《2022届高考数学统考一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线的方程教师用书教案理新人教版202103081241》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高考数学统考一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线的方程教师用书教案理新人教版202103081241（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 8 8 章章 平面解析几何平面解析几何 全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 高考在本章一般命制 12 道小题， 1 道解答题，分值约占 2024 分. 2.考查内容 (1)对直线方程、圆及圆锥曲线的概念和性质的考查一般以选择题或填空题为主，重在考查学生的双基. (2)对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常以定点问题、最值问题及探索性问题为载体，重在考查等价转化思想、方程思想及数学运算能力. 直线的倾斜角与斜率、直线的方程直线的倾斜角与斜率、直线的方程 考试要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直
2、线斜率的计算公式. 3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系 1直线的倾斜角 (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0. (2)范围：直线 l 倾斜角的取值范围是0，) 2直线的斜率 (1)定义： 一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率， 斜率常用小写字母 k 表示，即 ktan ，倾斜角是2的直线没有斜率 (2)过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
3、(x1x2)的直线的斜率公式为 ky2y1x2x1. 3直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距，斜率 ykxb 与 x 轴不垂直的直线 点斜式 过一点，斜率 yy0k(xx0) 两点式 过两点 yy1y2y1xx1x2x1 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 xayb1 不过原点，且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 AxByC0 (A2B20) 平面内所有直线都适用 提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数 常用结论 1直线的斜率 k 和倾斜角 之间的函数关系 如图，当 0，2时，斜率 k0，)；当 2时，
4、斜率不存在；当 2， 时，斜率 k(，0) 2特殊直线的方程 (1)直线过点 P1(x1，y1)，垂直于 x 轴的方程为 xx1； (2)直线过点 P1(x1，y1)，垂直于 y 轴的方程为 yy1； (3)y 轴的方程为 x0； (4)x 轴的方程为 y0. 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)直线的斜率为 tan ，则其倾斜角为 . ( ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大 ( ) (3)直线的截距就是直线与坐标轴的交点到原点的距离 ( ) (4)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)
5、表示 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1已知两点 A(3， 3)，B( 3，1)，则直线 AB 的斜率是( ) A 3 B 3 C33 D33 D kAB313 333，故选 D 2过点(1,2)且倾斜角为 30 的直线方程为( ) A 3x3y6 30 B 3x3y6 30 C 3x3y6 30 D 3x3y6 30 A 直线的斜率 ktan 30 33. 由点斜式方程得 y233(x1)，即 3x3y6 30，故选 A 3在 x 轴、y 轴上的截距分别是 4，3 的直线方程为 3x4y120 由题意知，直线方程为x4y31，即 3x4y120. 4已知直线斜
6、率的绝对值等于 1，则直线的倾斜角为 4或34 设直线的倾斜角为 ，则|tan |1，tan 1. 又 0，)，4或34. 考点一 直线的倾斜角与斜率 斜率取值范围的两种求法 数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置， 借助图形， 结合正切函数的单调性确定 函数图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 1若经过两点 A(4,2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为34，则 y 等于( ) A1 B3 C0 D2 B 由题意可知2y1342tan 341， 解得 y3.故选 B 2若直线 l 的斜率 k1,1，则直线 l 的倾斜角 的范围是 0，434， 当1k0 时，3
7、4， 当 0k1 时，04. 因此 的取值范围是0，434， . 3直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为 (， 31，) 如图， kAP10211，kBP3001 3，k(， 31，) 点评：(1)解决直线的倾斜角与斜率问题，常采用数形结合思想注意区分含有 90 和不含 90 两种情况的讨论 (2)根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，2与2， 两种情况讨论 考点二 直线方程的求法 求直线方程的两种方法 典例 1 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点 P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)直线经过点 A(
8、 3，3)，且倾斜角为直线 3xy10 的倾斜角的一半； (3)在ABC 中，已知 A(5，2)，B(7,3)，且 AC 的中点 M 在 y 轴上，BC 的中点 N 在 x轴上，求直线 MN 的方程 解 (1)法一：设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a，若 a0，即 l 过点(0,0)和(3,2)， l 的方程为 y23x，即 2x3y0. 若 a0，则设 l 的方程为xaya1， l 过点(3,2)，3a2a1， a5，l 的方程为 xy50. 综上可知，直线 l 的方程为 2x3y0 或 xy50. 法二：由题意，所求直线的斜率 k 存在且 k0， 设直线方程为 y2k(x3)， 令
9、 y0，得 x32k， 令 x0，得 y23k， 由已知 32k23k， 解得 k1 或 k23， 直线 l 的方程为 y2(x3)或 y223(x3)， 即 xy50 或 2x3y0. (2)由 3xy10 得此直线的斜率为 3，所以倾斜角为 120 ，从而所求直线的倾斜角为 60 ，故所求直线的斜率为 3. 又直线过点 A( 3，3)，所以所求直线方程为 y3 3(x 3)，即 3xy60. (3)设 C(x0，y0)，则 M5x02，y022，N7x02，y032. 因为点 M 在 y 轴上，所以5x020， 所以 x05. 因为点 N 在 x 轴上，所以y0320， 所以 y03，即
10、C(5，3)， 所以 M0，52，N(1,0)， 所以直线 MN 的方程为x1y521， 即 5x2y50. 点评：当直线在 x 轴、y 轴上的截距相等或具有倍数关系时，一般要分截距为零和不为零两种情况求解，当出现截距之和或横截距大于纵截距时，横、纵截距均不为零，可直接用待定系数法求解 跟进训练 已知ABC 的三个顶点分别为 A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程； (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程 解 (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(2,3)两点，得 BC 的方程为y131x222，即
11、 x2y40. (2)设 BC 边的中点 D(x，y)，则 x2220，y1322. BC 边的中线 AD 过 A(3,0)，D(0,2)两点，所在直线方程为x3y21，即 2x3y60. (3)由(1)知， 直线 BC 的斜率 k112， 则直线 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k22.由(2)知，点 D 的坐标为(0,2) 所求直线方程为 y22(x0)，即 2xy20. 考点三 直线方程的综合应用 处理直线方程综合应用的两大策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值 (2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理
12、成过定点的直线系，即能够看出“动中有定” 典例 2 已知直线 l：kxy12k0(kR) (1)证明：直线 l 过定点； (2)若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围； (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A，交 y 轴正半轴于 B，AOB 的面积为 S(O 为坐标原点)，求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程 解 (1)证明：法一：直线 l 的方程可化为 k(x2)(1y)0， 令 x20，1y0，解得 x2，y1. 无论 k 取何值，直线总经过定点(2,1) 法二：方程 kxy12k0 可化为 y1k(x2)，显然直线恒过定点(2,1) (2)由方程知，当 k0 时，直线在 x 轴上
13、的截距为12kk，在 y 轴上的截距为 12k，要使直线不经过第四象限，则必须有 12kk2，12k1，解得 k0； 当 k0 时，直线为 y1，符合题意，故 k 的取值范围是0，) (3)由题意可知 k0，再由 l 的方程，得 A12kk，0 ，B(0,12k) 依题意得 12kk0，12k0，解得 k0. S12 |OA| |OB| 1212kk |12k| 1212k2k124k1k4 12(224)4， “”成立的条件是 k0 且 4k1k， 即 k12， Smin4，此时直线 l 的方程为 x2y40. 点评：本例(3)在求解中常忽略条件“ 12kk012k0”的书写，进而导致 S
14、最值的求解失误 跟进训练 1已知直线 l 过点 M(2,1)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，则当|MA| |MB|取得最小值时，直线 l 的方程为 xy30 设 A(a,0)，B(0，b)，则 a0，b0， 直线 l 的方程为xayb1，所以2a1b1. |MA| |MB|MA MB (a2，1) (2，b1) 2(a2)b12ab5 (2ab)2a1b5 2ba2ab4， 当且仅当 ab3 时取等号，此时直线 l 的方程为 xy30. 2已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a2 时，直线 l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数 a . 12 由题意知直线 l1，l2恒过定点 P(2,2)，直线 l1在 y 轴上的截距为 2a，直线 l2在 x 轴上的截距为 a22， 所以四边形的面积 S122(2a)122(a22) a2a4a122154， 当 a12时，四边形的面积最小， 故实数 a 的值为12.
