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1、第 7 讲数学文化1.(2019张家界模拟 )数的概念起源于大约300 万年前的原始社会，如图1 所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示猎物的大小，即“结绳计数”.图 2 所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满7 个即在左边的绳子上打一个结，请根据图2 计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为() A.336 B.510 C.1 326 D.3 603 答案B 解析由题意知，图2 中的 “结绳计数 ”法是七进制计数法，所以图2 中该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为S 173372271670510. 2.(
2、2019北京师范大学附中模拟)习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12 来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论， 主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.如图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入 m8，则输出的S等于 () A.44 B.68 C.100 D.140 答案C 解析第 1 次运行， n1，an2 120，S000，不符合nm，继续运行；第 2 次运行， n 2，an222，S 022，不符合nm，继续运行；第 3 次运行， n 3，an2124， S 426，不符
3、合nm，继续运行；第 4 次运行， n 4，an228，S 8614，不符合 nm，继续运行；第 5 次运行， n 5，an21212，S141226，不符合nm，继续运行；第 6 次运行， n 6，an2218，S261844，不符合n m，继续运行；第 7 次运行， n 7，an21224，S244468，不符合nm，继续运行；第 8 次运行， n 8，an2232，S6832100，符合 nm，退出运行，输出S100. 3.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地支的总称.天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、
4、辛、壬、癸为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支.如：公元 1984 年为农历甲子年、公元 1985 年为农历乙丑年，公元 1986 年为农历丙寅年.则 2049 年为农历 () A.己亥年B.己巳年C.己卯年D.戊辰年答案B 解析方法一2 0491 983 66，66 除以 10 所得余数为6，即对应的天干为“己 ”；66 除以 12 所得的余数为6，即对应的地支为“ 巳”，所以 2 049 年为农历己巳年. 方法二易知 (年份 3)除以 10 所得的余数对应天干，则 2 04932 046,2 046 除以 10 所得的余数是6，即对应的天干为“己”. (年份 3)除
5、以 12 所得的余数对应地支，则2 04932 046，2 046 除以 12 所得的余数是6，即对应的地支为“巳” ，所以 2049 年为农历己巳年. 4.(2019河北辛集中学期中)中国古代数学著作张丘建算经中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里.”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7 天，共走了700 里.”若该匹马按此规律继续行走7 天，则它这14 天内所走的总路程为() A.17532里B.1 050 里C.22 57532里D.2 100 里答案C 解析由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，设该数列为an，则该匹马首日
6、行走的路程为a1， 公比为12，则有a11127112700，则 a1350128127， 则a11121411222 57532(里 ). 5.(2019湖南长沙雅礼中学模拟)我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长 5 尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”，意思是“现有一根金箠，长5 尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1 尺，重 4 斤，在细的一端截下1 尺，重 2 斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金箠截成长度相等的10 段，记第 i 段的重量为ai(i1,2，10)，且 a1a2 2 时，关于x，y，z 的方
7、程 xn yn zn没有正整数解”.经历三百多年， 于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁 怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法正确的是() A.存在至少一组正整数组(x，y，z)使方程 x3y3z3有解B.关于 x，y 的方程 x3y31 有正有理数解C.关于 x，y 的方程 x3y31 没有正有理数解D.当整数 n3 时，关于x， y，z 的方程 xn ynzn没有正实数解答案C 解析由于 B，C 两个命题是对立的，故正确选项是这两个选项中的一个.假设关于 x，y 的方程 x3y31 有正有理数解，故x，y 可写成整数比值的形式，不妨设xmn， yba，其中 m，n为互质的
8、正整数，a，b 为互质的正整数 .代入方程得m3n3b3a31，两边乘以a3n3得()am3()bn3()an3，由于 am，bn，an 都是正整数，这与费马大定理矛盾，故假设不成立，所以关于x，y 的方程 x3 y3 1 没有正有理数解. 12.(2019晋中调研 )艾萨克 牛顿 (1643 年 1 月 4 日1727 年 3 月 31 日)，英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)零点时给出一个数列xn：满足 xn1xnf xnf xn，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数f(x)ax2bxc(a0)有两个零点1,2，数列 xn
9、为牛顿数列， 设 anln xn2xn1，已知 a11，xn2，an的前 n 项和为 Sn，则 S2 0181 等于 () A.2 018 B.2 019 C.22 018D.22 019答案C 解析 函数 f(x)ax2 bxc(a0)有两个零点1,2，f(x)a(x1)(x2) a(x2 3x2)(a0)，f (x)2ax3a，则由题意得，xn1xna x2n3xn 22axn3axnx2n3xn22xn3x2n22xn3，xn12xn11x2n22xn 32x2n22xn31x2n4xn 4x2n2xn 1xn2xn12， an ln xn2xn1，且 a11，xn2，an1ln xn1
10、2xn112ln xn2xn12an，数列 an 是以 1 为首项，以2 为公比的等比数列，则 an 2n1，S2 018 1122 01812122 018. 13.(2019合肥模拟 )部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915 年提出 .具体操作是取一个实心正三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3 个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图. 若在上述图 (3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为_. 答案916解析设图 (3)中最小阴影三角形的面积为S，由图可知图(3
11、)中最大三角形的面积为16S，图(3)中，阴影部分的面积为9S，根据几何概型概率计算公式可得，在图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为916. 14.(2019西安期中)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10，第 n 个三角形数为n n1212n212n.记第 n 个 k 边形数为N(n，k)(k 3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数N(n,3)12n212n；正方形数N(n,4)n2；五边形数N(n,5)32n212n；六边形数N(n,6)2n2n；，可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24) _. 答案1
12、 000 解析易知 n2前的系数为12(k 2)，而 n 前的系数为12(4k). 则 N(n，k)12(k2)n212(4k)n，故 N(10,24)12(242)10212 (424)101 000. 15.数书九章三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法.以 S，a，b，c 分别表示三角形的面积、大斜、中 斜 、 小 斜 ； ha， hb， hc分 别 为 对 应 的 大 斜 、 中 斜 、 小 斜 上 的 高 ； 则S14a2c2a2 c2 b22212aha12bhb12chc.若在 ABC 中， ha3，hb2，hc3，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为_. 答案1443143解析根据题意，可知a bc2 332，故设 a23x，b3x，c 2x，x0，由 S14a2c2a2c2b22212aha12bhb12chc代入 a，b，c，可得 x12143，由余弦定理可得cos A112，所以 sin A14312，所以由正弦定理得三角形外接圆半径为a2sin A23x2sin A1443143.
