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1、1987年数学(一)真题解析一、填空题(1) 【答案】J： y + z = 0.Z = 1,【解】 直线丿y = l + t,的方向向量为= 0,1,1,直线耳丄=宁=专的方向向量为S2 =、z = 2 十 t1,2,1,所求平面的法向量为 n = 0,1,1 X 1,2,1 = 一 1,1, 一 1,则所求平面方程为7T ：乂 一 y + Z = 0.(2) 【答案】一匕.In Z【解】 由yf = 2X (1 + jcln 2) = 0,得工=丄;In 2当工V 时V 0；当h 时j/ 0,故当无=7Z时，函数y = x2x取得极小值.In Z In Z In 2【答案】 y.【解】 【解
2、】 由In x = (e+ 1) 得岀工=e，曲线y = n x与直线y = (e+ 1)工的交点为(e,l),则所围成的平面图形的面积为A =In xdjr(e -4- 1 )2 e2 3 (e+1= xIn x (e 1) + (e+ 1)- -=.2(4)【答案】一18兀【解】【解】方法一由格林公式得)2xy 2y)dj： + (x2 4无)dy = JJ (2工一4 2x + 2)cLzd;y D=2jdx dy = 18tc.d方法二 令L：z 3COS 1 (起点 t = 0,终点 t = 2tt),则 y = 3sin tC2xy 2y)dx + x2C2n)dj/ = (18s
3、in cos t 6sin Z) ( 3sin Z)dz +J 0(9cos2Z 12cos t) 3cos tdt*2k(54sin2Zcos t + 18sinS + 27cos3Z 36cos2)dz0*2n=18sin2 di 36 | cos21dt0=36J sin2zdz 72 | cos2zdz0=7212 一 144Q = 7212 = -18tt.(5)【答案】(1,1, 1)令 1 a 1 + x2a2【解】+ 工33=a ,11010由1011_ 1011oz o012、f20 1 0 -J o 0 10 011，得_ 11987年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1
4、 页，共 5 页向量a在基底ax ,a2 ,a3下的坐标为(1,1, 1).J / d. J a + x2 徂=lim-；- = H# 3川 3賦 -dt二、【解】【解】由lim。z0 X2 + 孑d一-x3 ,从而b 3石=1,再由 lim - -x-* o bx sin x故 q = 4,6 = 1.【解】【解】（2）【解】【解】3 X1 3 1 兴,_aZ = lim-:- = lim -o J + 严 工-o x sin x 昭Xo 1 cos x2=-=,得 a =4,dv警= ,薯=g (1 +y),故讐薯=g(人 + yfy )(1 + ：y).3 sc由 AB = A+2B 得
5、(A-2E)B=A,解得於=3 2；）一也，1/I0而A-2E =1-10 ,12z101:10由1_ 1001o卜o12:00J2-1得(A-2E)-i2-2-1001111001_ 1110002_ 1_ 112-1_ 1301-1_ 11102-2_ 11u o01_ 111于是B =2-2-111一 111014045-2-3-22-2-23S=1 两边积分得 yf + &yf + (9 + a2)y =无 + C,四、【解】【解】方法一yw + 63/ + ( 9 + a+ 63/z + ( 9 + a2 ) = 0 的特征方程为入 $ +6入 + (9 + a2 ) = 0,解得入
6、 1,2 = 一3 土 ai,则方程 yz + 6Z + (9 + a2 )j/ = 0 的通解为歹=e_3j (C】cos ax + C2sin ax );设 yz + 6jz，+ (9 + a2 )j/ = x + Co 的特解为 y * = Ah + B，代入得6c于(9 + a2)2一 9 +故原方程的通解为6y = e_3j (Ci cos ax + C2 sin ax) - - -r H-二-. 9 + a2 9 + a2 (9 + a2)2方法二特征方程为 A3 +6A2 + (9 + a2)A = 0,解得特征根为 A j = 0, A 2 = 3 + ai, A3 = 3 a
7、i,yw + + (9 + a2 )j/ = 0 的通解为夕=+ e-3j (C2cos ax + C3 sin ax ),T 显然原方程有特解$。（工）=-7 9十a故原方程通解为 y = Cx + e_3x (C2cos ax + C3sin ax) + y. 9 + a1987年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 5 页五、 选择题（1） 【答案】（C）.【解】 【解】 S（-i）nk-L = %（1）” g + （1）“ 丄，n = l X n = l 乳 n = l 因为级数（一1）” 4绝对收敛，级数工（一1）丄条件收敛，所以原级数条件收敛，应选（C）. ”=1 n n
8、= 71（2） 【答案】（D）.【解】【解】I = t P f（tx）dx = f （tJC ）d（Zx ） - =f f （u）du 9J o J 0 J 0显然/与s有关，与t无关，应选（D）（3） 【答案】（E）.【解】 【解】 由极限的保号性可知，存在d 0,当0 VI Z a |5时,/（：）_ 0,（工a）即/（工） /（a）,故z = a为极大值点，应选（B）.（4） 【答案】（C）.【解】 由 AA* = AE 得出 |A | A = AE = An ,1 当工 HO 时，S(z) = /J工” =i由 | A | = a 工 0 得 | A * | = a4，应选（C）.六、
9、 【解】 由lim 血 =，得幕级数的收敛半径为R = 2,00 - i 00 （_ i n-l当工=2时，级数工;（-2）-1 = S -收敛；” =i n2 / ” = i n 1 1当工=2时，级数工2n_1 = 发散，故收敛域为2,2)；n = i / ” = i n令 SQ) = S |訐1，” =i 咒 2当工=0 时，S(0) = *；I-InJCn工=0,故S （无）=T(i-寺)， 2hV2 且 hHO.七、【解】 曲面s的方程为S：3/-l = /+（ Wy W3）,取外侧，令 So :y = 3(j:2 + z2 W 2),取右侧，则 s+s s(8j/ + 1)dj/d
10、z + 2(1 y2)dzdjc 4：yzdx dy 9由 # J7(8j/ + Ddj/dz + 2(1 j/2 )dz dx iyz da: dy s+s。dv =J djycLzdz = 7T(.y l)dj/ = 2兀 9r +z QT1987年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 5 页jj j; (8j/ + l)dydz + 2(1 y2 )dzda: 4：yzdx dy so1611 dz dr = 16 jj 2+z20,g(l) = /(l) 1 VO9由零点定理,g&)在(o,i)内有零点，即存在工e(0,1),使得gQ) = 0,即/(x) = x. g(z)
11、=十(2) 1,因为 ) H I9 所以 g(z) 0 或 g(z) V0,即g(H)在0,1上严格单调，故g(H)在(0,1)内零点唯一，即在(0,1)内有且仅有一个工，使得/(JC )=工dzdx = 32k ,o九、【解】A =111101110、01221012210-1a 3 -2b0_ 1a 3-2b321a_ 1.0_ 1-2a 311110 、0122100 a-106 + 1000a 10 ,当a当a当a工1,61,6=1,方为任意常数时，方程组有唯一解；工一1时，方程组无解；=-1时，方程组有无数个解，将a,6代入后得出，得方程组的通解为j0_ 1_ 1-r01221000
12、0000000 ,X = b、(紅，馬为任意常数).f 1、1、一 r-2+ k2-2+1100、0 ,1 ,、0 十、填空题(1)【答案】【解】 设并次试验中A发生的次数为X,显然XE(n,p), 则 PX 1 = 1-PX = 0 = 1 C%(l p)” = 1-(1-pY；PX 1 = PX = 0 +PX = 1 = C(l 一 pY +Cnp-pyx = (l p)”口 + G 1)/c、f53 20【答案】莎元.1 -(1 - pY ,1 + (” 1)/ J(1 p) 1.【解】 记A, = 取的是第i个箱子(i = 1,2,3),B = 从箱子中取出的是白球，则P(AJ =
13、P(A2) = P(A3) = +，P(B | AQ = f，P(B I A2) = 4 = ，P(B I A3)=3 5 6 Z 8由全概率公式知：P(B) = P(At)P(B | Ai)+ P(AP(B | A2) + P(A3)P(B | A3)1987年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 5 页P(A2 | B)=P(A2B)P(B)P(A2)P(B I A2)P(B)2853120_x_3 2 _ 2053 = 53 ；120(3)【答案】1, y.【解】【解】方法一由 /Q)=，得X丄e-/+2VTt故 E(X)=1, D(X) = y.方法二f+E(X) = I a
14、:f(x )djr =1 f+ _ 21) = J (1 + x ) ex dx=口 + & 一 l)e_2 d(z十一、【解】 因为随机变量X,Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度为sn心TOVz Vl,y0, 其他.则 Fz(z) = P Z z = P 2X +Y z = JJ /(z,y)cLrd；y,2z+y Wz当 nVO 时,F z ( n ) = 0；当 0 WnV2 时，Fz (n) = dr e_3( dy = f2 (1 e2xz )dx =-+ ez ;Jo Jo Jo Z Z Z当 z a 2 时,Fz(z)=故z-2xey dy0fz =(1 -严)dr0=1-(e2 - l)e_z ,0,N V 0,*(1)，0 W z W 2,ye(e2 -1),N 21987年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 5 页
