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1、2021-2022学年辽宁省沈阳市英才中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量的形状为 ( )A直角三角形 B等腰三角形 C 钝角三角形 D锐角三角形参考答案：C，所以为钝角 答案C2. 如果z=为纯虚数，则实数a等于（）A0B1或1C1D1参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出【解答】解：z=为纯虚数，则=0，0，解得a=1，故选：D3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B C D 参考答案：D略4. .已知
2、复数z满足，其中i是虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】根据复数的除法运算求得，根据模长公式求出结果.【详解】由题意知：本题正确选项：5. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点，则异面直线D1E与A1F所成的角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】连结，、，推导出为平行四边形，从而，异面直线与所成角为与所成锐角，即，由此能求出异面直线与所成的角的余弦值【详解】解：如图，连结，、，由题意知为平行四边形，异面直线与所成角为与所成锐角，即，连结，设，则在中，异面直线与所成的角的余弦值为故选：【点睛】本题考查异面直线所
3、成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.6. 已知集合则下列结论正确的是 ( ) ABCD参考答案：D略7. 函数y=的图象大致是（）ABCD参考答案：A【考点】3O：函数的图象【分析】利用函数的特殊值以及函数的变化趋势，判断选项即可【解答】解：函数y=的分母是恒为正数的增函数，分子是偶函数，值域1，1，可以判断函数的图象随x+，y0，排除B，C，当x时，分母ex+11，分子cosx1，1，函数图象不可能是D，故选：A8. 已知集合，则集合AB=（ ）A.(2,1)B. (0,1)C. (0,+)D. (2,+) 参考答案：D【分析】根
4、据并集的定义求解即可.【详解】故选：D【点睛】本题主要考查了求两个集合的并集，属于基础题.9. 已知角的终边与以坐标原点为圆心，以1为半径的圆交于点P（sin，cos），则角的最小正值为( )ABCD参考答案：D考点：任意角的三角函数的定义 专题：三角函数的求值分析：直接利用三角函数的定义，求解即可解答：解：角的终边与以坐标原点为圆心，以1为半径的圆交于点P（sin，cos），即（，），对应点为（cos，sin）角的最小正值为：故选：D点评：本题考查任意角的三角函数的定义的应用，考查计算能力10. 在区间和分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为A B C D参考答
5、案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且， 则的值是 。参考答案：12. 已知函数对于任意实数x都有，且当时，若实数a满足，则a的取值范围是_参考答案：【分析】先证明函数在0,+ 上单调递增，在上单调递减，再利用函数的图像和性质解不等式|1得解.【详解】由题得，当x0时，因为x0，所以，所以函数在0,+ 上单调递增，因为，所以函数是偶函数，所以函数在上单调递减，因为，所以|1，所以-11，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查对数不等式的解法，意在考查学生对这
6、些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13. 在,且的面积为,则的长为 .参考答案：14. 如图，边长为2的正方形ABCD和正方形ABEF所在的面成60角，M，N分别是线段AC和BF上的点，且AM=FN，则线段MN的长的取值范围是 。参考答案：15. 一人在海面某处测得某山顶的仰角为，在海面上向山顶的方向行进米后，测得山顶的仰角为，则该山的高度为 米（结果化简）参考答案：16. 若集合，则截A的真子集共有（ ）A7个 B8个 C15个 D16个参考答案：C17. 设变量x，y满足 ，则z=2x-y的最大值为_.参考答案：7略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演
7、算步骤18. 已知椭圆：的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）若点是椭圆上的动点，点满足且，求的最小值；（3）设椭圆的上下顶点分别为、，点是椭圆上异于、的任一点，直线 分别于x轴交于点D、E，若直线OT与过点D、E的圆相切，切点为T，试探究线段OT的长是否为定值？若是定值，求出该定值，若不是，请说明理由.参考答案：解：（1）， 椭圆的方程为.（2）由知，点M在以F为圆心，以1为半径的圆上，由知，MP为圆F的切线，M为切点，故|,当|PF|取最小值时，|PM|取最小值，设，则，又，当时，所以.（3）由（1）知椭圆上下顶点坐标分别为,设点（，），则直线 与的方程分别
8、为：， ，令分别得，又得，由切割线定理得：,即线段OT的长为定值且略19. （12分）（2015?雅安模拟）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是0，100，样本数据分组为0，20），20，40），40，60），60，80），80，100（）求直方图中x的值；（）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频
9、率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【专题】概率与统计【分析】（I）由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出x值（II）再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于1小时组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数即可（）求出随机变量X可取得值，利用古典概型概率公式求出随机变量取各值时的概率，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出期望【解答】解：（）由直方图可得：20x+0.02520+0.006520+0.003220=1所以 x=0.0125（）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003220=
10、0.12，因为6000.12=72，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿（）X的可能取值为0，1，2，3，4由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为，所以X的分布列为：X01234P（或）所以X的数学期望为1【点评】本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望等，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，考查了识图的能力20. （本小题满分12分）如图，如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，、分别是、的中点（）求证：平面；（）若与平面所成角为，且，求点到平面的距离参考答案：解：【法一】（I）证明：如图，取的中点，
11、连接由已知得且，又是的中点，则且，是平行四边形， 又平面，平面 平面 （II）设平面的距离为，【法一】：因平面，故为与平面所成角，所以，所以，又因，是的中点所以，作于，因，则，则，因所以 【法二】因平面，故为与平面所成角，所以，所以，又因，是的中点所以，作于，连结，因，则为的中点，故所以平面，所以平面平面，作于，则平面，所以线段的长为平面的距离.又，所以 21. 如图83，已知OFQ的面积为S，且（1）若，求向量与的夹角的取值范围；（2）设，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当取得最小值时，求此椭圆方程参考答案：(1) （2）22. 已知函数y=f(x)=(a,b,cR,a0,b0)是奇函数，当x0时，f(x)有最小值2，其中bN且f(1)0,b0,x0,f(x)=2，当且仅当x=时等号成立，于是2=2,a=b2,由f(1)得即,2b25b+20,解得b2，又bN,b=1,a=1,f(x)=x+.
