《2019年全国硕士研究生考试数学（一）真题（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年全国硕士研究生考试数学（一）真题（含解析）（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 13 页2019年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 13 页2019年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 13 页2019年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 13 页2019年数学(一)真题解析一、选择题(1)【 【答案答案】(C).【 【解解】方法一. x 一 tan x . 1 一 sec2jc由忸二= !吧t得tan x -x3 9 故工-tan x为3阶无穷小9即k = 3：应选(C).方法二由 tan x = jc + 工3 +。（工3）得 x 一 tan x x3 （乂 *0）,0 O
2、故b =3，应选(C).(2) 【 【答案答案】(B).【 【解解】 】 由 lim 了-= lim | x | = 0 得 f_ (0) = 0,工一 0 o_由 lim 巴- = lim In x = 00 得 f ； ； (0)不存在，L o+ H 0 o+故広=0为/(jc )的不可导点；当工 V 0 时,f(x) 0=/(0),当 0 2, 又因为三个平面没有公共的交点，所以r(A) r(A), 再由 r (A ) 3 得 r (A ) =2,r(A ) = 3,应选(A).(7)【 【答案答案】(C).【 【解解】 】 由减法公式得 P(AB) =P(A) -P(AB), P(BA
3、) = P (B) P (AE), 则 P(A) =P(B)的充分必要条件是 P(A) -F(AB) =P(B) -P(AB), 即 P(AB) =P(BA),应选(C).(8)【 【答案答案】(A).【 【解解】 】 因为XN(，/),YN(2)且X,Y相互独立,X 一 y 所以 X Y N(0,22),或-N(0,l),屁即P X-Y 2 + 2) = ln(3er ),从而+ 2 = 3eJ ,故夕=一 2 .方法二 令亍=u,则原方程化为半一 “=2,Ax解得 u = (卜“ djr +c)卜=(-2亍 + C)eJ即夕即夕2 =(_2乂 乂 +C)eJ =Ce -2,由 y(0) =
4、 1 得 C = 3,故夕=y/3ed 2 .2019年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 6 页，共 13 页（11） L答案答案】cos4 【 【解解】S（z）=工 工”=o ）！3?（12） 【 【答案答案】 】 y.(一(一1)2淙护（门=2:JJ djc dy = jj I y I dz dy , 令 Dxy = (2 ,夕)I 工2 + 夕2 W 4，贝Ijj4 j?2 4z2 Ax dy =JJ | 3/ | djr dj/ = jj y dx dy2 %【 【解解】 】a/4 jc2 4z2 djc dy =d0 I r2sin 0d厂=4J o . 2L2 sin Oddo（
5、13）【 【答案答案】X=k【 【解解】 】 因为ct i 2线性无关9且S = a + 2a2,所以r （A ） = 2, 于是方程组AX =0的基础解系含一个线性无关的解向量， 由 a 3 =: a 1 + 2a 2 得 a i 2a 2 + a 3 0 ?-2 |为AX=0的一个非零解，故AX=0的通解为X =引一2 （k为任意常数）.2（14）【 【答案答案】| |【 【解解】E（X） =2JC0 x 4cLr =2 3FQ)=/(z )dz 9当工 VO 时,F (j?) = 0 ；当 0 H 时，F(z)=J 0当心 2时，FQ） =1,即2 _ * _T即x401 10 3F&)
6、 =20,X 2T1,攵 E(X) - 1 = ”F(X) 吕=1 - P(X) *2=1 -P=1卩J 02X 3C G.X = 1-2 4 73= T-2 后032019年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 7 页，共 13 页三三、 、解答题解答题(15) 【 【解解】(I)j/十工夕=6 2的通解为夕=(e 2 e山 dr + C) e dz = (z 十 C)e 2 ,2 由 y(0) = 0 得 C = 0,故 y=_ze 2 .工2 工2 工2(U ) / = (1 z2 )e 2 q = (z3 )e 2 =xx +73)(： /3)e 2 , 令夕 =0 得工=罷，工 =0,
7、无 =3 9当工& (-oo, -V3)时，/0；当工 e (0,73)时7+5 +e* =lim1 + 2空 + en+1)Ttl2 =0 2 ” y l & = 十+2e1 - e= 1(1 +21丿=*+丄2019年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 8 页，共 13 页，xn+1 a/1 x2 W 云丿1 一 x2(18) ( I )【证明明】 】 因为当0 工冬1时二攵a/1 2 dr ,即 a”+i V a”，故a”单调递减.J osinlt cos2dz =0所以卄1x = sin t2 (sin7 一 sin?+2Z)dzo2 sintdt on:sind/F”一庄/”1刃+
8、2Xan-2=FsinS cosck = J 02 (sinL sin)ckoA p-.2 sirT3df sinnzdz = In-2 o J 0n 一 1因为I”n-2 9 所以 I n-2于是an2(n) )【 【解解】 】 因为仏单调递减，所以sYl 1=丄-2( =2,3,). 72十2n 一 1 n 1a”_2 IZZ + Z 7Z 十/nnn 一 1 J” ,故 an 1n-1，从而有72厂 上- 1,由夹逼定理得lim 丄 = 1.72 十 2 an_x ”(19)【 【解解】 】 设Q的形心坐标为(7 JJ),dydz由对称性得x = 0 9且；y =务-jjj n dj?
9、dy dz一 a，nIjj d:r dy dz =Q0|Jj dj? dy dz adj? dy = tv+ (jzz)2(lz)?jjj dj? dy dza(1 一 z)2 dz =善(之 一 1 )3 o 31 7T o =Ty dr切2+ (jz-)2(l-z)2. y 一 z = uydx dy -+ (yz)2(lz)2IJJ y dr dydz a由2dzo(况 + n )clz du2+2(l-z)2IJJ y djr dydz = tt q= | N djr du = TCZ ( 1 一 N ) 2 得j-2-u20 1 00 0 10-101j.丄1-21丄丄1，则1111
10、003311001I0001(tt 2,0)0100100101001101-11200丄2010丄丄220丄131001221-110得0丄 1Q =1_1 710-111121013233j.210=tr B ,即x3、1(21)【 【解解】(I)因为A B,所以trA再由 | A I = I B I 得 一2(2工 + 4) = 2夕，即 y = 2工 + 4,005,121j_ 4= j/ + 1,或;y=2,解得工=3,夕=2.(2-2 1 (2 10 （n）a =23 2 ,B =0 1 00 - 20 0-2显然矩阵A ,B的特征值为入1 =- 2 9入 2 = 一一 1 9入
11、310丄丄 11-21由 2E +A得A的属于特征值心=2的特征向量为2001000000=/-I2 42019年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 10 页，共 13 页-2/I 2 -*(1 2 O由 E +A -* 0 0 1A0 0 1o 0 o /o o d得A的属于特征值入2 = 1的特征向量为由 2E-A_21得A的属于特征值入3 =2的特征向量为-1-1-2_2令Pi =2 ，则 PjAPia 2 =a 310200100010020214-1丄00010000-100200由 2E+B =0/4 1 F 0 0、/0 1 0 0 1 0得B的属于特征值入i = 2的特征向量为
12、=0o 0 qo 0 oU3110丄0由 E +B = 00001得B的属于特征值入2 = 1的特征向量为00-10002 =1 0/1由 2E-B =03 A001 |得B的属于特征值入2 =2的特征向量为03 =()04/o0V由 PjAPi =PBP2 得(P1P)TA(PPJ) =B,/-11、厂20令 p2 = 030 ,则 pbp2 =01 0100，002-11-1故 P =P1P712120042019年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 11 页，共 13 页(1 一 e r , z 2 0,(22)【 【解解】(I )因为XE(l),所以X的分布函数为FQ)=0, 久 V
13、0.Fz(z) = PXY0= PY= -1PXYZ | y= -1+Fy= 1PXYZ | Y= 1 = pP- X z + Cl- p)PX z =pPX z + (1 )PXz = ：l-PX)PX 口一 F(z) +(l p)F(z), 当 z VO 时,Fz(z) = pe 当 z 2 0 时,Fz(z) = p + (1 )(1 亍)，0 e , z V 0,故 /z(w)=KI - p)ez , z 0.(II )Cov(X,Z) =Cov(X,XY) =E(XY) E(X) E(XY)= E(X2)E(Y) E(X)2E(Y) =D(X) E(Y),因为 X E(l),所以 E
14、(X) =1,D(X) =1,又因为 Y 1 1 )，所以 E(Y) =(l)p + (1 p) =1 2p, p pX与Z不相关的充分必要条件是Cov(X,Z) =0,故当时X与Z不相关.(皿)设F(x,y)为(X,Z)的联合分布函数， F(l,l)=PXl,ZCl=PXCl,XyCl= py= -ipxi,xyi |y= 1+ py= iPxi,xyi |y= 1=yPX l,-Xl+yPXl=yP-lXl+yPXl = PX 1 =F(1) =1 丄，Fx(l) =PX 1 =1一一一一, ,efz(d =pxyi= py= -iPxvi | y= i + py= ipxyi | y=
15、u = X w 1 +*PX w 1 = *PX 1 +*PX w 1T-彩因为F（l,l） H Fx（l） Fz（l）,所以X与Z不相互独立.（23）【 【解解】（I ）由归一性得A e a丄（口/ e 2a/27T2 dj?y_ f+oo 1 上A。”也 J=至2019年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 12 页，共 13 页解得A =（n）L（72）A7亡1?厂”eIn L (cr2 ) = 77 In A 一 -ln o2由-ln L (cr2 )= d( (y/的最大似然估计值为即=丄（, 一）？，n , = 1故川的最大似然估计量为7 =lj（X, ）2.2019年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 13 页，共 13 页
