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1、.一章习题解答1.1给定三个矢量、和如下：求：1；2；3；4；5在上的分量；6；7和；8和。解123114由,得 5在上的分量 67由于所以81.2三角形的三个顶点为、和。1判断是否为一直角三角形；2求三角形的面积。解1三个顶点、和的位置矢量分别为,则,由此可见故为一直角三角形。2三角形的面积 1.3求点到点的距离矢量及的方向。解,则且与、轴的夹角分别为1.4给定两矢量和,求它们之间的夹角和在上的分量。解与之间的夹角为 在上的分量为 1.5给定两矢量和,求在上的分量。解所以在上的分量为 1.6 证明：如果和,则；解由,则有,即由于,于是得到 故1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢
2、量积,那么便可以确定该未知矢量。设为一已知矢量,而,和已知,试求。解由,有故得1.8在圆柱坐标中,一点的位置由定出,求该点在：1直角坐标中的坐标；2球坐标中的坐标。解1在直角坐标系中 、故该点的直角坐标为。2在球坐标系中 、故该点的球坐标为1.9用球坐标表示的场,1求在直角坐标中点处的和；2求在直角坐标中点处与矢量构成的夹角。解1在直角坐标中点处,故2在直角坐标中点处,所以故与构成的夹角为 1.10球坐标中两个点和定出两个位置矢量和。证明和间夹角的余弦为解由得到1.11一球面的半径为,球心在原点上,计算：的值。解1.12在由、和围成的圆柱形区域,对矢量验证散度定理。解在圆柱坐标系中 所以又故有
3、1.13求1矢量的散度；2求对中心在原点的一个单位立方体的积分；3求对此立方体表面的积分,验证散度定理。解12对中心在原点的一个单位立方体的积分为3对此立方体表面的积分故有1.14 计算矢量对一个球心在原点、半径为的球表面的积分,并求对球体积的积分。解又在球坐标系中,所以1.15 求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分,此正方形的两边分别与轴和轴相重合。再求对此回路所包围的曲面积分,验证斯托克斯定理。解又所以故有1.16求矢量沿圆周的线积分,再计算对此圆面积的积分。解1.17证明：1；2；3。其中,为一常矢量。解12 3设,则,故1.18一径向矢量场表示,如果,那么函数会有什么特点呢？
4、解在圆柱坐标系中,由 可得到为任意常数。在球坐标系中,由 可得到 1.19给定矢量函数,试求从点到点的线积分：1沿抛物线；2沿连接该两点的直线。这个是保守场吗？解12连接点到点直线方程为即故由此可见积分与路径无关,故是保守场。1.20求标量函数的梯度及在一个指定方向的方向导数,此方向由单位矢量定出；求点的方向导数值。解题1.21图故沿方向的方向导数为点处沿的方向导数值为1.21试采用与推导直角坐标中相似的方法推导圆柱坐标下的公式。解在圆柱坐标中,取小体积元如题1.21图所示。矢量场沿方向穿出该六面体的表面的通量为同理因此,矢量场穿出该六面体的表面的通量为故得到圆柱坐标下的散度表达式 1.22方
5、程给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。解由于故椭球表面上任意点的单位法向矢量为1.23现有三个矢量、为1哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？2求出这些矢量的源分布。解1在球坐标系中故矢量既可以由一个标量函数的梯度表示,也可以由一个矢量函数的旋度表示；在圆柱坐标系中故矢量可以由一个标量函数的梯度表示；直角在坐标系中故矢量可以由一个矢量函数的旋度表示。2这些矢量的源分布为,；,；,1.24利用直角坐标,证明解在直角坐标中1.25 证明解根据算子的微分运算性质,有式中表示只对矢量作微分运算,表示只对矢量作微分运算。由,可得同理故有1.26利用直角坐
6、标,证明解在直角坐标中所以1.27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及,试证明之。解1对于任意闭合曲线为边界的任意曲面,由斯托克斯定理有由于曲面是任意的,故有2对于任意闭合曲面为边界的体积,由散度定理有其中和如题1.27图所示。由斯托克斯定理,有,由题1.27图可知和是方向相反的同一回路,则有 所以得到 题1.27图由于体积是任意的,故有 二章习题解答2.1一个平行板真空二极管内的电荷体密度为,式中阴极板位于,阳极板位于,极间电压为。如果、横截面,求：1和区域内的总电荷量；2和区域内的总电荷量。解1 2 2.2一个体密度为的质子束,通过的电压加速后形成等速的质子束,质子束内的电
7、荷均匀分布,束直径为,束外没有电荷分布,试求电流密度和电流。解质子的质量、电量。由得故2.3一个半径为的球体内均匀分布总电荷量为的电荷,球体以匀角速度绕一个直径旋转,求球内的电流密度。解以球心为坐标原点,转轴一直径为轴。设球内任一点的位置矢量为,且与轴的夹角为,则点的线速度为球内的电荷体密度为故2.4一个半径为的导体球带总电荷量为,同样以匀角速度绕一个直径旋转,求球表面的面电流密度。解以球心为坐标原点,转轴一直径为轴。设球面上任一点的位置矢量为,且与轴的夹角为,则点的线速度为球面的上电荷面密度为故2.5两点电荷位于轴上处,位于轴上处,求处的电场强度。解电荷在处产生的电场为电荷在处产生的电场为故
8、处的电场为2.6一个半圆环上均匀分布线电荷,求垂直于圆平面的轴线上处的电场强度,设半圆环的半径也为,如题2.6 图所示。解半圆环上的电荷元在轴线上处的电场强度为 题 2.6图在半圆环上对上式积分,得到轴线上处的电场强度为2.7三根长度均为,均匀带电荷密度分别为、和地线电荷构成等边三角形。设,计算三角形中心处的电场强度。解建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为题2.7图则故等边三角形中心处的电场强度为2.8点电荷位于处,另点电荷位于处,空间有没有电场强度的点？解电荷在处产生的电场为 电荷在处产生的电场为处的电场则为。令,则有由上式两端对应分量相等,可得到当或时,将式或式代入式,得。
9、所以,当或时无解；当且时,由式,有解得但不合题意,故仅在处电场强度。29一个很薄的无限大导电带电面,电荷面密度为。证明：垂直于平面的轴上处的电场强度中,有一半是有平面上半径为的圆内的电荷产生的。解半径为、电荷线密度为的带电细圆环在轴上处的电场强度为 题2.10图故整个导电带电面在轴上处的电场强度为而半径为的圆内的电荷产生在轴上处的电场强度为2.10 一个半径为的导体球带电荷量为,当球体以均匀角速度绕一个直径旋转,如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度。解球面上的电荷面密度为当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时,球面上位置矢量点处的电流面密度为将球面划分为无数个宽度为的细圆环,则球面上任一个宽度
10、为细圆环的电流为 细圆环的半径为,圆环平面到球心的距离,利用电流圆环的轴线上的磁场公式,则该细圆环电流在球心处产生的磁场为故整个球面电流在球心处产生的磁场为 2.11两个半径为、同轴的相同线圈,各有匝,相互隔开距离为,如题2.11图所示。电流以相同的方向流过这两个线圈。1求这两个线圈中心点处的磁感应强度；2证明：在中点处等于零；3求出与之间的关系,使中点处也等于零。解1由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 2两线圈的电流在其轴线上处的磁感应强度为 题2.11图所以 故在中点处,有3 令,有 即故解得 题 2.12图2.12一条扁平的直导体带,宽为,中心线与轴重
11、合,通过的电流为。证明在第一象限内的磁感应强度为 ,式中、和如题2.12图所示。解将导体带划分为无数个宽度为的细条带,每一细条带的电流。由安培环路定理,可得位于处的细条带的电流在点处的磁场为则 所以 2.13 如题2.13图所示,有一个电矩为的电偶极子,位于坐标原点上,另一个电矩为的电偶极子,位于矢径为的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为 题 2.13图式中,是两个平面和间的夹角。并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？解电偶极子在矢径为的点上产生的电场为所以与之间的相互作用能为因为,则又因为是两个平面和间的夹角,所以有另一方面,利用矢量恒等式可得因此 于是得到 故两偶极子之间的相
12、互作用力为由上式可见,当时,即两个偶极子共线时,相互作用力值最大。2.14两平行无限长直线电流和,相距为,求每根导线单位长度受到的安培力。解无限长直线电流产生的磁场为 直线电流每单位长度受到的安培力为 式中是由电流指向电流的单位矢量。同理可得,直线电流每单位长度受到的安培力为 2.15一根通电流的无限长直导线和一个通电流的圆环在同一平面上,圆心与导线的距离为,如题2.15图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为题2.15图 这里是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。解无限长直线电流产生的磁场为圆环上的电流元受到的安培力为由题2.15图可知 所以 2.16证明在不均匀的电场中,某一电偶极子绕坐标原点所受到的力矩为。解如题2.16图所示,设,则电偶极子绕坐标原点所受到的力矩为题2.16 图当时,有故得到三章习题解答3.1真空中半径为的一个球面,球的两极点处分别设置点电荷和,试计算球赤道平面上电通密度的通量。赤道平面题3.1 图解由点电荷和共同产生的电通密度为则球赤道平面上电通密度的通量3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为的球体原子模型,其球体内均匀分布有总电荷量为的电子云,在球心有一正电荷是原子序数,是质子电荷量,通过实验得到球体内的电通量密度表达式为,试证明之。解位于球心的正电荷球体内产生的电通量密度为 原子内
