第3讲 空间向量与立体几何自主学习 回归教材1. (选修2-1 P85例1)已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE.求证:MN∥平面CDE.2. (选修2-1 P104例5)已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CD的中点,求证:D1F⊥平面ADE.3. (选修2-1 P109例3改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中,求二面角A1BDC1的平面角的余弦值.要点导学 各个击破结合空间向量判断或证明线面位置关系例1 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,(1) 求证:AC⊥BC1;(2) 在AB上是否存在点D,使得AC1⊥CD (例1)练习 (2013盐城二模)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为4,点D为CC1的中点,求证:AB1⊥平面A1BD. (练习)结合空间向量求角度或三角函数值例2 (2013江苏卷)如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.(1) 求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2) 求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的平面角的正弦值. (例2)练习 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=,AB=AC=AA1=1,延长A1C1 至点P,使C1P=A1C1,连接AP交棱CC1于点D.求:(1) 直线PB1与A1B所成角的余弦值;(2) 二面角AA1DB的平面角的正弦值. (练习)例3 (2013扬州检测)在四棱锥PABCD中,侧面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=,AB=AD=PD=1,CD=2.设Q为侧棱PC上一点,=λ,试确定λ的值,使得二面角QBDP的平面角为45. (例3)练习 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.(1) 设=λ,异面直线AC1与CD所成角的余弦值为,求λ的值;(2) 若点D是AB的中点,求二面角DCB1B的平面角的余弦值. (练习)结合空间向量求长度或距离例4 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1) 求BF的长;(2) 求点C到平面AEC1F的距离. (例4)练习 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,点F为PC的中点,AF⊥PB,求PA的长. (练习)1. 已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,在棱DD1上是否存在点P,使得B1D⊥平面PAC?2. 如图,已知三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=3,点D是BC的中点.(1) 求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;(2) 求二面角B1A1DC1的平面角的正弦值. (第2题)3. 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1) 求证:AA1⊥平面ABC;(2) 求二面角A1BC1B1的平面角的余弦值;(3) 求证:段BC1存在点D,使得AD⊥A1B;并求的值.(第3题)第3讲 空间向量与立体几何【自主学习 回归教材】1. 证明略 2. 证明略 3. 【要点导学 各个击破】[分类解析]例1 (1) 证明略 (2) 存在点D练习 证明略例2 (1) (2) 练习 (1) (2) 例3 λ=-1练习 (1) λ= (2) 例4 (1) BF的长为2 (2) d=练习 2[课堂评价]1. 存在 2. (1) (2) 3. (1) 证明略 (2) (3) 8。