《第一章 鞅 第二节 鞅的基本概念和性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章 鞅 第二节 鞅的基本概念和性质（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 鞅的基本概念和性质定义1-2-1 设为概率空间，为概率空间上的一族随机变量，则称为概率空间上的随机过程。注1-2-1 由随机过程的定义知，对固定的，为上的随机变量，对固定的，为的函数。以后设或。定义1-2-2 设为概率空间上的随机过程，如果（）是 是适应的（）（）对则称为的鞅。如果有（）对则称为的上鞅。如果有（）对则称为的下鞅。注1-2-2 如果是上鞅，则为下鞅。如果既是上鞅又是下鞅，则为鞅。注1-2-3 由定义1-2-2的条件可知，如果是鞅，则对,都有。事实上，取，则，于是所以。如果是下鞅，都有事实上，取，则所以。同样地，是上鞅，都有（习题1-2-1）例1 设为相互独立的随机变量，且
2、，是维的Borel可测函数，令并假设，。定义随机变量的序列为常数）则是鞅。事实上，又 因为 所以是可测的，故又因为和是独立的，与也独立，故由此知是鞅。这个例子的直观意思为，设赌徒每局赢的概率为，事件表示第n局赢，表示第n局输，所以假定是独立的，而赌者在第n局的策略依赖于以前n-1局的战绩，即赌注是的函数，我们记之为则第n局的盈亏为这里设初始赌注为，于是我们可知即，平均地讲，净利的平均值为零。事实上例2 Doob的鞅过程设是随机变量序列，X是随机变量，.令，则是鞅。它 被称为Doob的鞅过程。事实上，=又定理1-2-1 设，是鞅（或下鞅），则（1）是鞅（或下鞅）；（2）是下鞅；（3）是上鞅。证明：（2）设，则。又，所以，。习题1-2-2：证明（1）（3）。定理1-2-2 （1）设是鞅，是定义在上的凸函数。如果对一切，则是下鞅。（2）设是下鞅，是定义在上的非降凸函数。如果对一切，则是下鞅。（3）设是上鞅，是定义在上的非降凹函数。如果对一切，则是上鞅。证明：（2）因为是下鞅，所以因为非降，又因为是凸函数，所以。 习题1-2-3：证明（1）（3）。推论1-2-1 设是鞅（或非负下鞅），且对，可积，则是下鞅。证明：习题1-2-4推论1-2-2 如果是下鞅，则也是下鞅。这里，。证明：习题1-2-5习题1-2-6 设为独立随机变量序列，则为鞅序列，这里。- 5 -
