本文来自一线老师精心整理/Word 可编辑1 / 6 一长方体和正方体一、长方体的认识1.认识长方体的面、棱、顶点1)从不同的角度观察同一个长方体把长方体放在桌面上,无论从哪个角度观察,最多只能同时观察到长方体的三个面2)长方体的棱和顶点长方体两个面相交的线叫作长方体的棱,三条棱相交的点叫作长方体的顶点2.长方体的特征长方体是由6 个长方形 (也可能有 2 个相对的面是正方形 )围成的立体图形,它有 6 个面、12 条棱和 8 个顶点在一个长方体中,相对的面完全相同,相对的棱长度相等3.长方体长、宽、高的含义长方体相交于同一顶点的三条棱的长度,分别叫作它的长、宽、高4.长方体的长、 宽、高不是固定不变的,它与长方体的摆放方式有关长方体相交于同一顶点的三条棱中,通常把水平方向的两条棱分别叫作它的长和宽,把竖直方向的一条棱叫作它的高二、正方体的认识1.正方体也叫立方体它是由6 个完全相同的正方形围成的立体图形 它的 6个面是完全相同的正方形,12条棱的长度都相等,有 8 个顶点2.正方体的长、宽、高相等,都叫正方体的棱长3.长方体和正方体的特征的异同相同点 :都有 6 个面、 12 条棱、 8 个顶点 ,相对的面完全相同 ,相对的棱长度相等。
不同点 :长方体的 6 个面都是长方形(也可能有2个相对的面是正方形);一般情况下 ,棱有 3组,每组 4 条棱长度相等正方体的6 个面是完全相同的正方形;每条棱的长度都相等三、正方体、长方体的展开图1.把一个正方体沿一条棱剪开,如下图所示正方体的展开图是由6 个完全相同的正方形组成的,可以通过观察、折叠找到3 组相对的面2.沿长方体的棱把长方体剪开,展开图中有3 组相对的面 ,相对的面完全相同,相对的面完全隔开易错点 :误认为一个长方体中最多有 4 条相等的棱 这是错误的 ,一定要注意长方体的6 个面不一定都是长方形,也可能有2 个相对的面是正方形 当长方体有2 个相对的面是正方形时,就有 8 条棱长度相等直观图中的实线表示从某个角度能够看到的棱,虚线表示看不到的棱长方体 12 条棱的长度和叫作长方体的棱长总和长方体的棱长总和 =(长+宽+高)4易错点 :误认为有6 个面、 12条棱、 8 个顶点的立体图形不是长方体就是正方体这是不正确的,一定要注意有6 个面、 12 条棱、 8个顶点并不代表它就是长方体或正方体 ,要看它是否具备长方体或正方体的所有特征,如下图 ,这个立体图形既不是长方体,也不是正方体。
正方体的棱长总和:棱长 12正方体具有长方体的一切特征,正方体是特殊的长方体同一个立体图形,沿不同的棱剪开 ,得到的展开图不同技巧 :正方体有6 个相同的面 ,可以本文来自一线老师精心整理/Word 可编辑2 / 6 3.沿着正方体 (或长方体 )的棱将它剪开,可以把正方体(或长方体 )展开成一个平面图形,这个平面图形就是正方体 (或长方体 )的展开图 在展开图中 ,正方体的6 个面完全相同 (长方体相对的面完全相同),相对的面完全隔开四、长方体和正方体表面积的意义及计算方法1.表面积的意义 :长方体(或正方体)6个面的总面积,叫作它的表面积2.长方体和正方体表面积的计算方法1)长方体的表面积=长宽2+ 长高2+ 宽高2= (长宽+长高+宽高)2 如果用S表示长方体的表面积,用a、b、h分别表示长方体的长、 宽、高,那么长方体表面积的计算公式是S=2ab+2ah+2bh或S=(ab+ah+bh)22)正方体的表面积=棱长棱长6 如果用S表示正方体的表面积,用a表示棱长 ,那么正方体表面积的计算公式是S=6a2五、运用长方体和正方体表面积的计算方法解决实际问题1.求长方体和正方体物体的表面积时,最关键的是要根据实际情况确定好求几个面的面积和。
2.在实际生活中 ,并不是所有长方体形状的物体都有 6 个面 ,如长方体的鱼缸只有5 个面 ,通风管只有4 个面因此 ,在计算时要根据实际情况解题六、体积和容积的意义1.物体所占空间的大小叫作物体的体积2.能盛装其他物体的都可以称为容器,不能盛装其他物体的都不是容器3.容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积4.有容积的物体一定有体积,但有体积的物体不一定有容积七、体积单位通过观察、折叠找到3 组相对的面长方体有3 组相对的面 ,可以通过看是否完全隔开,完全隔开的一组面就是相对的两个面当所求的长方体的表面积是6个面的面积时,先分别求出每组相对的面中一个面的面积,相加后再乘 2 较简便举例 :大厅里有8 根高为 5 米的方柱需要涂油漆,方柱的横截面是边长为 0.5 米的正方形 ,若 1千克油漆可以涂5 平方米 ,则涂这 8 根方柱需要多少千克油漆? 错解:(0.5 0.5 2+0.5 54)851=16.8( 千克 ) 答:涂这 8 根方柱需要16.8 千克油漆正解 :0.5 54851=16(千克) 答:涂这 8 根方柱需要16 千克油漆一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关因为容器都有一定的厚度,所以一个容器的体积一般大于它的容积。
本文来自一线老师精心整理/Word 可编辑3 / 6 1.棱长是 1 厘米的正方体,体积是 1 立方厘米2.棱长是 1 分米的正方体,体积是 1 立方分米3.棱长是 1 米的正方体 ,体积是 1 立方米4.常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米,用字母表示分别是cm 3、dm 3和m3八、容积单位1.容积单位的使用方法计量容积 ,一般就用体积单位计量液体的体积,如水、油等 ,通常用升或毫升作单位升和毫升,用字母表示分别为 L 和 mL,其中 1L=1000mL 2.容积单位的换算1dm 3=1L1cm 3=1mL 高级单位向低级单位转换用乘法计算;低级单位向高级单位转换用除法计算3.“容积”与“体积”的区别1)意义不同体积是指物体所占空间的大小,而容积是指容器所能容纳物体的体积一个物体有体积,但它不一定有容积2)测量方法不同求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高进行计算 ,而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高,然后计算 因此 ,对于同一个物体,一般来说 ,它的容积要比体积小3)单位名称不完全相同体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米固体、 气体的容积单位与体积单位相同,而液体的容积单位一般用升、毫升。
九、长方体体积公式的推导1.以取 12 个 1 立方厘米的小正方体,摆出不同形状的长方体为例 ,如下图 : 每个小正方体的体积是1 立方厘米 ,每个长方体是由 12 个小正方体摆成的,所以每个长方体的体积都是12 立方厘米并不是只有棱长是1cm 、1dm 、1m 的正方体的体积才是1cm3、 1dm3和 1m3易错点 :误认为容积就是体积,这是不对的 ,一定要注意“容积”与“体积”的不同如一本书有体积 ,却没有容积较大容器盛装液体时用“升”作单位 ,较小容器盛装液体时用“毫升”作单位巧记 :体积单位常用到,相邻进率是1000 高级单位化低级,要把此数乘1000 低级单位化高级,除以 1000把数算转换过程要细心,掌握进率是关键明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少1 立方厘米的小正方体的边长是 1 厘米长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成,它的长、宽、高就分别是几厘米,它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数本文来自一线老师精心整理/Word 可编辑4 / 6 2.填写表格长/cm宽/cm高/cm小正方体的个数体积/cm3长方体12111212长方体6211212长方体4311212长方体32212123.(1) 在摆成的长方体中,每排小正方体的个数相当于长方体的长 ;排数相当于长方体的宽;层数相当于长方体的高。
2)长方体所含小正方体(体积单位 )的个数正好等于长方体长、宽、高的乘积4.长方体体积公式的字母表达式如果用V表示长方体的体积,用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高,那么长方体的体积公式可以写成V=abh长方体的体积=长宽高,字母公式为 V=abh 5.拓展提高当长方体的长、宽、高都扩大到原来的n倍时 ,它的体积就扩大到原来的n3(nnn=n3)倍;当长方体的长、宽、高都缩小到原来的1?时,它的体积就缩小到原来的1?3(1?1?1?=1?3)十、正方体体积公式的推导1.长方体的体积 =长宽高正方体的体积=棱长棱长棱长2.正方体体积的字母公式如果用V表示正方体的体积,用a表示正方体的棱长,那么正方体体积的字母公式可以写成V=a aa=a 33.拓展提高举例 :如果一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2 倍 ,那么它的体积就扩大到原来的23倍,即8 倍;反之 ,如果一个长方体的长、宽、高都缩小到原来的12,那么它的体积就缩小到原来的123,即18aaa也可以写成“a3” ,即aaa=a3,读作“a的立方” ,表示 3 个a相乘因此 ,正方体的体积公式一般写成V=a3 写a3时 ,“ 3”要写在a的右上角 ,且要略小一些。
举例 :如果一个正方体的棱长扩大到原来的2 倍,那么它的体积就扩大到原来的8 倍;反之 ,如果一个正方体的棱长缩小到原来的12,那么它的体积就缩小到原来的18在有些实际问题中,也可以用“横截面的面积长”来计算体积本文来自一线老师精心整理/Word 可编辑5 / 6 当正方体的棱长扩大到原来的n倍时 ,它的体积就扩大到原来的n3倍;当正方体的棱长缩小到原来的1?时,它的体积就缩小到原来的1?3十一、运用体积公式解决实际问题如果长方体和正方体体积公式中的已知条件都具备,那么可直接利用公式计算体积十二、长方体和正方体体积的通用公式1.长方体和正方体底面积的意义长方体和正方体无论怎样放置,总有一个面与平面接触 ,通常把这个面叫作底面长方体和正方体底面的面积,叫作它们的底面积2.长方体和正方体底面积的计算方法1)长方体的底面积=长宽2)正方体的底面积=棱长棱长3.长方体和正方体体积公式的推导长方体的体积= 长 宽 高底面积高正方体的体积= 棱长 棱长 棱长底面积可看作高长方体 (或正方体 )的体积 =底面积高长方体(或正方体)的体积=底面积高如果用V表示体积 ,S表示底面积 ,h表示高 ,那么长方体 (或正方体 )的体积公式可以写成V=Sh。
十三、容积的计算方法1.长方体或正方体物体容积的计算方法与体积的计算方法相同 ,知道长、宽、高或棱长,即可根据体积公式求出物体的容积2.体积和容积的区别与联系1)不同点意义不同 物体所占空间的大小叫作物体的体积 容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积测量方法不同 求物体的体积是从物体的外部来测量长、宽、高运用通用公式进行计算时,一定要注意单位的统一如一个长方体的底面积是8 平方厘米 ,高是 3分米 ,求体积错解 :83=24(立方厘米 ) 正解 :3 分米 =30 厘米,830=240(立方厘米 ) 计算体积从外面测量长、宽、高;计算容积从里面测量长、宽、高有的物体既有体积,也有容积 ,如箱子、油桶、瓶子等有的物体有体积 ,却没有容积 ,如石头、木头这类实心的物体 既有体积又有容积的物体 ,它的体积一定大于它的容积只有在容器厚度忽略不计的情况下 ,容积才可以看作与体积相等巧记 :容积、体积孪兄弟,只是度量不统一容积心中装物体,体积只想占空间容积尺寸从里测,体积尺寸从外量记住二者不同处,计算才能少失误本文来自一线老师精心整理/Word 可编辑6 / 6 或棱长 求物体的容积是从容器的内部来测量长、宽、高或棱长。
单位名称不完全相同 体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米 容积一般用体积单位 ,但在计量液体(如药水、汽油等 )的体积时 ,常用升或毫升作单位2)相同点计算公式相同 长方体 (或正方体 )的体积 (或容积 )=底面积高。