2020赣州市一模数学(理科)含答案

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1、赣州市 2020 年高三年级摸底考试理科数学参考答案 1赣州市 2020 年高三年级摸底考试理科数学参考答案一、选择题15. BAACB；610.ADBDC；1112.AB.提示：9.令1lnyx，2yax，(0,)x显然在(0,1)x函数没有三各公共点，故1lnlnyxx，111yaxxa，所以21y ，故切点为1( ,1)a，代入1lnyx得1ea ，1ln42ln2y ，函数过点(4,2ln2)，2ln2ln242a ，故范围为ln2 1(, )2e.10.解法一：不妨设(2,0)a ，( , )bx y，则由()3bba得22(1)4xy，22(2)abxy表示圆22(1)4xy上的点

2、到(2,0)的距离，故max3ab.解法二：由()3bba得23a bb ，2a ，222222242(3)10ababa bbbb ，要ab最大，必须2b最小，而2cos30bab，即22cos30bb，解得2coscos3b，min121(cos1)b ，所以max3ab.11 三角形1FMN为直角三角形，故它的内切圆半径111222MFMNNFMFMNNFr121222MFMNMNMFMFMFab，故离心力2e .12.(2)sin() sin( )2xfxxf x ，所以成立；(2)sinsin( )2xfxxf x，故该函数为周期函数；由得，所以2是( )f x的一个周期， 不妨设0

3、2x，则2( )2sincos22xxf x 22 1 coscos22xx， 令2cos 1,1tx ，令( )g t32 tt，赣州市 2020 年高三年级摸底考试理科数学参考答案 2则( )g t递增区间是33,33递减区间是33 1),(,133，( )g t的极大值为34 339g，( 1)0g ，所以最大值不为34.当2(0,3x时，1cos,122xt，由知，( )g t在该区间内有增有减，故不单调.正确结论的个数是 2 个故选 B二、填空题1312；145；1522142xy；1623.16分别取 AD 和 BC 的中点 E、F，由,PAPD PBPC知,PEAD PFBC，又

4、 ABCD 是梯形，故 EFAB，从而 EFBC，故 BC平面 PEF，进而得 PEBC，而 PEAD， AD 与 BC 相交，故 PE平面 ABCD由PBC 的面积为BC得2PFBC，由222PFPEEF得42PE EFBC，进而2PE EF BC，所以1233VPE EF BC三、解答题17解（1）由已知得，22sincossin2sin2222AAAA2 分因为sin02A，所以1sincos222AA4 分两边平方得，3sin4A 6 分（2）由sincos022AA得，tan12A，从而90A 7 分于是7cos4A 8 分因为ABC 的面积为1.5，所以4ABAC9 分由余弦定理得

5、，2()2(1cos )BCABACABACA11 分7112 分（注：求出 AB 和 AC 的值给 2 分，写出余弦定理给 1 分）18 （1）因为90DAEAEF 且 A、D、E、F 四点共面，所以 ADEF又AD 平面 BCFE， 所以 AD平面 BCFE2 分赣州市 2020 年高三年级摸底考试理科数学参考答案 3又平面ABCD 平面BCFEBC，所以 ADBC3 分因为BCAB，所以ADBC，又ADAE，所以AD 平面 ABE 5 分而AD 平面 ABCD，故平面 ABE平面 ABCD6 分（2）由ADBCCD和 ADBC，BCAB可知，ABCD 是正方形7 分由 ADEF 及AD

6、平面 ABE 得，EF 平面 ABE8 分又因为90AEB，所以平面 BCFE平面 ADFE9 分从而直线 CE 与平面 AEFD 所成角就是CEF10 分因为ABE 是等腰直角三角形，所以2ABBE在RtCBE 中，2tantan2BECEFECBBC12 分另解（建坐标系）（2）由ADBCCD和 ADBC，BCAB可知，ABCD 是正方形7 分如图建立空间直角坐标系，不妨设2AB ，则(0,1,0),(2,1,0),(0,0,1),(2, 1,0)ADEC(2,0,0),(0, 1,1),( 2,1,1)ADAECE 8 分设平面AEFD的法向量为( , , )x y zn，则由0,0AD

7、AE nn得0,0 xyz，故令1z ，得(0,1,1)n10 分设直线CE与平面AEFD所成角为，则|3sin3|n CEn CE ，从而2tan212 分19 （1）过 M 和 N 分别作y轴的垂线，垂足分别为1M、1N，则1| |2pMMMF1| |2pNNNF依题意知11| 2MMNN，即|2MFNFp2 分于是，把| 4MFNF代入得2p 4 分（2）由题意知直线l的斜率存在，设l的方程为(0)ykxm m，代入抛物线方程得2440 xkxm由0 得，20km（*）5 分设1122( ,), (,)A x yB xy，则124x xm 由5OA OB 得，12125x xy y，即2

8、1212()54x xx x 6 分把124x xm 代入得2450mm解得1m 或5m （舍去）7 分（）于是直线l恒过定点(0, 1)Q8 分（）由90FPQ知点 P 在以 FQ 为直径的圆上，该圆的方程为221xy10 分根据（*）得21k ，从而取圆在x轴的上方部分，又直线l的斜率存在，因此应剔除与y轴的交点11 分赣州市 2020 年高三年级摸底考试理科数学参考答案 4故点P的轨迹方程为221(0 xyy且1)y 12分20 （1）记事件 C： “丙受甲感染” ，事件 D： “丁受甲感染” ，则( )0.6P C ，()0.2P D X 的取值为1,2,3(1)()0.4 0.80.

9、32P XP C D(2)()()0.6 0.80.4 0.20.56P XP C DP C D(3)()0.6 0.20.12P XP C D3 分所以 X 的分布列为X123P0.320.560.124 分1 0.322 0.563 0.121.8EX 5 分（2）（）对于 B 区，由2212(2)(2)yy27(2)21y知，2(2)21iy （1,2,i ,7） ，因为iy是非负整数，所以|2|4iy ，即6iy ，所以6N 6 分当12,y y7,y中有一个取 6，有一个取 2，其余取 1 时，6N 7 分对于 A 区，当1230 xxx，4564xxx，79x 时，满足“总体均值为

10、 3，中位数4” ，此时，9M 8 分所以NM9 分（）当6N 时，12,y y7,y只有两种情况：有一个是 6，有五个是 1 或 3，有一个是 2；有一个是 6，有一个是 1 或 3，有一个是 0 或 4，其余是 2对于，共有1557621344C C 组10 分对于，共有11127652840C C C 组11 分故共有2180组12分21 （1）设直线149yx切曲线( )yf x于点00(,)xy0.5( )e14xfxaa所以000.50.500e1414e(14)149xxaaaa xx 2 分解得6a ，00.5x 4 分（2）0.5( )6e8xf xx下证( )149f xx

11、（(,2x ）赣州市 2020 年高三年级摸底考试理科数学参考答案 5记0.5( )6e69xg xx，则0.5( )6(e1)xg x，令( )0g x，得0.5x 当0.5x 时，( )0g x；当0.5x 时，( )0g x于是( )g x在(, 0.5) 上递减，在( 0.5,2)是递增，故( )( 0.5)0g xg ，即( )149f xx7 分再证32885149xxx（(,2x ）记32( )88144h xxxx，则( )2(21)(7)h xxx当0.5x 时，( )0h x；当0.52x时，( )0h x于是( )h x在(, 0.5) 上递增，在( 0.5,2)是递减，

12、故( )( 0.5)0h xh ，即32885149xxx10 分综上，不等式32( )885f xxx在(,2上恒成立12 分第（2）问另证：记32( )( )885h xf xxx，则0.5( )6e8(31)(1)xh xxx当0 x时，( )h x递增，且( 0.5)0h ，所以( )h x在(, 0.5) 上递减，在( 0.5,0)上递增， 故( )(0.5)0h xh6 分当01x时，( )0h x，此时( )h x在(0,1)上递增，所以( )(0)6 e50h xh8 分当1x 时，记( )( )m xh x，则0.5( )6e4816xm xx（( )m x的导数为0.56e

13、48x）设0.56e480 x的根为0 x，易知01.5x ，( )m x在0(1,)x上递减，在0(,)x 上递增，00.5000()6e481616(43)0 xm xxx9 分而(1)0m，(2.5)0m，所以( )0m x在1x 时只有一个根1(1.5,2.5)x 因此( )h x在1(1,)x上递减，在1( ,)x 上递增，故22111111( )()48168(321)8(381)2h xh xxxxxx 10 分从而( )h x在(1,)上递增，所以( )(1)0h xh11 分综上，不等式32( )885f xxx在(,2上恒成立12 分赣州市 2020 年高三年级摸底考试理科

14、数学参考答案 6（注：在中按13x和113x讨论也行）22.（1）设动圆 C 的圆心坐标为( , )x y，则2 2cos2sinxy2 分消去参数得，得1C的方程为22184xy3 分直线l的直角坐标方程为30 xym4 分（2）设(2 2cos ,2sin )M，MN 的最小值等于点 M 到直线l的距离的最小值点 M 到直线l的距离|2 2cos2 3sin|2 5cos()|22mmd5 分因为d的最小值不为 0，所以| 2 5m 7 分当2 5m 时，min2 52md，则2 512m，解得2( 51)m 8 分当2 5m 时，min2 52md ，则2 512m，解得2( 51)m 9 分综上，2( 51)m 10 分23.（1）由1abc得，2222()1abcabbcca2 分因为222abab，222bcbc，222caca，所以222abcabbcca4 分从而22212()3()abcabbccaabbcca，即13abbcca5 分（2）222222()()()222abcabcabcbcaabcbcabca7 分所以2221abcabcbca（当且仅当13abc时取“”号）9 分从而1t，故t的最大值为 110 分（注第（2）要指明等号成立的条件，未指的扣 1 分）