《四年级奥数讲义学子教案库第7讲精英班教师版染色与操作问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四年级奥数讲义学子教案库第7讲精英班教师版染色与操作问题（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七讲染色与操作问题1.掌握染色问题的分析思路和典型的染色方法；2.理解操作问题的解题方法。这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法。染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案。这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法。【例 1】 六年级一班全班有35 名同学，共分成5排，每排 7 人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作它的邻座。如果要让这35 名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到
2、吗？为什么？【分析】划一个 57 的方格表，其中每一个方格表示一个座位。将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座。因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格。但实际上图中有17 个黑格， 18 个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到。【例 2】 右图是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都教学目标经典精讲染色问题A精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -
3、- 有门相通。 有一个人打算从A室开始依次而入， 不重复地看过各室展览之后，仍回到A室，问他的目的能否达到，为什么？【分析】采用染色法。如右下图，共有9 个展览室，对这9 个展览室，黑白相间地进行染色，从白室A出发走过第1扇门必至黑室，再由黑室走过第2扇门至白室，由于不重复地走遍每一间展览室，因此将走过黑白相间的8个展览室， 再回到白室A，共走过 9 扇门。由于走过奇数次门至黑室，走过偶数次门至白室。现在，走过 9扇门，必至黑室，所以无法回到原来的白室A。巩固 有一次车展共6636 个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通， 入口和出口如图所示。参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展
4、室再从出口出来? 分析 如右下图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格。由于入口处和出口处都是白格，而路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而实际上白格、黑格都是 18 个， 故不可能做到不重复走遍每个展室。【例 3】 右图是半张中国象棋盘，棋盘上放有一只马。众所周知，马是走“日”字的。请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？【分析】马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上和， 图中共有22 个和 23 个。因为马走 “日”字，每步只能从跳到，或由跳到，所以马从某点跳到
5、同色的点（指或），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。现在马在点，要跳回这一点，应跳偶数步， 可是棋盘上共有232245 个点， 所以不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。讨论：如果马的出发点不是在点上而是在点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然也是不可能的。A马精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 但是如果放弃“回到出发点”的要求，那么情况就
6、不一样了。从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它44个点，要跳44步，44是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指或） 。因为44步跳过的点与点各22个，所以起点必是，终点也是。也就是说，当不要求回到出发点时，只要从出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点。【例 4】 右图是由14个大小相同的方格组成的图形。试问能不能剪裁成7 个由相邻两方格组成的长方形？【分析】将这14个小方格黑白相间染色（见右下图），有 8个黑格， 6 个白格。相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7 个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际情况不符，所以不能剪裁成7 个由相邻两个方格组成的长方形。巩固 右
7、图是由 40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20 个相同的长方形？分析 将 40 个小正方形剪裁成20 个相同的长方形，就是将图形分割成20个12的小长方形， 将图形黑白相间染色后，发现有21黑，19白，黑、白格数目不等，而12的小长方形覆盖的总是黑白格各一个，所以不可能做到。【例 5】 能否用 9 个所示的卡片拼成一个66 的棋盘？【分析】不能。将 66 的棋盘黑白相间染色（见右图），有 18 个黑格。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 -
8、- - - - - - - - - 而每张卡片盖住的黑格数只能是1或者 3，所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数，9 张卡片盖住的黑格数之和也是奇数，不可能盖住18个黑格。巩固 如右图，缺两格的88 方格有 62个格，能否用31个图不重复地盖住它且不留空隙? 分析 这种覆盖问题是典型的用染色方法解决的问题之一。用来覆盖，则用黑白相间染色，可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑。 要不重复不留空白，那总共盖住的黑格数与白格数应该相等。但从染色后整个图来看，黑格30 个，白格 32 个，故不可能将整个图不重不漏地盖住。【例 6】 用11个和 5 个能否盖住 88 的大正方形？【分析】如右图， 对8
9、8 的正方形黑白相间染色后，发现必然盖住2白2黑，5 个则盖住 10 白10 黑。则盖住了 3白1黑或 3黑1白，从奇偶性考虑，都是奇数。而这种形状共11个，奇数个奇数相加仍为奇数，故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数，加上另一种形状的10 白10 黑，两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格。但实际染色后共 32 个白格 32 个黑格，故不可能按题目要求盖住。注意：本题中每个盖 3白1黑或 3黑1白，11个这种形状盖住的不一定是33白11黑或 33黑11白，因为可能一部分盖3白1黑，另一部分盖3黑1白。这是一个容易犯错的地方。拓展 用若干个22和 33 的小正方形能不能拼成一个11 11的大正方形？
10、请说明理由。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 分析 如右图所示，将22或 33 的小正方形沿格线摆在右图的任何位置，必定盖住偶数个阴影方格，而阴影方格共有77 个，是奇数，所以只用22和 33的小正方形，不可能拼成11 11的大正方形。【例 7】 对于任意一个自然数n，当n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2，这算一次操作。现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？为什么？【分析】
11、同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到：这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到100，但也不能肯定得不到100。当然，连续操作下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现 100。因为这一过程很长，所以这不是好方法。我们可以从另一个方面来考虑，因为 231和121都是11的倍数，而2不是11的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是11的倍数。 100不是11的倍数，所以不可能出现。【例 8】 将一张正方形纸片，横着剪4刀，竖着剪6 刀，裁成尽可能大的形状大小一样的35 张长方形纸片。再把这样的一张长方形纸片裁成尽可能大的面积相等的小正方形纸片。如果小正方
12、形边长为2厘米，那么大正方形纸片的面积应为多少平方厘米？说明理由。【分析】大正方形纸片被横着裁成5 份，竖着裁成7 份，所以裁成的长方形纸片的长宽比为7 :5，若将这样的纸片切割成尽可能大的正方形纸片，则正方形纸片边长应该为长方形纸片长、 宽的公约数， 而 7,51，所以长方形纸片的宽是小正方形纸片的边长的5倍， 2510 ，所以长方形纸片宽10 厘米，大正方形纸片边长为10770 厘米。所以大正方形纸片的面积为70704900 平方厘米。【例 9】 对于表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后 （各次减去或加上的数可以不同），变为表？为什么？操作问题101000101(
13、2)(1)987654321精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 【分析】因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过一次变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的2倍，因此总和的奇偶性没有改变。原来九个数的总和为 12945L，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，而表中九个数的总和是4，是个偶数。奇数不可能等于偶数，所以不可能变成表。巩固 在图的方格表中，对任意相邻的上下或左右两格
14、中的数字同时加1或减1，这算一次操作，经过若干次操作后变为图，问：图中的A格中的数字是几？分析 将44的方格进行黑白相间染色，如右图所示，每个小格同时加1或减1，因黑白格数相等，那么操作中不变的应该是黑格数字和与白格数字和之差，由图知这个差是8，由图可知：白格数之和黑格数之和(7)88A，所以9A。【例 10】 能否把 2002 台电话中的每台电话恰好与其它5 台相连？【分析】如果我们可以把6 个电话或8 个电话做到每台电话与5 个电话相连接，我们可以将2002 分成 6 个一组的共 331组以及 8个一组的共2组。如下图，每个点代表一台电话，每条线段表示其两个端点为相连接的两台电话，左图为6
15、 台电话的情形，右图为 8台电话的情形。所以我们可以把2002 台电话中的每台电话恰好与其它5 台相连。【例 11】 下图是八间房子的示意图，相邻两间房子都有门相通。从A点穿过房间到达B处，如果只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法？【分析】8只有一个口，只能选择进B； 7 有两种选择，可以选择进B也可以选择进8，所以 7 有2种走1111111A11111111(2)(1)0000000111111110AB87654321精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -
16、 - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 法；依此类推，每间房间的走法种数如下：81;72;63;55;48;313;221;134 。所以从A点开始有213455（种）。【例 12】 右图是一个45 的方格盘。先将其中的4个方格染黑，然后按以下规则继续染色：如果某个格与两个黑格都有公共边，就将这个格染黑。这样操作下去，能否将整个方格盘都染成黑色？【分析】开始时染黑4个方格，这4个方格的总周长不会超过4416 ，以后每染一个格，因为这个格至少与两个黑格有公共边，所以染黑后，所有黑格的总周长不会增加。也就是说，所有黑格的总周长永远不会超过16 ，而 45 方格盘的周长是18 ，所以不能将整个方格盘都染成黑色。1.右图是某套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通。请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗? 【分析】 如图所示， 将房间黑白相间染色，发现有 5 个白格， 7 个黑格。因为每次只能由黑格到白格或由白格到黑格，路线必然黑白相间，这样白格数目与黑格数目之差最多为1才能不重复，但图中黑格比白格多2个，所以无法实现不重复走遍。2.如右图
