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1、2008年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 12 页2008年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 12 页2008年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 12 页2008年数学（一）真题解析一一、 、选择题选择题（1） 【 【答案答案】（E）.【 【解解】 】 由广（工）=2_zln（2+/）= o,得工=0,即十（工）只有一个零点，应选（E）.（2） 【 【答案答案】（A）.3f _ _ 1丄I 2=1空【 【解解】 】1夕 J 1于+尹行_21十 2 y由等(0,1)(0,1)=0,则f（x ,y）在（0,1）处的梯度为i,应选（A）.XyX2丄 2（3
2、）【 【答案答案】（D）.【解解】 】 由微分方程的通解为y =Ge* +C2cos 2x +C3sin 2工，得三阶常系数齐次线性微分方程的特征根为入i = 1， ，入2,3 = 2i,特征方程为（入-1）（A2 +4） = 0,即入3 F +4入一4=0, 故所求微分方程为歹 一 / + 4夕一 4=0,应选（D）.（4）【 【答案答案】（E）.【 【解解】方法一极限存在定理因为yCz）单调，所以当&”单调时，产（工”）单调；又因为于（工）有界，所以/（）单调有界，由极限存在定理得/&”）收敛，应选（E）.方法二 反例法f 1,攵 0,/ 一 1 ” = 3 5 /（o-）= 显然）发散，
3、（A）不对；11, n =2,4,6,*,2 2取 /（J?）=- - -，工” =,_/（工”）=-,-2，显然/（：）收敛，但工”发散，（C）不对;1 +工 1十/?取/（jr ） = arctan x ,x n =，显然） 单调增加，但z ”发散,（D）不对，应选（B）.（5）【 【答案答案】（C）.【 【解解】方法一逆矩阵的定义由 a3 = O,得 E=E-A3=（E-A）（E+A + 人2）.由可逆矩阵的定义得E-A可逆且（E -A）1 =E+A +A2； ；再由 E +A3 =（E + A）（E - A + A2）得 E + A 可逆且（E +A） =E -A +A2,应选（C）.
4、方法二 定义法求特征值令AX =AX（X H 0）,则A3X =/X,由A? = O得入収=0,从而A的特征值为入】=& = 入 3 = 0，于是 E A 与 E+A 的特征值为 1,1,1,由 |_E A |=| E A. 1 工 0 得 E A2008年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 12 页与E+A都可逆，应选(C).(6) 【 【答案答案】(E).(2 2空一儿=空一儿=1【 【解解】 】 题目图中的曲面是由L： ：U2 b2 绕工轴旋转一周而成的曲面，z =02 2 2曲面方程为工：3 忤一寻忤一寻=1，则A的正特征值个数为1个，应选(E).a b h(f (无(无
5、y ) = 0方法点评方法点评：(i)平面曲线l： 绕工轴旋转所得的旋转曲面为= 0：/(j: , + Vy2 z2 )=0；平面曲线L绕y轴旋转所得的旋转曲面为Sy :/(+ Jx2 + z2 ,y) =0.(2)二次型的标准形不唯一，但二次型的正、负惯性指数是唯一的，即二次型标准化后正、负惯性指数不变.(7) 【 【答案答案】(A).【 【解解】 】 由分布函数的定义得FzQ) = PZ 工工 = = Pmax(X,Y) WW工工 , ,由 X,Y 独立同分布，得 Fz(T)-PXj：,Y=PXxPy=F2(),应选(A).方法点评：设(X,Y)为二维随机变量，Z=(X,Y)为(X,y)的
6、函数.求Z的分布时，一般采用定义法，即Fz(z) =PZ Q =P(X,Y)如下两种常见的随机变量的函数的分布需要熟练掌握： Z=maxX,YF z (z) = P Z z P maxX ,Y z=PX若 X,Y 相互独立，则 Fz(z)=PXz,yz=PXzPy z 1- PX z,Y z,若X,Y相互独立，则Fz(z)=l-PXzPYz=l l-PXz l PYWz=1 一一 1 Fx(z)1 -Fy(z)l(8) 【 【答案答案】(D).【 【解解】 】 因为p xy =1的充分必要条件是PY=aX +b =1C其中a 0),排除(A),(C);由 E(X) =0,E(Y) =1,得 E
7、(2X + 1) =1 =E(Y),应选(D).方法点评：(l)Qxy = 1的充分必要条件是PY=aX + 6 =l(a 0)；(2)(o xy = 1 的充分必要条件是 PY aX + b = l(a V 0).2008年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 12 页二二、 、填空题填空题（9）【 【答案答案】丄.丄.X【 【解解】 】 方法一 由工夕+夕=0,得半 +丄y=0,解得y Ce =.djr x x由夕（1）=1,得C = l,于是；y =丄.x方法二 由xy + 3/ =0 ,得（巧）=0,即攵夕=（3. 再由夕（1） =1,得C=l,故所求的特解为夕=丄.X（10
8、）【 【答案答案】y =H + 1.【 【解解】 】 方法一 sindy） + ln（j/ x） = x两边对工求导数.得cos(jcj/)越丿y 将x 0,y 1代入得字 =1.dr x=o故曲线sin(巧)+ ln(j/ J?) = X在点(0,1)处的切线方程为夕一1=工一Ch即:y =力+1方法二 令 F(jC9j/)= sin(Hj/) + ln(jy 无)一 2，1 / 3； cos xy-1ay _ 戶工 _夕工d7= _兀= I-x cos xy H-y 切线的斜率为怡= = 1?dr (0,1)故切线方程为夕一1=久，即）=工十1.(11) 答案答案】(1,51【 【解解】
9、】 由5”（工+2）在工=0处收敛得的收敛半径R羽0 + 2 | = 2且 n=0 n=0”2收敛；n = 000 8由工Q”（Z + 2）在工=4处发散得工5工的收敛半径R W|4 + 2 | = 2且n = 0 n = 0”（一2）发散，n = Q即幕级数工a”的收敛半径为R =2,收敛域为（一2,2,“ =0故（2 3）的收敛域为一2Vh 32,即（195.n = 0（12）【 【答案答案】4兀.【 【解解】方法一高斯公式法方法一高斯公式法补充 SQ:z = 0（jc2 + y2 W 4） ,S0 取下侧2008年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 6 页，共 12 页贝 贝IId;y
10、dz + + 工 工 c!n dr + j? 2dj? dj/2xyAydz + jr dz dj + + 工工? ? dr djy Jjjrj/dj/dz + j? dzdj： + j? 2 djr , 打仙打仙=0, n=甘# jjydydz + jc ddjr - x2 dx dy oJJ xydy dz + zr dzdjr + j? 2 djr dj = %11 jr2 djr dj/_丄_2D- jjx2 djr dy D-J(2 +_/)clzdy = *2nd6 I r3 dr = 4兀 兀 9 J o而工+50故原式=4兀.方法二方法二 二重积分法二重积分法令：z =/4 y
11、2 z2 (y2 + 的奇偶性质得z20),取前侧，由对坐标的曲面积分及二重积分y J y2 z2 Aydz = 0 , j2+z24H_zjydyclz = 2jj xydydz = 22 為jj x dz dj： = 0,2n de0J *=* J异+/4 J2+y20sin jc 一 sin(sin x )sin x lim-;-sin x = t(/ sin t)t lim.4 arcsin t(f 一 sin t)t . t 一 sin t=lim-= lim0limZ-01 cos t3?由 sin xsin(sin ) = sin jcx 一 sin(sin jc )1 .Tsi
12、nJCsin xsinCsin x )sin x1 . sin=lim-6o JCsin3 工3!+ o (sin3 ) 9X 4X 33x31333八八6f 014/f 036X43工_ - -o (工3 )得16x16方法点评：计算不定型#型的极限需要熟练掌握等价无穷小、麦克劳林公式、洛必达法则 等工具型的极限需要补充如下两点：(1 )工，sin x ,tan x ,arcsin x ,arctan x五个函数中任意两个函数之差为三阶无穷小.【例】求limx-*0arctan x arcsin x【解解】 】. arctan x arcsin x . arctan x jc . v lim
13、-；-= lim-F limx arcsin xx-*0T-*-0而limx-*0arctan x jc = tan r t tan t limo tan31I. t tan t =limlimi-*01 sec21. x arcsin x 工=sm r lim-；-limsin t tsin3i sin l lim-Z-*0=limcos t 10,arctan x arcsin x 故hmJ7-*0JC 3(2)加减法使用等价无穷小时一定要保证精确度，否则会出现错误结果.如lim Cretan于_ rcsin壬今若分子使用arctan jc无,arcsin工工将导致错误结果，因为JT-*O
14、分母为三阶无穷小，分子等价无穷小的精确度不够.(16)【 【解解】方法一方法一设点 A(K ,0) (jc ,y) = sin 2工，9y) =2(j： ：2 l)y 9 则sin 2j?dz +2(jc2l)ydy = _sin +2(无$ + _sin 2jrdz +2(jc2 ,L4-ao OAX 3X 3T3Z3X 3L 03X 33厂厂3八1311XXX -22008年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 8 页，共 12 页由格林公式得0 _sin 2x dz + 2(jc 2 1 = 4j?j/djr dy = 4 x djrL+ AO JJ Jo JoD=2J x sin2jr
15、dx = 2 ydyosin2 j? djr0=7Tsin2 jc dr = 2ko 2Lsin2j? dzo= -2.I2=-2k.|.|2 7T T卞. 1sin 2x dj? = cos 2oc o 22 故 I sin 2x dj? + 2(jc 2 1 = J L 2_sin 2j? dx + 2(j? 2 1)ydy = OA=0,0方法二sinin 2x dx + 2(jc 2 Dj/d.y = sin 2jc + 2(jr2 1 )sin x cos x J 0 x2 sin 2jc djr =0jc2d(sin2jt:)o=x2 sin2 j? | o 2x sin2 jc
16、djr=2煜sin2 j? djr =兀o .sin2 j? djr0=2 kdr = 2兀士27t7N兀 2sin x07C2(17) 解解】 】 设Px,y,z)为曲线C上任意一点，P到工0夕平面的距离为令 F (j： ： ,y ,z) = z2 + A (j; 2 + y2 2z2) +(工 + y + 3z 5),F： ： 2Ax + = 0,F； =2 心 + =0,由v F： = 2z 4入z + 3 = 0,得.F； ； =jc2 y2 2z2 0,、F； =z +，+3n 5=0,故曲线C到工Oy平面距离最近和最远的点分别为(1,1,1)和(-5, -5,5).fx+zlr 工 rf (t) di =0 J 0 J工=1, y=l,或 z =1jr = 一 5 9y =_5, z = 5.(18)【 【证明证明】(I )/XF(z) =F(乂 +Zkz)F(h) =f (t)d 9因为/（工）连续，所以由积分中值定理j-H-Zkrf （t）dt = _/（） Ajc，其中位于工与工+ z之间，FQ)=F(n )从而一;-=于(),于是limr0工（H）设/（工 + 2）
