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1、数学B单元函数与导数B1 函数及其表示6B12015湖北卷 已知符号函数sgn x1，x0，0，x0，1，x1)，则 ( ) Asgng(x) sgn xBsgng(x) sgn xCsgng(x) sgnf(x) Dsgng(x) sgnf(x) 6B 解析 不妨令f(x) x1，a2，则g(x) f(x) f(2x) x，故 sgng(x)sgn( x) ，排除 A； sgnf(x) sgn(x1) sgng(x) ，又 sgng(x) sgnf(x) ，所以排除C，D.故选 B. 10B12015湖北卷 设x R，x 表示不超过x的最大整数 若存在实数t，使得 t1，t2 2， tnn同
2、时成立，则正整数n的最大值是 ( ) A3 B 4 C5 D 6 10B 解析 t 1，则 1t2，t2 2，则 2t23，显然存在t2，3) 使得 t 1 与 t2 2 同时成立t3 3，则 3t34，即 313t413，因为 212313413312，所以存在313t413使得同时成立t4 4，则 4t45，则 414t514，同理，可以求得313t514使得同时成立t5 5，则 5t56，即 515t615，因为 615313，所以 515t615与 313t514的交集为空集所以n的最大值是4. 故选 B. 10B1、B6201 5山东卷 设函数f(x) 3x1，x1，2x，x1.则满
3、足f(f(a) 2f ( a)的a的取值范围是 ( ) A.23，1 B 0 ，1 C.23， D 1 ，)10C 解析 当a1 时，f(a) 3a1，若f(f(a) 2f (a)，则f(a) 1，即 3a11，23a1；当a1 时，f(a) 2a2，此时f(f(a) 2f(a) 综上所述，a23. 7B12015浙江卷 存在函数f(x) 满足：对于任意xR都有 ( ) Af(sin 2x) sin x B f(sin 2x) x2xCf(x21) |x1| D f(x22x) |x1| 7D 解析 对选项 A中的函数，当x0 时，得f(0) 0，当x2时，得f(0) 1，矛盾；选项B中的函数
4、，当x0 时，得f(0) 0，当x2时，得f(0) 242，矛盾；选项 C中的函数，当x 1 时，得f(2) 0，当x1 时，得f(2) 2，矛盾；选项D中的函数变形为f(x1)2 1)（x 1）211，令t (x1)21 可知，f(t) t1满足要求10 B1、 B32015浙江卷 已知函数f(x) x2x3，x1，lg （x2 1），x1，则ff( 3) _，f(x) 的最小值是 _100 2 23 解析 f( 3) lg 10 1，ff( 3) f(1) 0. 当x1 时，x2x3 2 2 3，当且仅当x2时，等号成立；当x1 时， lg(x21) lg 1 0. 故最小值为2 23.
5、B2 反函数B3 函数的单调性与最值21B3、B142015安徽卷 设函数f(x) x2axb. (1) 讨论函数f(sin x) 在 2，2内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(2) 记f0(x) x2a0 xb0，求函数 |f(sin x) f0(sin x)| 在 2，2上的最大值D；(3) 在(2) 中，取a0b00，求zba24满足条件D1 时的最大值21解： (1)f(sin x) sin2xasin xbsin x(sin xa) b，2x2，f(sin x) (2sin xa)cos x，2x2. 因为2x0， 22sin x2. 当a 2，bR时，函数f(sin x)
6、 单调递增，无极值当a2，bR时，函数f(sin x) 单调递减，无极值对于 2a2，在2，2内存在唯一的x0，使得 2sin x0a. 当2xx0时，函数f(sin x) 单调递减；当x0 x2时，函数f(sin x) 单调递增因此，当 2a2，bR时，函数f(sin x)在x0处有极小值f(sin x0) fa2ba24. (2) 当2x2时， |f(sin x) f0(sin x)| |(a0a)sin xbb0| |aa0| |bb0| ，当(a0a)(bb0) 0时，取x2，等号成立，当(a0a)(bb0)0 时，取x2，等号成立由此可知， |f(sin x) f0(sin x)|
7、在 2，2上的最大值D|aa0| |bb0|. (3)D1 即为 |a| |b| 1，此时 0a21，1b1，从而得zba241. 取a0，b1，则 |a| |b| 1，并且zba24 1，由此可知，zba24满足条件D1 的最大值为1. 22B3、 M3 、E72015湖北卷 已知数列 an 的各项均为正数，bnn11nnan(nN) ，e 为自然对数的底数(1) 求函数f(x)1xex的单调区间，并比较11nn与 e 的大小；(2) 计算b1a1，b1b2a1a2，b1b2b3a1a2a3，由此推测计算b1b2bna1a2an的公式，并给出证明；(3) 令cn(a1a2an)1n，数列 a
8、n ，cn 的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn0 ，即x0 时，f(x) 单调递增；当f(x)0 时，f(x) 单调递减故f(x) 的单调递增区间为( ， 0) ，单调递减区间为(0 ， ) 当x0时，f(x)f(0) 0，即 1xex. 令x1n，得 11ne1n，即11nne. (2)b1a11 11111 12；b1b2a1a2b1a1b2a2221122(2 1)232；b1b2b3a1a2a3b1b2a1a2b3a33231133(31)343. 由此推测：b1b2bna1a2an(n 1)n. 下面用数学归纳法证明. (i) 当n1 时，左边右边2，成立(ii)假设当nk时，
9、成立，即b1b2bka1a2ak(k1)k. 当nk1 时，bk 1 (k1) 11k1k1ak1，由归纳假设可得b1b2bkbk1a1a2akak1b1b2bka1a2akbk1ak 1(k1)k(k1)11k1k 1(k2)k 1. 所以当nk1 时，也成立根据 (i)(ii)，可知对一切正整数n都成立(3) 证明：由cn的定义，算术-几何平均不等式，bn的定义及得Tnc1c2c3cn(a1)11(a1a2)12(a1a2a3)13 (a1a2an)1n（b1）112（b1b2）123（b1b2b3）134（b1b2bn）1nn1b112b1b223b1b2b334b1b2bnn（n1）b
10、11121231n（n1）b21231341n（n1）bn1n（n1）b111n 1b2121n 1bn1n1n1b11b22bnn 1111a1 1122a211nnanea1ea2 eaneSn，即TneSn. 14B3，B52015北京卷 设函数f(x) 2xa，x1，4（xa）（x 2a），x1.(1) 若a1，则f(x) 的最小值为 _；(2) 若f(x) 恰有 2 个零点，则实数a的取值范围是_14 (1) 1(2)12，1 2 ， ) 解 析 (1) 当a 1时 ，f(x) 2x1，x1，4x212x8，x1.当x1 时，12x11； 当x1 时，f(x) 4x212x8 在区间
11、1，32上单调递减， 在区间32，上单调递增， 所以当x32时，f(x)minf32432212328 1. (2) 当a0或a2时，f(x) 2xa，x1，f（1）0，解得a1，故此时a2.当 0a2 时，f(x) 2xa，x1 与x轴有 1 个交点，故此时f(x) 4(x23ax2a2) ，x1 与x轴应有 1 个交点，所以f（1） 0，32a1或f(1)0 ，解得a12或12a1，即12a0，a1)的定义域和值域都是 1，0 ，则ab_ . 1432 解析 若 0a0，a1)在区间 1，0 上为减函数，即a1b0，a0b 1，解得a12，b 2；若a1，则f(x) axb(a0，a1)在
12、区间 1，0 上为增函数，即a1b 1，a0b0，无解ab12232. 15B3，B122015四川卷 已知函数f(x) 2x，g(x) x2ax( 其中aR) 对于不相等的实数x1，x2，设mf（x1）f（x2）x1x2，ng（x1）g（x2）x1x2. 现有如下命题：对于任意不相等的实数x1，x2，都有m0；对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n0；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn. 其中的真命题有_( 写出所有真命题的序号) 15 解析 对于，因为f(x) 2xln 2 0 恒成立，故正确对于，取a 8，则g
13、(x) 2x 8，当x1，x24 时，n 0，错误对于，令f(x) g(x) ，即 2xln 2 2xa，记h(x) 2xln 2 2x，则h(x) 2x(ln 2)22，存在x0(2 ， 3) ，使得h(x0) 0，可知函数h(x) 先减后增，有最小值因此，对任意的a，mn不成立，错误对于，由f(x) g(x) ，得 2xln 2 2xa. 令h(x) 2xln 2 2x，则h(x) 2x(ln 2)220 恒成立，即h(x) 是单调递增函数，当x时，h(x) ，当x时，h(x) ，因此对任意的a，存在直线ya与函数h(x) 的图像有交点，正确10 B1、 B32015浙江卷 已知函数f(x
14、) x2x3，x1，lg （x2 1），x1，则ff( 3) _，f(x) 的最小值是 _100 2 23 解析 f( 3) lg 10 1，ff( 3) f(1) 0. 当x1 时，x2x3 2 2 3，当且仅当x2时，等号成立；当x1 时， lg(x21) lg 1 0. 故最小值为2 23. 18B3、B5、 E72015浙江卷 已知函数f(x) x2axb(a，bR) ，记M(a，b) 是|f(x)| 在区间 1，1 上的最大值(1) 证明：当 |a| 2 时，M(a，b) 2；(2) 当a，b满足M(a，b) 2 时，求 |a| |b| 的最大值18解： (1) 证明：由f(x) x
15、a22ba24，得f(x)的图像的对称轴为直线xa2. 由|a| 2，得a21，故f(x) 在 1，1 上单调， 所以M(a，b) max|f(1)| ，|f( 1)| 当a2时，由f(1) f( 1) 2a4，得 maxf(1) ，f( 1) 2，即M(a，b) 2.当a 2 时，由f( 1)f(1) 2a4，得 maxf( 1)，f(1) 2，即M(a，b) 2.综上，当 |a| 2 时，M(a，b) 2.(2) 由M(a，b) 2 得，|1 ab| |f(1)| 2， |1 ab| |f( 1)| 2，故|ab| 3， |ab| 3，由|a| |b| |ab| ，ab 0，|ab| ，a
16、b0，得|a| |b| 3. 当a2，b 1 时， |a| |b| 3，且 |x22x1| 在 1，1 上的最大值为2，即M(2， 1) 2. 所以 |a| |b| 的最大值为3. 16B3、B92015重庆卷 若函数f(x) |x1| 2|xa| 的最小值为5，则实数a_16 6 或 4 解析 当a 1 时，f(x) 3|x1| 0，不成立；当a1 时，f(x)3x 12a，xa，x1 2a，a1，故f(x)minf(a) 3a12a5，解得a 6；当a1 时，f(x) 3x1 2a，x 1，x12a， 1a，故f(x)minf(a) a12a5，解得a4. B4 函数的奇偶性与周期性2B4、B92015安徽卷 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) Aycos x B y sin xCyln x D yx21 2A 解析 ycos x是偶函数，且cos x0 有实数解， A正确；ysin x是奇函数， B不正确；yln x是非奇非偶函数，C不正确；yx21 是偶函数，但x210 无实数解， D不正确3B42015广东卷 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) Ay1x
