《2020年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练及答案(共22页)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练及答案(共22页)（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上2020年高考理科数学圆锥曲线题型归纳与训练【题型归纳】题型一 求曲线的方程例1已知，点满足，记点的轨迹为求轨迹的方程【答案】【解析】由可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，由，故轨迹的方程为.【易错点】（1）对于双曲线的定义理解片面；（2）如果动点满足，则点的轨迹是双曲线。但该题已知条件中给出的是“”只能表示点的轨迹是双曲线的右支，而不是双曲线的全部。【思维点拨】利用双曲线解题时，一定要观察是双曲线的全部还是部分。题型二 定值、定点问题例2已知椭圆C：1过A(2,0)，B(0,1)两点(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与
2、y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值【答案】(1)y21，e(2)2.【解析】(1)由题意得所以椭圆C的方程为y21.又c，所以离心率e.(2)证明：设P(x0，y0)(x00，y00)，则x4y4.又A(2,0)，B(0,1)，所以直线PA的方程为y(x2).令x0，得yM，从而|BM|1yM1.直线PB的方程为yx1.令y0，得xN，从而|AN|2xN2.所以四边形ABNM的面积S|AN|BM|从而四边形ABNM的面积为定值.【易错点】(1)想不到设出P(x0，y0)后，利用点斜式写出直线PA，PB的方程不会由直线PA，PB的方程求解|BM|，|AN|；(
3、2)不知道四边形的面积可用S| AN|BM|表示；(3)四边形ABNM的面积用x0，y0表示后，不会变形、化简，用整体消参来求值【思维点拨】第(1)问由a2，b1，c，解第一问；第(2)问画草图可知ANBM，四边形ABNM的面积为|AN|BM|，设点P(x0，y0)，得出PA，PB的方程，进而得出M，N的坐标，得出|AN|，|BM|，只需证明|AN|BM|是一个与点P的坐标无关的量即可例3已知椭圆C：1(ab0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过
4、定点【答案】(1)y21(2)(2，1)【解析】(1)因为P3，P4，所以P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点又由知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上.故椭圆C的方程为y21.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.由题设知t0，且|t|0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点(2，1). 【易错点】(1)观察不出P3，P4对称，忽视对称性导致判断失误;(2)不会用点的坐标代入方
5、程判断P1，P2是否在椭圆上而滞做;(3)联立直线l与椭圆C的方程，计算化简失误而滞做;(4)利用k1k21运算变形不明确变形目标，导致化简不出k，m的关系【思维点拨】第(1)问利用椭圆的性质，易排除点P1(1,1)不在椭圆上，从而求椭圆方程；第(2)问分类讨论斜率是否存在，若存在，设l：ykxm，利用条件建立k，m的等量关系，消参后再表示出直线l的方程可证明题型三最值（范围）问题例4已知椭圆C：y21(a0)，F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交
6、于点P，点P横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围【答案】(1)y21(2)【解析】(1)因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，所以bc1，a，所以椭圆C的方程为y21(2)根据题意，直线A，B的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为yk(x1)，与y21联立，消去y并整理得(12k2)x24k2x2k220，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则x1x2，x1x2，y1y2k(x11)k(x21)k(x1x22)，即M.则直线AB的垂直平分线为y，令y0，得xP，因为xP，即0，所以0k2，.1，|AB|【易错点】运算错误，由于运算方法、运算技巧
7、以及自身运算能力差，都是出错原因。【思维点拨】与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法：（1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解（2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解（3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域题型四存在性问题例5.如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)1(2)3，理由见解析【解析】(1)由已知，点C，D的
8、坐标分别为(0，b)，(0，b)又点P的坐标为(0,1)，且1，于是解得a2，b.所以椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2.从而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，当1时，23.此时，3为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.此时，2.当1时，3，为定值综上，存在常数1，使得为定值3.【思维点拨】解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能
9、求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在。例6已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F2(2,0)，点P在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|F1N|(F1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由【答案】(1)1(2)不存在满足条件的直线l【解析】(1)法一：椭圆C的右焦点为F2(2,0)，c2，椭圆C的左焦点为F1(2,0)由椭圆的定义可得2a 2，解得a，b2a2c2642.椭圆C的标准方程为1.法二：椭圆C的右焦点为F2(2,0)，c2，故a2b24，又点P在椭圆C上，则1，故1，化简得3
10、b44b2200，得b22，a26.椭圆C的标准方程为1.(2)假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为yxt，由得x23(xt)260，即4x26tx(3t26)0，(6t)244(3t26)9612t20，解得2t2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，由于|F1M|F1N|，设线段MN的中点为E，则F1EMN，故kF1E1，又F1(2,0)，E，即E，kF1E1，解得t4.当t4时，不满足2tb0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘
11、积为定值【答案】(1)1(2)略【解析】(1)由题意有，1，解得a28，b24.所以C的方程为1(2)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280故xM，yMkxMb于是直线OM的斜率kOM，即kOMk.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值2.已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y1相切(1)求圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(0，2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点. 【答案】(1)x24y(2)略【解析】(1)由题意，得点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y1的距离，由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y1为准线的抛物线，则1，p2.
