《2022届高考数学统考一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线的方程教师用书教案理新人教版202103081241》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022届高考数学统考一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线的方程教师用书教案理新人教版202103081241(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 8 8 章章 平面解析几何平面解析几何 全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 高考在本章一般命制 12 道小题, 1 道解答题,分值约占 2024 分. 2.考查内容 (1)对直线方程、圆及圆锥曲线的概念和性质的考查一般以选择题或填空题为主,重在考查学生的双基. (2)对直线与圆锥曲线的位置关系的考查,常以定点问题、最值问题及探索性问题为载体,重在考查等价转化思想、方程思想及数学运算能力. 直线的倾斜角与斜率、直线的方程直线的倾斜角与斜率、直线的方程 考试要求 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直
2、线斜率的计算公式. 3.掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系 1直线的倾斜角 (1)定义:当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0. (2)范围:直线 l 倾斜角的取值范围是0,) 2直线的斜率 (1)定义: 一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率, 斜率常用小写字母 k 表示,即 ktan ,倾斜角是2的直线没有斜率 (2)过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)
3、(x1x2)的直线的斜率公式为 ky2y1x2x1. 3直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距,斜率 ykxb 与 x 轴不垂直的直线 点斜式 过一点,斜率 yy0k(xx0) 两点式 过两点 yy1y2y1xx1x2x1 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 xayb1 不过原点,且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 AxByC0 (A2B20) 平面内所有直线都适用 提醒:“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正、可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数 常用结论 1直线的斜率 k 和倾斜角 之间的函数关系 如图,当 0,2时,斜率 k0,);当 2时,
4、斜率不存在;当 2, 时,斜率 k(,0) 2特殊直线的方程 (1)直线过点 P1(x1,y1),垂直于 x 轴的方程为 xx1; (2)直线过点 P1(x1,y1),垂直于 y 轴的方程为 yy1; (3)y 轴的方程为 x0; (4)x 轴的方程为 y0. 一、易错易误辨析(正确的打“”,错误的打“”) (1)直线的斜率为 tan ,则其倾斜角为 . ( ) (2)直线的倾斜角越大,其斜率就越大 ( ) (3)直线的截距就是直线与坐标轴的交点到原点的距离 ( ) (4)经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)
5、表示 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1已知两点 A(3, 3),B( 3,1),则直线 AB 的斜率是( ) A 3 B 3 C33 D33 D kAB313 333,故选 D 2过点(1,2)且倾斜角为 30 的直线方程为( ) A 3x3y6 30 B 3x3y6 30 C 3x3y6 30 D 3x3y6 30 A 直线的斜率 ktan 30 33. 由点斜式方程得 y233(x1),即 3x3y6 30,故选 A 3在 x 轴、y 轴上的截距分别是 4,3 的直线方程为 3x4y120 由题意知,直线方程为x4y31,即 3x4y120. 4已知直线斜
6、率的绝对值等于 1,则直线的倾斜角为 4或34 设直线的倾斜角为 ,则|tan |1,tan 1. 又 0,),4或34. 考点一 直线的倾斜角与斜率 斜率取值范围的两种求法 数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置, 借助图形, 结合正切函数的单调性确定 函数图象法 根据正切函数图象,由倾斜角范围求斜率范围,反之亦可 1若经过两点 A(4,2y1),B(2,3)的直线的倾斜角为34,则 y 等于( ) A1 B3 C0 D2 B 由题意可知2y1342tan 341, 解得 y3.故选 B 2若直线 l 的斜率 k1,1,则直线 l 的倾斜角 的范围是 0,434, 当1k0 时,3
7、4, 当 0k1 时,04. 因此 的取值范围是0,434, . 3直线 l 过点 P(1,0),且与以 A(2,1),B(0, 3)为端点的线段有公共点,则直线 l 斜率的取值范围为 (, 31,) 如图, kAP10211,kBP3001 3,k(, 31,) 点评:(1)解决直线的倾斜角与斜率问题,常采用数形结合思想注意区分含有 90 和不含 90 两种情况的讨论 (2)根据斜率求倾斜角的范围时,要分0,2与2, 两种情况讨论 考点二 直线方程的求法 求直线方程的两种方法 典例 1 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; (2)直线经过点 A(
8、 3,3),且倾斜角为直线 3xy10 的倾斜角的一半; (3)在ABC 中,已知 A(5,2),B(7,3),且 AC 的中点 M 在 y 轴上,BC 的中点 N 在 x轴上,求直线 MN 的方程 解 (1)法一:设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a,若 a0,即 l 过点(0,0)和(3,2), l 的方程为 y23x,即 2x3y0. 若 a0,则设 l 的方程为xaya1, l 过点(3,2),3a2a1, a5,l 的方程为 xy50. 综上可知,直线 l 的方程为 2x3y0 或 xy50. 法二:由题意,所求直线的斜率 k 存在且 k0, 设直线方程为 y2k(x3), 令
9、 y0,得 x32k, 令 x0,得 y23k, 由已知 32k23k, 解得 k1 或 k23, 直线 l 的方程为 y2(x3)或 y223(x3), 即 xy50 或 2x3y0. (2)由 3xy10 得此直线的斜率为 3,所以倾斜角为 120 ,从而所求直线的倾斜角为 60 ,故所求直线的斜率为 3. 又直线过点 A( 3,3),所以所求直线方程为 y3 3(x 3),即 3xy60. (3)设 C(x0,y0),则 M5x02,y022,N7x02,y032. 因为点 M 在 y 轴上,所以5x020, 所以 x05. 因为点 N 在 x 轴上,所以y0320, 所以 y03,即
10、C(5,3), 所以 M0,52,N(1,0), 所以直线 MN 的方程为x1y521, 即 5x2y50. 点评:当直线在 x 轴、y 轴上的截距相等或具有倍数关系时,一般要分截距为零和不为零两种情况求解,当出现截距之和或横截距大于纵截距时,横、纵截距均不为零,可直接用待定系数法求解 跟进训练 已知ABC 的三个顶点分别为 A(3,0),B(2,1),C(2,3),求: (1)BC 边所在直线的方程; (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程; (3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程 解 (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(2,3)两点,得 BC 的方程为y131x222,即
11、 x2y40. (2)设 BC 边的中点 D(x,y),则 x2220,y1322. BC 边的中线 AD 过 A(3,0),D(0,2)两点,所在直线方程为x3y21,即 2x3y60. (3)由(1)知, 直线 BC 的斜率 k112, 则直线 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k22.由(2)知,点 D 的坐标为(0,2) 所求直线方程为 y22(x0),即 2xy20. 考点三 直线方程的综合应用 处理直线方程综合应用的两大策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题,先求出斜率或设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值 (2)含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理
12、成过定点的直线系,即能够看出“动中有定” 典例 2 已知直线 l:kxy12k0(kR) (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,AOB 的面积为 S(O 为坐标原点),求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程 解 (1)证明:法一:直线 l 的方程可化为 k(x2)(1y)0, 令 x20,1y0,解得 x2,y1. 无论 k 取何值,直线总经过定点(2,1) 法二:方程 kxy12k0 可化为 y1k(x2),显然直线恒过定点(2,1) (2)由方程知,当 k0 时,直线在 x 轴上
13、的截距为12kk,在 y 轴上的截距为 12k,要使直线不经过第四象限,则必须有 12kk2,12k1,解得 k0; 当 k0 时,直线为 y1,符合题意,故 k 的取值范围是0,) (3)由题意可知 k0,再由 l 的方程,得 A12kk,0 ,B(0,12k) 依题意得 12kk0,12k0,解得 k0. S12 |OA| |OB| 1212kk |12k| 1212k2k124k1k4 12(224)4, “”成立的条件是 k0 且 4k1k, 即 k12, Smin4,此时直线 l 的方程为 x2y40. 点评:本例(3)在求解中常忽略条件“ 12kk012k0”的书写,进而导致 S
14、最值的求解失误 跟进训练 1已知直线 l 过点 M(2,1),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,则当|MA| |MB|取得最小值时,直线 l 的方程为 xy30 设 A(a,0),B(0,b),则 a0,b0, 直线 l 的方程为xayb1,所以2a1b1. |MA| |MB|MA MB (a2,1) (2,b1) 2(a2)b12ab5 (2ab)2a1b5 2ba2ab4, 当且仅当 ab3 时取等号,此时直线 l 的方程为 xy30. 2已知直线 l1:ax2y2a4,l2:2xa2y2a24,当 0a2 时,直线 l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数 a . 12 由题意知直线 l1,l2恒过定点 P(2,2),直线 l1在 y 轴上的截距为 2a,直线 l2在 x 轴上的截距为 a22, 所以四边形的面积 S122(2a)122(a22) a2a4a122154, 当 a12时,四边形的面积最小, 故实数 a 的值为12.