期是 ；(2)图象关于直线 x 3 对称；(3)在 6 ，3上单调递增的一个函数是( ) Aysin x2 6 Bycos 2x 3 Cysin 2x 6 Dycos 2x 6 答案 C 解析 由(1)知 T 2 ，2，排除 A. 由(2)(3)知 x 3 时，f(x)取最大值， 验证知只有 C 符合要求 4.如图为函数 yAsin(x)(A0，0，0)的图象的一部分，则函数的解析式为_ 答案 y 3sin 2x 23 解析 由图象，可得 A 3， 12 2 56 3
13、 ，2. 函数图象过点 3 ，0 ， 3sin 23 0， 2322k，kZ， 432k，kZ，又0， 23， 故函数的解析式为 y 3sin 2x 23. 5已知函数 f(x)sin(2x)(0)图象的一条对称轴是直线 x 6 ，则 的值为_ 答案 56 解析 由题意知 2 6 2 k，kZ， 所以 6 k，kZ， 又0， 所以 56 . 1知识清单： (1)由图象求三角函数的解析式 (2)三角函数的性质的综合问题 (3)三角函数的实际应用 2方法归纳：特殊点法、数形结合法 3常见误区：求 值时递增区间上的零点和递减区间上的零点的区别 1(多选)若函数 f(x)3sin(x)对任意 x 有 f 6 x f 6 x ，则 f 6等于( ) A3 B1 C0 D3 答案 AD 解析 由于函数 f(x)3sin(x)对任意 x 都有 f 6 x f 6 x ，则函数 f(x)的图象关于直线 x 6 对称，则 f 6是函数 f(x)的最大值或最小值，则 f
