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1、2021-2022学年辽宁省大连市第三十高级中学高二数学理上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理（ ）A大前提错误 B小前提错误C结论错误 D正确参考答案：D所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数，大前提：所有9的倍数都是3的倍数，小前提：某奇数是9的倍数，结论：故某奇数是3的倍数，这个推理是正确的.2. 利用数学归纳法证明“1aa2an1=， (a1，nN)”时，在验证n=1成立时，左边应该是 （ ）(
2、A)1 (B)1a (C)1aa2 (D)1aa2a3参考答案：C3. 设原命题为：“若空间两个向量与()共线，则存在实数，使得”则其逆命题、否命题、逆否命题为真的个数( )A1B2 C3 D4参考答案：C考点：四种命题4. 在ABC中，若a2=b2+c2bc，则角A的度数为（）A30B150C60D120参考答案：A【考点】余弦定理【分析】利用余弦定理即可得出【解答】解：a2=b2+c2bc，cosA=，A（0，180）A=30，故选：A5. 设n为自然数，（ ）A B 0 C -1 D 1参考答案：D6. 某产品的销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数：（x0），生产成本y2万元是产量
3、x（千台）的函数：（x0），为使利润最大，应生产（）A9千台B8千台C7千台D6千台参考答案：D【考点】3H：函数的最值及其几何意义【分析】由题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量【解答】解：由题意，利润y=（x0）y=36x6x2，由y=36x6x2=6x（6x）=0，得x=6（x0），当x（0，6）时，y0，当x（6，+）时，y0函数在（0，6）上为增函数，在（6，+）上为减函数则当x=6（千台）时，y有最大值为144（万元）故选：D【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，简单的数学建模思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题7. 等差数列中，（ ）A. 9 B. 1
4、0 C. 11 D. 12参考答案：B8. 如果f(x)=mx2+(m1)x+1在区间上为减函数，则m的取值范围（ ）A （0， B C D （0，）参考答案：C解析：依题意知，若m=0,则成立；若m0，则开口向上，对称轴不小于1，从而取并集解得C。9. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D由增加的长度决定参考答案：A【考点】余弦定理【专题】计算题【分析】先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理
5、判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形【解答】解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大而（a+x）2+（b+x）2（c+x）2=x2+2（a+bc）x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=0，则为锐角，那么它为锐角三角形故选A【点评】考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的能力10. 已知正四棱柱,则异面直线BE与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11
6、. 已知复数满足则复数对应点的轨迹是 ；参考答案：1个圆12. 抛物线的准线方程为 参考答案：13. 若双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列，则该双曲线的离心率是 参考答案：略14. （圆）以点（2，-1）为圆心，以3为半径的圆的标准方程是_ 参考答案：略15. ，动直线过定点，动直线过定点，若直线与相交于点（异于点），则周长的最大值为 参考答案：1616. 设函数，若是函数f(x)是极大值点，则函数f(x)的极小值为_参考答案：【分析】将代入导函数计算得到，在将代入原函数计算函数的极小值.【详解】函数是函数是极大值点则或 当时的极小值为故答案为：【点睛】本题考查了函数的极值问题，属于
7、常考题型.17. 设点P、Q分别是曲线和直线上的动点，则P、Q两点间距离的最小值为 .参考答案：，令，即，令，显然是增函数，且，即方程只有一解，曲线在处的切线方程为，两平行线和间的距离为.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本题满分8分）在平面直角坐标系中,已知一个椭圆的中心在原点，左焦点为,且过.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，点，求线段中点的轨迹方程.参考答案：(1)由已知得椭圆的半长轴,半焦距,则半短轴. (2分)又椭圆的焦点在x轴上, 椭圆的标准方程为 (2分)(2)设线段PA的中点为,点P的坐标是，由，得 (2分)
8、因为点P在椭圆上,得, 线段PA中点M的轨迹方程是. (2分)19. 如图，是边长为的正方形，平面，与平面所成角为（）求证：平面（）求二面角的余弦值（）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论参考答案：见解析（）证明：平面，平面，又是正方形，平面（），两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，与平面所成角为，即，由，可知：，则，设平面的法向量为，则，即，令，则因为平面，所以为平面的法向量，所以因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为（）依题意得，设，则，平面，即，解得：，点的坐标为，此时，点是线段靠近点的三等分点20. （1）设展开式中的各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B
9、，若，求展开式中的x项的系数（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求的展开式中系数最大的项？参考答案：（1）108（2）分析：（1）由可得解得，在的展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求得的值，即可求得展开式中的含的项的系数；（2）由，求得，设二项式中的展开式中第项的系数最大，则由，求得的值，从而求出结果.详解：由题意各项系数和（令；各项二项式的系数和，又由题意：则，所以二项式为，由通向公式得：由，得，所以项的系数为：.(2)解：由，解出，假设项最大，化简得到又，展开式中系数最大的项为，有点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及各项系数和，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高
10、考命题热点之一，求二项展开式各项系数和往往利用利用赋值法：（1）令可求得；（2）令结合（1）可求得与的值.21. 已知函数,曲线在点处的切线方程为 （）求a,b的值；（）求在上的最大值参考答案：解: （）由,得 1分曲线在点处的切线方程为,3分即整理得5分又曲线在点处的切线方程为,故, 7分解得 , , 8分 （）由（）知 9分令,得或10分当变化时,的变化如下表: 增极大值减极小值增的极大值为极小值为13分又 14分在-3,1上的最大值为 15分略22. 给定两个命题：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围参考答案：解：对任意实数都有恒成立；4分关于的方程有实数根；6分如果正确，且不正确，有；8分如果正确，且不正确，有10分所以实数的取值范围为12分
