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1、一、向量的基本概念 1向量的坐标: 2向量的模: 方向余弦为: 设起点 和终点 ,则 3方向角：向量 与三个坐标轴正向的夹角 向量代数第一页4单位向量： 5向量的投影： 二、向量的运算 1线性运算 （1） （2） 2数量积 （1）定义： （2）坐标表示： 第二页 分配律： 结合律： （4）向量的夹角： （5）性质： 2向量积 （1）定义： （3）运算律： 交换律： 方向： 垂直 与 确定的平面，且符合右手规则。 第三页 结合律： （4）性质： 分配律： 反交换律： （3）运算律： （2）坐标表示： 第四页一、平面与直线的方程 1平面方程 : （1）点法式方程： 其中 为平面的法向量， 为平面的
2、 一定点。 （2）一般方程： （3）截距式方程： ，其中 分别为平面在三坐标轴 上的截距。 2点到平面的距离： 平面与直线、空间曲面与曲线第五页3直线方程：（1）一般方程： （2）对称式方程： 其中 为直线的方向向量， 为直线的一定点。 （3）参数方程： 第六页则它们的夹角为： （2）两平面相交（夹角） 设 与 平面的法向量分别为 与 4线、面之间的位置关系：（1）两直线相交（夹角） 设 与 的方向向量分别为 与 第七页（3）直线与平面相交（夹角）设直线 的方向向量为 , 平面 的法向量为 则它们的交角： 则 第八页（4）线、面之间的平行与垂直 设直线 与 的方向向量分别为 ， 平面 与 的法
3、向量分别为 第九页二、空间曲面1一般方程： 2旋转面：曲线 同理可得 面上的曲线绕 轴旋转所得旋转面的方程及 绕 轴旋转所得旋转面的方程。绕 轴旋转所得旋转曲面方程为 绕 轴旋转所成的旋转曲面 方程为 第十页三、空间曲线 1一般方程 2参数方程 3空间曲线在坐标面上的投影曲线： （1） 在 面上的投影曲线： （2） 在 面上的投影曲线： （3） 在 面上的投影曲线： 第十一页向量代数典型例题 【例1】已知两点 和 ,求向量 余弦和方向角。的模、方向 解： 方向余弦为 , , 方向角为 , , 第十二页【例2】确定 的值，使向量 与向量 相等。并求此时向量的模与方向余弦。 分析： 向量相等的定义
4、是向量坐标对应相等。 解： 由已知条件得易得 即当 时两向量相等。 方向余弦为 。 模为 此时向量为 第十三页【例3】已知 都是单位向量，且满足 ， 求 . 分析：向量 的坐标没给出，也没给出之间的夹角， 无法利用数量积定义，只能考虑数量积运算规律。 解： 于是 第十四页求 。【例4】已知向量 两两互相垂直，且 分析：由于向量 没给出坐标，只给出了模，注意 ，并利用条件 ， 便可求出 ；或可不妨置 计算向量的模。于坐标系中 解法1：所以 第十五页解法2：因三向量两两垂直，故可在直角坐标系中设 则 于是 【例5】已知向量 与三向量 的数量积分别为3,5,4， 试求向量 及与其同向的单位向量。 第
5、十六页解：依题意有 即 解得 ， 与 同向的单位向量为 则分析：利用 与每个 的数量积，可得出关于 的联立方程组，解之便得结果。第十七页【例6】已知 和 。求与 同时垂直的单位向量，并且求以 为两邻边的平行四边形面积。 分析：应用向量积构造与两个向量都垂直的向量； 利用向量积模的几何意义得平行四边形的面积。 解： 与 同时垂直的单位向量为： 平行四边形面积 第十八页【例7】 在 坐标平面上求向量 ，它垂直于向量 并与向量 有相等的模。 分析： 先设出向量 ，再用两个条件确定其系数。 解：由已知条件,可设 , 由已知条件有 ， 则于是则第十九页【例8】已知向量 ， 轴与三坐标轴正向构成相等锐角，
6、 求 在 轴上的投影。 分析：先求出 轴上的单位向量，再利用向量投影公式。 解：设 轴的方向余弦分别为 ， 由已知条件及即 轴上的正向单位向量为 ，于是 得所以 第二十页【例9】设向量 ， ，其中 ， ， 且 。问： （1） 为何值时， 以 与 为邻边的平行四边形面积为6。 （2） 为何值时， 分析：（1）用向量垂直的充分必要条件； （2）用向量积的模的几何意义。 解：（1） 当 时 即 ， 亦即 ， 时故当 ，时 。 第二十一页（2） 平行四边形面积 则 ，于是 或 以 与 为邻边的平行四边形面积为6。 当 或 时， 第二十二页直线与平面典型例题【例1】求平行于 轴且经过两点 的平面方程。
7、分析：（1）已知平面过两点，可采用平面的点法式，用已知知两点确定的向量与向量 的向量积求平面的法向量； （2）由平面平行于 轴的特殊条件，可采用平面的一般式， 设出不含 的平面方程，再由已知两点确定平面方程的 待定系数。解法1: 由已知点 ，确定向量 , 轴上的单位向量 ，可确定所求平面的法向量 第二十三页平面过点 ，则所求平面的点法式方程为 即 解法2：平面平行于 轴，则平面方程中不含变量 ,于是可设平面方程为点 在平面上，满足平面方程，即有 第二十四页，得 则平面方程为 即 【例2】求经过两点 且与平面 垂直的平面方程。分析：已知平面过两点，可采用平面的点法式，用已知两点确定的向量与已知平
8、面法向量的向量积可求出平面的法向量。第二十五页，平面 过向量 ，所以， 。 已知平面 的法向量为 ， 因为 ，所以 ，可取 则所求平面的点法式方程为 即 解：设所求平面 的法向量为 ，已知平面 过点 第二十六页【例3】过点 且在三坐标轴上截距相等的平面方程。 分析：最简单的方法是利用平面的截距式方程，再用已知 的点确定三个相等的截距。解：设所求平面的截距式方程为 ， 将已知点的坐标代入方程确定参数 ，有 所求平面的截距式方程为 。 或写为一般式方程 。 解得第二十七页【例4】求与平面 平行，且与之距离 为 3 的平面。 分析： 所求平面与已知平面平行，法向量相同，可先设出平面方程的一般式，再由
9、条件定系数。解： 所求平面与已知平面平行，两者的法向量相同，故可设所求平面的方程为已知平面上有点 ，该点到所求平面的的距离为3，即 可解得 或 第二十八页代入所设平面方程得所求平面的方程为或 【例5】 求过点 且与平面 和 平行 的直线方程。 分析：直线过已知一点，由直线的对称式，只需求直线的 方向向量，直线的方向向量分别与两已知平面的法向量垂直， 可用向量积求出直线的方向向量。 第二十九页可取 直线过点 ，则所求直线方程为 解：设所求直线的方向向量为 ，两已知平面 的法向量为 ， 的法向量为 ， 则 ， 。 第三十页解： 已知直线上点 在所给平面上，该点坐标满足 平面方程；解之得 。 【例6
10、】已知直线 在平面 ， 求 的值。分析：直线在平面上，则直线上的点都在平面上、直线 的方向向量与平面的法向量垂直。与平面的法向量 应相互垂直，即 。则有 关系式 其次，直线的方向向量 第三十一页求平面的法向量与两者分别垂直，平面的法向量可用向量积求得。【例7】求过点 且通过直线 的平面方程。 分析： 直线上一点及已知点可确定一向量，直线有方向向量；所解：直线上的点 及已知点 在所求平面上， 两点构成向量 ，直线方向向量 ； 所求平面方程为 即 所求平面的法向量 ， ，于是可取 第三十二页【例8】已知两直线 求过 且平行于 的平面。 分析：所求平面过直线 ，则过直线上点，由平面的点法式， 关键是
11、求出平面的法向量，有两种方法： （1）用向量积得出与两直线的方向向量都垂直的向量； （2）先设出平面的法向量，再由条件定系数。 解法1: 直线 上的点 在所求平面上；又所求平面的 法线向量 与已知二直线 的方向向量 、 都垂直，从而可取第三十三页于是所求平面方程为即 解法2：设所求的法向量为 过直线 上的点 的方程为已知二直线 的方向向量为 、 ， 因为平面 过 ，所以 ，又因为 ，所以 ，则有 解得 取 则 。 平面方程为： 即 第三十四页【例9】求直线 与直线 的夹角。 分析：关键是求出直线 的方向向量，可用向量积求得。 解：直线 的方向向量是 ，而直线 的方向 向量 分别与两向量 ， 垂
12、直,则可取 从而直线 与直线 的夹角 的余弦为因此 第三十五页【例10】求过点 ，垂直于直线 且平行于 平面 的直线方程。 可用向量积求 。 分析：由本题的条件知，求直线的方向向量 垂直于已知 直线的方向向量 ，也垂直于已知平面 的法向量解：设所求直线 的方向向量为 ，已知直线 的方向 向量 ,已知平面 的法向量为 ， ，所以， ，故可取 已知第三十六页从而所求直线的方程为 即 【例11】* 已知直线 及点 ， 求点 到直线 的距离 。 分析：要想求出点到直线的距离，需求过该点与已知直线垂直 相交的直线和已知直线的交点（即垂线足，或称为投影）， 得出交点即可求出。 第三十七页过点 做垂直于已知
13、直线 的平面 ，其法向量即是 的方向向量 ，则平面方程为 即 再求已知直线 与平面 的交点 ，取已知直线 上点 ，得直线的对称式方程为 解：已知直线 的方向向量为 第三十八页化为参数方程为 ，将已知直线的参数方程代入平面 方程 得 ，则 故有交点 ， 因此所求的距离为 注：求点到直线距离、过一点作与已知直线垂直相交的直线、点在 直线上的投影等几种问题均为同一种类型题，解题过程基本相同。第三十九页【例12】通过二平面 与 的交线及 点 的平面方程。 分析：所求平面过 点，由点法式方程，只需求出平面的 所求平面上，又交线上的一点 与已知点 所 向量。也可现设出所求平面的法向量，再由条件定其坐标。
14、又可利用过交线的平面束。确定的向量 在所求平面上，两者可确定所求平面的法解法1：设两个平面的交线为 ，方向向量为 ，已知两平面 的法向量为 ， ，因为 法向量。所给两个平面的交线 （方向向量 ）显然应该在 第四十页点 满足两已知平面方程，故该点在两平面交线 上， 该点与点 所确定的向量 平面上。则所求平面的法向量为在所求则所求平面的方程为即 可取 第四十一页解法2：同解法1交线 的方向向量为 ， 设求平面的法向量为 ，则 ， ，于是有 ，得 取 ，则 则所求平面的方程为即 第四十二页解法3：过交线 的平面束的方程是即 点 不在交线上，故平面束中过点 的 平面唯一。将 的坐标代入平面束方程： 可
15、得 于是求平面的方程为 即 第四十三页【例13】求直线 在平面 上的投影的直线方程。分析：应考虑过已知直线的平面束中有一个平面与已知平面垂直，平面束中该平面是直线的投影柱面。解：过已知直线的平面束方程为 即其法向量 平面束中有一个平面与已知平面垂直， 与已知平面法向量 垂直 即其法向量第四十四页则两者的数量积为零，即解得 则法向量为 . 于是平面束中以此为法向量的平面方程为 即是直线的投影柱面。则已知直线在已知平面上的投影为第四十五页【例14】一平面通过两平面 的交线，且与平面 成 角,求其方程.分析：过过交线线的平面束中有两个平面与已知平面成 用数量积表示 . 解：过交线的平面束方程为 即其法向量为 与已知平面法向量 成 时有, 当第四十六页即可得 于是所求平面两个:（1） 时, 有 ,即为已知平面。（2） 时,有 . 第四十七页【例15】已知曲面 上点 处的切平面平行于平面 求点 的 坐标.分析：本题的切平面的法向量已与已知平面的法向量平行；问题是要求出切点。可由曲面方程求切平面的法向量，再利用平行条件。解:令 曲面上任意 处切平面的法向量是 已知平面的法向量为 第四十八页曲面的切平面平行与已知平面，则有两法向量平行： 即 解之得 代入曲面方程得 故点 的坐标为 第四十九页
