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1、第十讲列方程解应用题小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。他就问管理员叔叔共有多少只猩猩， 管理员叔叔开心的答道： “头数加只数， 只数减头数， 头数乘只数， 只数除头数，把四个得数相加恰好是100 .”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？呵呵！认真学习今天的好方法，你就可以准确、快速的解答出上面的问题了！内容概述在小学数学中，列方程解应用题与用算术方法解应用题是有密切联系的。它们都是以四则运算和常见的数量关系为基础，通过分析题里的数量关系，根据四则运算的意义列式解答的。但是，两种解答方法的解题思路却不同。 由于数量关系的多样性和叙述方式的不同，用算术方法解答应用题，时常要用逆向
2、思考，列式比较困难，解法的变化也比较多。用列方程的方法解答应用题，由于引进了字母表示未知数，可以使未知数直接参与运算，使题目中的数量关系更加清楚，把未知数当成已知数来用，使我们很容易理清数量关系，正确解决问题。特别是在解比较复杂的或有特殊解法的应用题时，用方程往往比较容易。列方程解应用题的一般步骤是：审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系，；合理设未知数x，设未知数的方法有两种：问什么设什么（直接设未知数），间接设未知数；依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程；解方程；将结果代入原题检验。概括成五个字就是： “审、设、列、解、验”. 列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。寻找等量关系
3、的常用方法是：根据题中“不变量”找等量关系。一些基本概念：（1）像 4x+2=9 这样的的等式，只含有一个未知数x，而且未知数x 的指数为1 的方程叫做一元一次方程；（2）像 2x+y=8 这样的的等式，含有两个未知数x、y，而且未知数的指数都为1 的方程叫做二元一次方程；把两个二元一次方程用“”写在一起，就组成了一个二元一次方程组；（3）如果有两个未知数，一般需要两个方程才能求出唯一解，如果有三个未知数，一般需要三个方程才能求出唯一解. 如果有更多的未知数，可借助今天学习的解题思路来类推出解法. 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
4、- -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 类型：列简易方程解应用题【例 1】 （清华附中培训试题） （难度系数：）解下列方程：（1）357xx（2）452xx（3）12(3)7xx（4）132(23)5(2)xx（5）5118()2352xx（6）1123xx（7）527xyxy（8）2311329xyxy分析：（1）375,22,21.1xxxxx移项得：注意把“同类”放在等号的同侧，移项过程中注意变号；化简得：等式两边同时除以可得：把代入原式满足等式 .以下各题不再写检验步骤，请教师强调学生答案要检验.
5、 （2）2541 .xxx，（3）1 627 7730.xxxx，（4）134652 194719 7 41234.xxxxxxxx， - =，（5）51115410410 1104()410.35236333333xxxxxxxxxx，（6）3126 33263.xxxxx（）-，请教师强调学生在解答时要注意：移项变号、同类放在等式一边、（4）中去括号时每一项都要发生相应变化、（6）中每一项都同时扩大6 倍、 （5）中可以先简化运算的一定要先化简。（7）法 1：加减消元法（8）512722121323xyxyxyxyLL （ ）（ ）（ ）式- （ ）式可得：，代入（ ）式可得：，所以231
6、11329212153,1 .13xyxyyyxxyLL （ ） （ ）（ ） 3-（ ） 2可得： 5，将其代入（ 1）式可得：所以可得：法 2：代入法 . 建议教师将（ 7） 、 （8）贯穿起来，让学生深刻体会：（ 1）代入法，以及代入法在什么情况下好用；（2）加减消元法，其本质是找（制造）到一个未知数的系数相等，再利用等式加减得到结果. 【例 2】 （清华附中培训试题） （难度系数：）汽车以每小时72 公里的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4 秒后听到回音，听到回音时汽车离山谷多远？（声音的速度以340 米/秒计算）分析： 72 千米 /小时 =72000 米/3600 秒=
7、2 米/秒，设听到回音时汽车离山谷x 米，根据题意可得：3404=2x+24，解得 x=676（米） .精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 【例 3】 （小数报数学竞赛初赛）（难度系数：）用绳子测井深，绳子两折时,余 60 厘米 ,绳子三折时,差 40 厘米，求绳长和井深？分析：法 1：设井深是x 厘米，则有： 2x+602=3x-40 3 ，井深 x=240（厘米），绳长 600 厘米；法 2：设绳长是y
8、 厘米，则有：11y-60=y+40,y=60024023解得绳长（厘米），井深厘米 .【例 4】 （奥数网习题库） （难度系数：）箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3 倍多两个，每次从箱子里取出7 个白球， 15 个红球如果经过若干次以后，箱子里只剩下3 个白球， 53 个红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少个? 分析：设取球的次数为x 次那么原有的白球数为（3+7x） ，红球数为（ 53+15x） 再根据题中的第一个条件： 53+15x=3（ 3+7x）+2，解得 x=7，所以原有红球158 个，原有白球52 个，红球比白球多106 个此题用逆向思维较难求解，但是用方程则思路非
9、常清晰简单【例 5】 （奥数网习题库） （难度系数：）小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。他就问管理员叔叔共有多少只猩猩，管理员叔叔开心的答道：“头数加只数，只数减头数，头数乘只数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100 .”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？分析：设动物园有x 只猩猩，依题意有： （x+x）+（x-x ）+xx+xx=100，即 2x+0+ x x+1=100，亦即x（x+2）=99，又整数，只有唯一解=9【例 6】 （华杯赛复赛） （难度系数：）从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20 千米，下坡时每小时行驶35 千米
10、。车从甲地开往乙地需9 小时，从乙地到甲地需 7.5 小时，问：甲乙两地公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？分析：从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，依题意得解得 x140，y=70，所以甲、乙两地间的公路有210 千米，从甲地到乙地须行驶140 千米的上坡路. 【例 7】 （华杯赛决赛） （难度系数：）幼儿园有三个班，甲班比乙班多4 人，乙班比丙班多4人. 老师给小孩分枣， 甲班每个小孩比乙班每个小孩少分了3 个枣， 乙班每个小孩比丙班每个小孩少分了5个枣，结果甲班比
11、乙班总共多分了3 个枣，乙班比丙班总共多分了5 个枣，三个班总共分了多少个枣？分析：法1：设甲班有x 人，则乙班有（x4）人，丙班有（x8）人；甲班每人分得y 个枣，则乙班每人分得（ y+3）个，丁班每人分得（y+8）个那么有甲班共分得xy 个枣，乙班共分得(x-4)(y+3)枣，丙精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 班共分得 (x-8)(y+8)个枣8)8)(8(3)3)(4(yxxyyxxy，整理有79
12、43yxyx，解得1219yx因此，甲班小孩19 人，每个小孩分枣12 个；乙班小孩15 人，每个小孩分枣15 个；丙班小孩11 人，每个小孩分枣20 个 1912+1515+1120673( 个) ，所以，三班共分673 个枣法 2：先看甲、丙两班，有甲班x 人比丙班x 人少分 8x 颗枣，而甲班共分得枣比丙班多8 个，所以甲班多出的 8 人共分得 8x+8 颗枣，即每人分得x+1 颗枣那有94418xxxxxx丙班乙班甲班每人枣数人数再看乙、丙班，乙班x 人比丙班x 人少分 5x 颗枣，而乙班共分得的枣比丙班多5 个枣，所以乙班多出的 4 人共分得 5x+x 颗枣，即每人分得(5x+5)
13、4 颗枣有 (5x+5) 4x+4，解得 x11因此，甲班小孩 19 人，每个小孩分枣12 个；乙班小孩15 人，每个小孩分枣15 个；丙班小孩11 人，每个小孩分枣20个 1912+1515+1120673( 个) ，所以三班共分673 个枣类型：引入参数列方程解应用题对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外，还需要增设一些“设而不求”的参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程创造条件。【例 8】 （101 中学分班考试试题）（难度系数：）五年级二班数学考试的平均分数是85 分，其中32的人得 80 分以上（含80 分），
14、他们的平均分数是90 分。求低于80 分的人的平均分。分析：设该班级有a名同学，低于 80分的人的平均分为x， 则得方程 : 21859033aaax,解得 x=75. 【例 9】 （华杯赛决赛） （难度系数：）有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送， 甲班的学生坐车从学校出发的同时，乙班的学生开始步行，车到中途某处， 让甲班的学生下车步行，车立刻返回接乙班的学生上车并直接开往少年宫，两班学生正好同时到达。已知学生步行速度为每小时4千米， 载学生时车速为每小时40 千米，空车时速度为每小时50 千米。求甲班学生应步行全程的几分之几?（学生上下车时间不计）888455xyzxyzx
15、yz人数每人枣数共分枣数甲班乙班丙班精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 分析 ：因为每班步行和坐车的行程总和一样长，又同时出发，同时到达， 所以甲、乙两班的步行距离和坐车距离都相等。也就是说图上乙步行的距离b 千米和甲步行的距离a 千米相等。而根据题意我们又可以找到下列等量关系：乙班步行 b千米 ( 也就是 a 千米) 所用的时间等于汽车送完甲队又原路返回遇到乙队共用的时间。然后根据等量关系列方程解答即可。
16、设全程为 x 千米，甲、乙两班分别步行a、b 千米，根据题意得：24050417xaxaaax解得：所以甲班步行了全程的17.由上例可以看出，列方程解应用题并不一定只设一个未知数，根据解题的需要，我们有时可以多设几个字母来代替数，帮助我们理清题目中复杂的数量关系，以便我们能够很快的找到解决问题的途径。【例 10】（小学奥林匹克决赛）（难度系数：）如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为 10 和 12，已知梯形的上底是下底长的32。那么余下的阴影部分的面积是多少？分析：设上底为a2，那么下底为a3，则上下两个三角形的高分别为aah1022101，aah832122，梯形的高是aaahh1881021，其面积为45218)32(aaa，阴影部分面积为23121045。类型：列不定方程解应用题有些应用题，用代数方程求解，有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数，这种情况下的方程称为不定方程。这时方程的解有多个，即解不是唯一确定的，对于这部分内容我们是要和数论中的数的整除性问题结合起来。但注意到题目对解的要求，有时只需要其中一些或个别解。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 -
