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1、湖北省武汉市培英中学2020-2021学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. i为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为（ ）A第二象限B第一象限C第四象限D第三象限参考答案：C2. 已知点，P为曲线上任意一点，则的取值范围为（ ）A. 1,7B. 1,7C. D. 参考答案：A【分析】结合已知曲线方程，引入参数方程，然后结合和角正弦公式及正弦函数的性质即可求解【详解】解：设则由可得，令，【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数性质的简单应用，参数方程的应用是求解本题的关键.
2、3. 已知四棱锥SABCD，SA平面ABCD，ABBC，BCDDAB，SA2，二面角SBCA的大小为若四面体SACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A B4 C8 D16参考答案：C4. 若则的值是( )A. B. C. D. 参考答案：C5. 6张卡片上分别写有数字1，1，2，3，4，5，从中取4张排成一排，可以组成不同的4位奇数的个数为（ ）A180 B126 C93 D60参考答案：B略6. 已知关于x的方程有2个不相等的实数根，则k的取值范围是( ).A. B. C. D. 参考答案：D【分析】分离参数得有2个不相等的实数根，利用导数分析即得k的取值范围.【详解】分离参数得,
3、设，所以函数的减区间为（），增区间为，所以函数f(x)的最小值为.因为有2个不相等的实数根，所以.故选：D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平分析推理能力.7. 执行如图所示的程序框图，若输入的t=0.001，则输出的n=（ ）A6 B5 C4 D3参考答案：C第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，不成立，此时结束循环，所以输出的的值为，故选C.8. 设集合= （ ） A B C D参考答案：A略9. “”是“”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件 参考答案：B10. 已知双曲线x2+=1的焦点
4、到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=2xDy=x参考答案：C【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论【解答】解x2+=1表示双曲线，b24，方程x2+=1可化为，取一个焦点坐标为（，0），渐近线方程为：y=焦点到渐近线的距离为2，=2，解得=2双曲线的渐近线方程为y=2x，故选：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知变量x、y满足条件，若目标函数(其中)仅在(4，2)处取得最大值，则的取值范围是 。参考答案：不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数可化为()， 显然
5、当，即时，目标函数仅在(4，2)处取得最大值。12. 根据右图所示的程序框图，输出结果 参考答案：813. 定义在R上的函数f(x)满足：偶函数；对任意的x1，x2，都有请写出这样的一个函数f(x)_参考答案：答案不唯一，如y=ax2b(a0)14. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于参考答案：答案：解析：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25， 每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条
6、直角边长分别为a, b，则， 两条直角边的长分别为3，4，直角三角形中较小的锐角为，cos=，cos2=2cos21=。15. 我校在科艺节时进行高一数学竞赛，将考生的成绩分成90分以下、90120分、120150分三种情况进行统计，发现三个成绩段的人数之比依次531，现用分层抽样的方法抽出一个容量为m的样本，其中分数在90120分的人数是45，则此样本的容量m_参考答案：135略16. 二项式的展开式中含的项的系数是_（用数字作答）参考答案： 17. 已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤1
7、8. 已知函数（1）当a=1时，求函数在点（1，）处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）x有两个极值点x1，x2，求a的取值范围（3）在（2）的条件下，求证： +2参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而确定a的范围即可；（3）要证，即证，令，即证，设，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）a=1时，f（x）=xlnxx2，则f（x）=lnx+1x，则f（1）=0，故切线方程是：y+=0（x1），即y=；（2）函数g（
8、x）=f（x）x有两个相异的极值点x1，x2，即g（x）=lnxax=0有两个不同的实数根，当a0时，g（x）单调递增，g（x）=0不可能有两个不同的实根；当a0时，设h（x）=lnxax，当时，h（x）0，h（x）单调递增；当时，h（x）0，h（x）单调递减；，（3）不妨设x2x10，lnx2ax2=0，lnx1ax1=0，lnx2lnx1=a（x2x1），要证，即证，即证，令，即证，设，则，函数（t）在（1，+）单调递减，（t）（1）=0，19. 已知函数的图象与x轴相切（）求证：；（）若，求证：参考答案：解：（），设的图象与轴相切于点，则即解得,所以,等价于设，则，当时，单调递增；当时，
9、单调递减，所以，即，（*）所以（）设，由，得由（*）式可得，当时，即；以代换可得，有，即所以当时，有当时，单调递增；当时，单调递减，又因为，所以，即20. （本小题满分13分）已知数列中，其前项和为，且当时，（）求证：数列是等比数列；（）求数列的通项公式；（）令，记数列的前项和为，证明对于任意的正整数，都有成立参考答案：（）证明：当时，, 所以 又由，可推知对一切正整数均有， 数列是等比数列 4分（）解：由（）知等比数列的首项为1，公比为4， 当时，又， 分 （）证明：当时，此时 ， 又， 分 ， 当时， 12分又因为对任意的正整数都有所以单调递增，即，所以对于任意的正整数，都有成立 1分略2
10、1. 如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABCBAD，PAAD2，ABBC1，点M、E分别是PA、PD的中点(1)求证：CE/平面BMD(2)点Q为线段BP中点，求直线PA与平面CEQ所成角的余弦值.参考答案：22. 已知函数(I)a0时，求函数f(x)的单凋区间(II)设函数。若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范闱参考答案：（）函数的定义域为， 1分 2分， ,，（）若，由，即，得或； 3分由，即，得 4分所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为5分（）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增 7分（）因为存在一个使得，则，等价于. 9分令，等价于“当 时，”. 10分对求导，得. 11分因为当时，所以在上单调递增. 12分所以，因此. 13分略15 / 15
