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1、优秀学习资料欢迎下载点集拓扑学第一章 集合论初步本章介绍有关集合论的一些基本知识从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发，给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识至于选择公理，只是稍稍提了一下，进一步的知识待到要用到时再阐述旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中。这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，如果对集合的理论有进一步的需求，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑，可以去研读有关公理集合论的专著即令就朴素集合论本身而言，我们也无意使本章的内容构成一个完全自我封闭的体系，主要是我们没有打算重建数系，而假定读者了解有关正整数，整数，有理数，实数的基本知识，以及其中的四则运
2、算，大小的比较 (和)，和实数理论中关于实数的完备性的论断（任何由实数构成的集合有上界必有上确界）等，它们对于读者决不会是陌生的此外，对于通常的（算术）归纳原则也按读者早已熟悉的方式去使用，而不另作逻辑上的处理1.1集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”，“所有整数的集合”等等集合也常称为集，族，类精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 23 页 - - - -
3、 - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载集合（即通常所谓的“集体”） 是由它的元素（即通常所谓的“个体”构成的例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素元素也常称为元，点，或成员集合也可以没有元素例如平方等于2 的有理数的集合，既大于1又小于 2 的整数的集合都没有任何元素这种没有元素的集合我们称之为空集，记作此外，由一个元素构成的集合，我们常称为单点集集合的表示法：（1） 用文句来描述一个集合由哪些元素构成（像前面所作的那样） ，是定义集合的一个重要方式（2）描述法：我们还通过以下的方式来定义集合：记号x| 关于x的一个命题
4、P 表示使花括号中竖线后面的那个命题P 成立的所有元素x 构成的集合例如，集合x|x为实数，并且 0 x1即通常所谓开区间（0， 1） 在运用集合这种定义方式时有时允许一些变通，例如集合是实数 便是集合 ，其中x是实数 的简略表示 ,不难明白这个集合实际上是由全体非负实数构成的集合表示方式中的竖线“ | ”也可用冒号“：”或分号“；”来代替精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载（3）列举法
5、：也常将一个集合的所有元素列举出来再加上花括号以表示这个集合例如 表示由元素构成的集合如果确实不至于发生混淆， 在用列举的办法表示集合时容许某种省略例如，有时我们可以用 1 ，2，3，表示全体正整数构成的集合，用1，3，5，表示全体正奇数相成的集合但我们并不鼓励这种做法，因为后面的规律不是很清楚，容易产生误解我们再三提请读者注意：不管你用任何一种方式定义集合，最重要的是不允许产生歧义，也就是说你所定义的集合的元素应当是完全确定的在本书中，我们用：表示全体正整数构成的集合，称为正整数集；Z表示全体整数构成的集合，称为整数集；Q表示全体有理数构成的集合，称为有理数集；R表示全体实数构成的集合，称为
6、实数集；并且假定读者熟知这些集合以下是一些常用的记号：表示元素与集合的关系，如：xX ， xx 等：表示集合与集合的关系，如：AB （等价于）( 这个记号即是通常数学课本中的) ：表示与上述相反的含义=：表示两个集合相等，如：A=B （等价于）精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载以下的这个定理等价于形式逻辑中的相应命题，从直觉着去看也是自明的定理 1.1.1 设 A，B，C都是集合，则（
7、l ）AA；（2）若 AB，则 BA；（3）若 AB，B=C ，则 AC定理 1.1.2 设 A，B，C都是集合，则（l ）A A；（2）若 A B，BA，则 AB；（3）若 A B，BC，则 A C证明 （l ）显然（2）A B意即：若 xA，则 xB；BA意即：若 xB，则 xA这两者合起来正好就是AB的意思（3）xA由于 A B，故 xB；又由于 B C，从而 xC综上所述，如果 xA 就有 xC此意即 AC因为空集不含任何元素，所以它包含于每一个集合之中由此我们可以得出结论：空集是惟一的设 A，B是两个集合如果AB，我们则称 A为 B的子集；精品p d f 资料 - - - 欢迎下载
8、- - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载如果 A是 B的子集，但 A又不等于 B，即 A B，AB，也就是说 A的每一个元素都是B 的元素，但 B 中至少有一个元素不是A的元素，这时，我们称 A为 B的真子集 . 我们常常需要讨论以集合作为元素的集合，并且为了强调这一特点，这类集合常称为集族 . 例如，A=1,1,2,1,2,3是一个集族 .它的三个元素分别为 :1,1,2,1,2,3及. 设 X是一个集合， 我们常用P（X）表示 X
9、的所有子集构成的集族，称为集合 X的幂集例如，集合1,2 的幂集是P=1,1,2,2,. 本章中所介绍的集合论是所谓“朴素的”集合论在这种集合论中，“集合”和“元素”等基本概念均不加定义而被认作是自明的正因为如此， 历史上曾经产生过一些悖论.而对于绝大多数读者来说了解朴素的集合已是足够的了，只是要求他们在运用的时候保持适当的谨慎，以免导致逻辑矛盾例如，我们应当知道一个集合本身不能是这个集合一个元素即：若A是集合则 AA 不成立这一点是容易理解的例如，由一些学生组成的一个班级决不会是这个班级里的一名学生因此，我们不能说“所有集合构成的集合”，因为如果有这样一个“集合”的话，它本身既是一个集合，就
10、应当是这个“所有集合构成的集合”的一个元素了也因此，我们应当能够了解一个元素a 和仅含一个元素 a 的单点集 a 是两回事，尽管我们有时为了行文的简便而在记号上忽略这个区别作业：精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载掌握集合、元素的概念、表示法熟练区分“”与“”的意义1.2集合的基本运算在这一节中我们介绍集合的并、交、差三种基本运算，这三种运算的基本规律，以及它们与集合的包含关系之间的基本
11、关联定义 1.2.1 设 A与 B是两个集合集合x|x A 或 xB称为集合 A与集合 B的并集或并，记作 AUB ，读为 A并 B集合x|x A 且 xB称为集合 A与集合 B的交集或交，记作 AB，读为 A交 B若 AB=，则称集合 A与集合 B无交或不相交；反之，若AB，则称集合 A与集合 B有（非空的）交集合x|x A 且 x B称为集合 A与集合 B的差集，记作 AB或 AB，读为 A差 B，或 A减 B关于集合的并、交、差三种运算之间，有以下的基本规律定理 1.2.1 设 A，B，C都是集合则以下等式成立：（1）幂等律AAA AA=A（2）交换律精品p d f 资料 - - - 欢
12、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载ABBAAB=B A （3）结合律(AB)CA(BC)(AB)CA(BC)（4）分配律(AB)C(AC)(BC)(AB)C(AC)(BC)（5）DeMongan 律A-(BUC)=（(A- B)(A-C) A-(B C)(A-B)U(A-C) 集合的并、交、差三种运算与集合间的包含关系之间有着以下基本关联定理 1.2.2 设 A，B是两个集合下列三个条件等价：（l ）AB；（2）ABA；
13、（3）ABB定义 1.2.2 设 X是一个基础集对于X的任何一个子集 A，我们称 XA为 A（相对于基础集X而言）的补集或余集记作我们应当提醒读者，补集的定义与基础集的选取有关所以在研究某一个问题时，若用到补集这个概念，在整个工作过程中基础集必须保持不变精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载定理 1.2.3 设 X是一个基础集若A，B为 X的子集，则以上证明均只须用到集合的各种定义, 此处
14、不证 , 略去. 作业:熟记这两节的各种公式 . 掌握证明两个集合A=B与 AB的基本方法（）1.3关 系我们从前在数学的各种科目中学过诸如函数、次序、运算，以及等价等种种概念，它们的一个共同的特点在于给出了某些给定集合的元素之间的某种联系为了明确地定义它们，我们先定义“关系”，而为了定义关系，又必需先有两个集合的笛卡儿积这个概念定义 1.3.1 设 X和 Y是两个集合集合 （x，y）|x X，yY称为 X与 Y 的笛卡儿积，记作XY，读为 X叉乘 Y其中 (x ，y) 是一个有序偶， x 称为（x，y）的第一个坐标， y 称为（ x，y）的第二个坐标X称为 XY 的第一个坐标集， Y称为 X
15、Y 的第二个坐标集集合X与自身的笛卡儿积XX 称为 X的 2 重 （笛卡儿）积， 通常简单记作精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载有点儿不幸的是我们用于有序偶的记号和用于“开区间”的记号是一样的，有时容易混淆因此在可能发生混淆的情形下应当加以说明，以避免误解给定两个集合，通过取它们的笛卡儿积以得到一个新的集合，这个办法对于读者并不陌生以前学过的数学中通过实数集合构作复数集合，通过直线构作
16、平面时，用的都是这个办法我们应当注意， 一般说来集合 X与集合 Y的笛卡儿积 XY 完全不同于集合 Y与集合 X的笛卡儿积 YX定义 1.3.3 设 X， Y是两个集合如果 R是 X与 Y的笛卡儿积 XY的一个子集，即 R XY，则称 R是从 X到 Y的一个关系定义 1.3.4 设 R是从集合 X到集合 Y的一个关系，即 R XY 如果(x ，y）R，则我们称 x 与 y 是 R相关的，并且记作 xRy如果 A X，则 Y的子集y Y|存在 xA 使得 xRy 称为集合 A 对于关系 R而言的象集，或者简单地称为集合A的象集，或者称为集合 A的 R象，并且记作 R（A），R（X）称为关系 R的值域关系的概念是十分广泛的读者很快便会看到，以前在另外的数学学科中学过的函数（映射），等价，序，运算等等概念都是关系的特例这里有两个特别简单的从集合X到集合 Y的关系，一个是XY本身，另一个是空集请读者自己对它们进行简单的考查精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共
