PCABEF2019 年全国一卷理科压轴题解答年全国一卷理科压轴题解答 11.关于函数有下列四个结论是偶函数在区间单调递增在有 4 个两点零点的最大值 2 其中正确的结论编号是A B. C.D.解析：解析：利用利用函数的奇偶性和单调性函数的奇偶性和单调性 ，所以函数是偶函数 ，故正确当上，函数单调递减，错误在可以分段为，有一个零点，又也只有一个零点，故有三个零点；是错误由于,由于，所以，正确此题选 C.12.已知三棱锥的四个顶点在球 O 的球面上，,是边长为 2的正三角形，分别是的中点，则球的体积是A.B.C. D.解析：还原正方体解析：还原正方体 由正三棱锥的对称垂直，因此ACPB，又因为PBAC 因此PB 平面PAC，则,PBCPACPAC都为全等的等腰直角三角形 因此,PA PB PC三棱两两垂直且相等，可视为正方体一角 因此正方体边长为2，体对角线长为6，外接球半径62r =因此334466332Vr=，故选 D. 16.已知双曲线 C:的左右焦点是过的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A,B 两点，若，则 C 的离心率为_ 解析：解析：，为的中点，, 连结,可得,所以垂直平分, ，所以离心率为 2 题目 20： （全国卷 1T20）已知函数( )()sinln 1f xxx=+，( ) fx为( )f x的导数，证明： （1）( ) fx在区间1,2存在唯一极大值点； （2）( )f x有且仅有 2 个零点； 证明证明： （1）由题意可得( )f x的定义域为()1, +，( )1cos1fxxx=+，( ) 00f= ( )()()()22211sin1sin11xxfxxxx+= +=+， 当10 x ； 当0,2x时，( )()()()22211sin1sin11xxfxxxx+= +=+，设( )()21sin1h xxx= + ( )()()22 1sin1cos0hxxxxx= +，211022h= +=，2022f= ，1ln120222f= + 当,2x时，( )1cos01fxxx=+，( )f x单调递减，( )()ln10f= +时，此时()ln11x +，则( )()()sinln11ln10f xxxx=+ + B.2133423log22fff C.231324322logfff D.231324322logfff 解：234323log1220( )f x在()0,+单调递减 ()23143243322loglogffff= 12、设函数( )()sin05f xx=+，已知( )f x在0,2有且仅有 5 个零点，下述四个结论： ( )f x在()0,2有且仅有 3 个极大值点 ( )f x在()0,2有且仅有 2 个极小值点 ( )f x在0,10单调递增 的取值范围是12 29,5 10 A. B. C. D. 解：先判断（4）是否正确？ ( )()sin05f xx=+令5tx=+0,2x ,2555tx=+ ( )f x在0,2有且仅有 5 个零点1229526510（4）正确 再判断（3）是否正确？ 0,1055 510 xx +,12 294469,5 10100105100+，结合( )sinf xt=图像 （3）错误 再判断（1） （2）是否正确？ ( )sin5f xx=+( )cos5fxx=+ 令( )cos ,5g xt tx=+ 255t+ 12 2969,5265 105100+ 结合( )()cos56g xtt=时，( )f x在(),0单调递增，在0,3a单调递减，在,3a+单调递增 当0a 时，( )f x在,3a单调递增，在,03a单调递减，在()0,+单调递增 （2）由（1）可知：当0a ，( )0fx 恒成立，因此( )f x在0,1上单调递增 因此( )min01ffb= ，( )max111ffb= +=，则无解，故不满足题意； 当013a=，故不满足题意 当3a 时，( )f x在0,1单调递减，maxmin121fbfab=+= ，因此1,4ba= 综上：当1,4ba=时，( )f x在区间0,1上的最小值为1，最大值为 1. 21、 已知曲线2:2xC y =，D为直线12y = 上的动点， 过D作C的两条切线， 切点分别为,A B. （1）证明：直线AB过定点； （2） 若以点50,2E为圆心的圆与直线AB相切， 且切点为线段AB的中点， 求四边形ADBE的面积. 解析解析： （1）方程思想处理切线问题方程思想处理切线问题 设点1,2D m，()()1122,A x yB xy 对22xy =求导可得 yx=，因此在点A处的切线的斜率为11|x xyx= 则在点A处的切线方程为11yx xy=，且点1,2D m在切线上，则1112mxy= 同理可得2212mxy=，由此可得直线AB的方程为12ymx=+， 因此直线直线AB恒过定点10,2M （2）设AB中点为()00,P xy 由（1）可得联立方程：2122ymxxy=+=，消去y可得2210 xmx = 由韦达定理可得122xxm+=，121x x = ，因此0 xm= 因此点()2221212212120212442xxx xyyxxym+=+，则21,2P m m+ 当EP斜率不存在时，则0m =，因此10,2D，则AB直线为12y = 此时()1,1A ，()1,1B，此时四边形ADBE的面积为132SABDE= 当EP斜率存在时，22EPmkm=，221EPABkkm= ，因此21m = 由对称性可知当1m = 时，四边形面积相等，因此只计算1m =； 当1m =时，31,2P，11,2D，1282 2xx= 由此可得1212114 222ABEABPSSSEMxxPDxx=+=+= 综上所述：四边形ADBE的面积为3或者4 2 。