《2001年全国硕士研究生考试数学（一）真题解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2001年全国硕士研究生考试数学（一）真题解析（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2001年数学（一）真题解析一、填空题（1）【答案】yf 2j/ + 23/ = 0.【解】 【解】 由通解形式得二阶常系数齐次线性微分方程的特征值为AU2=l + i,特征方程为（入一1 i） （A l + i）=C）9即入？ 一 2入+ 2= 0. 故微分方程为yf 2yf + 2歹=0.2（2）【答案】三【解】【解】zrdiv(grad 厂)2 2 无 yr-r-2 Z 7 22rrIfG，丿)dy1X1y12 /(: ,yAx*020 *-1如图所示，将。=（工，夕）| 1一夕工2, 1三了 示成X型区域为D = （_z,y） | lW_z2,l攵夕冬0,1yf （j- ,y）dx改变
2、积分次序为【解】【解】i故f(jc 9) )dz 9f ( 9 y) dr22djr于(工,y)dy.1-X(4)【答案】 y(A +2E).【解】 【解】 由 A2 +A - 4E =O,得(A E)(A+2E) =2E.-H-2 * 1 2 r r于是 div(grad r) |(i,-2,2)（3）【答案】于是(A -E) - y(A +2E) =E，由逆矩阵的定义得(A -E)_1 = y(A +2E).（5） 【答案】 y.【解】 【解】 由切比雪夫不等式得P|X-E（X）|2二、选择题（6） 【答案】（D）.【解】 【解】 当工0时，由/&）单调增加，得fx） $0,则（A）,（C
3、）不对； 在z = 0的右邻域内，由/（乂）单调增加，得于（工） O,!iIlJ（B）不对，应选（D）.2001年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 6 页（7）【答案】（C）.【解】 【解】 因为函数可偏导不一定可微，所以（A）不对;曲线在（0,0,/（0,0）处的切向量为011 -Z1 090 09(0,0)Z f * 八在(0,0,f (0,0)处的切向量为1,0,3,应选(C). )=0(8)【答案】(B).【解】 【解】 因为当力0时,1 - cos A -* 0+ ,IU . /(I cos h ) /(I cos h) / (0)1 cos h于是曲线cosh21 昇
4、（0）,h2J y1h-0即忸書也存在只能使右导数存在，故（A）不对;- /(A sin h ) / (A sin h) /(0)lim-e-= lim-:-Ao h a-o h sin hh 一 sin hh2e、 h 一 sin h 小 匕 Lir f （h sin h ）亠才 宀/士f （A sin h ） /（0） 士 因为lim- =0,所以lim -；- 存在不_定使lim - -r-2 存a-o h A-o h h sin h在，即）在=0处不一定可导，（c）不对；取 /（r）= F X 显然 厶八）=1,因为 lim/Xj?） =0 H _/（0）,所以/（工）, 12, x
5、=0, I h 在工=0处不连续，故在z = 0处不可导,（D）不对，应选（E）.方法点评：导数定义为lim 竽=厂（攵（），等价定义为lim -了口 = f（工Q ,心0 乂 X X 0考查导数定义时一定要准确理解导数定义的本质，注意如下三个方面：（1） 导数定义中工f 0要同时保证Ax f 0和f 0一 ；口 /（jc0 ah）/（J7O + 6A ）（2） 定义中函数增量后一项必须为/（乂。），即lim -厂22-S 工0）存hf o h在不能保证十（工。）存在；（3） 分子分母自变量改变量的阶相同，即lim + ）二心也中a,0是同阶无穷小.a0 ap-0（9）【答案】（A）.【解】
6、【解】 令丨入E A | = 0,得A的特征值为A J = 4 ,A 2 =A3 =A4 =0.显然B与A特征值相同，且A.B都是实对称矩阵，故A.B相似且合同，应选（A）.方法点评：设A,於是两个实对称矩阵，则A与B相似的充分必要条件是丨XEA |= | XEB |, 即两个矩阵的特征值相同；设是两个实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是A ,B正、负特征值的个数相同.（10）【答案】（A）.【解】【解】方法一由X+Y = ”，得丫 = X+兀，于是2001年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 6 页D(X) =D(y), Cov(X,Y) =Cov(X, X+“)= D(X)
7、.Cov(X,Y)7d(x) 7dTy) )D(X)D(X)=1，应选（A）.方法二 因为 PY = -X+ = 1 且一1 VO,所以 PxY=-l,应选（A）.方法点评：设X ,丫为两个随机变量，若pXY=l,称随机变量X ,Y正相关，其充分必要条件 为 P Y = aX 4- 6 = l（a 0）；设X,Y为两个随机变量，若pXY = 一 1,称随机变量X,Y负相关，其充分必要条件为 P Y aX + b = l（a V 0）.三、解答题（11）解】 解】 方法一 令er =t,则f arctan eJe2jarctan t、 drarctan td(t2)1arctan2八1arcta
8、n2d1arctan2arctan t + 2 丨? z 八2 J ?(l+z2)dtarctan eT-arctan ex + C.2e2方法二f arctan erdjre 2,re2jarctan e + 12e2x- arctan e d(e2j ). p r d 7*2 J i + 宀2d(e)arctan eJdCe)arctan eJ丄(7 1 *1 )2e2x2“1 0(1 + 0)2e2x+ 2Je2x1 + e2x /i (13)解】 解】 由(arctan 工)=- -=工(一 1 )工1+力 n=0故g12?112arctan 1 1 r-；-arctan e + C.
9、2 尹 2eJ 2(12)【解】【解】具而卩(工)=于(工 JQ 9工)+ /!(工 JQ 口) _f (工 9无)+ (j? 9 无)9 卩(1) = /(1,/*(1,1) =/(1 , 1) = 1 ,3f_3xb（_z） = 3爭2（工）爭（工），(1,1)=3 9(i,i)由 /；(!,!)2, /，2(bl)=S得z（i）=/；（i,/（ia）+ /；（i,/（ia） ：/；（ia）+ /；（ia）i= /；（ia）+ 兀（1,1） ”（1,1） + 兀（1,1） =2+ 3（2+ 3） =17,故具爭3（H ）dj-= 51.1(-1 ooE严m,2001年全国硕士研究生考试数学
10、（一）真题第 3 页，共 6 页于是fCx ）=工(T) 2” ” =。2兀+严 1+VE2 2“ + 1(-1),p( 1) 2+2+乙9 丄严” =0 2 + 1立2” * V召 召 2“ 1(f= 1 + 2 2 -x 2( W1),” =i 1 4/?(-1),_ ) 1 r r / i -1 1 _ 兀 1故 r=7C/(1)-1 = T-T(14)【解】 【解】 设截口平面为X,按右手准则2取上侧Q的方向向量为K =1,1,1, cos B =V3丄73由斯托克斯公式得方向余弦为cos a1cos 7 V31a dx2 y z2x y + 6)dS =2z2了dS =dS V3-=
11、 24.D寸(4w + 2? + 3n ) dS2方法点评：三维空间对坐标的曲线积分常用两个计算方法: 方法一定积分法lx =卩（才），设L ：夕= （ ），（起点t =a ,终点t = 0） 9则 In =co （方）Pdj： + Qdj/ + Kdz =P 串（t）90（）9S（）卩（t） + Q（），0（）2（r）W（）+R 卩（Y），（r）93（r）a/（）d/ 方法二 斯托克斯公式Fdjr + Qdy + Kdz =cos a aSxPCOS P dQcos y3dzRdS.（15）证明】（I ）由微分中值定理得/（） -f（0） =/O + 0（U_z , 即 _/（工）=_/（o
12、）+/e（工）z工，其中 9（x） c （o,i）. 不妨设_/（工）=/（0）+/01（工）工工，/（z）=y（o）+y&2（H）vz， 两式相减得/血（工）工工=_/&2（攵）幻2， 注意到攵工o,则有/&1（工）2=/02（工）攵.因为yQ）连续且厂（工）ho,所以厂（工）o或/（工）vo,即十（工）单调增加或单调 减少，于是齿（工）=九（工），即存在唯一的0（久）6 （0,1）,使得/（J? ） =/（0） + （X）J7 .（II）由泰勒公式得/（x） =/（0） +/（0） + 轿仝川，其中E介于0与工之间，2001年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 6 页于是八0)
13、+/ (0)宀 2!/(0)+/0工或由严(工)连续及/(工)H0,两边取极限得严(O)lim0Q)=常，故limOQ) =. 丁一*丁一*o Z! 才 才-*o 2(16)【解】【解】/时刻雪堆的体积为P1) fT 7T P(, TTh 3 (t)V(t) = j dz Jj djr dy J A2(Z) h (t) zdz =-2 2人(-(CzJ + w-13 兀/z 2 (/ )12由题意得晋=-O.9S&),整理得/A/)=不=不，解得力(/)= -t+C，由 A(O)=13O得C = 13O,于是A(z)=-r + 13O,令h(t) =0得/ =100(小时)，即高度为130厘米
14、的雪堆经过100小时可以全部融化.方法点评：本题考查微分的实际应用.重点要理解元素法的思想，元素法的具体步骤为：(1) 先假设有关的自变量和函数(有时需要建立适当的坐标系)；(2) 取自变量的区间元素，根据问题的实际含义求出所求量的元素；(3) 将所求量的元素在自变量区间上定积分.【例】 设水桶含10 L液体，浓度为15 g/L,现往桶中以2 L/min的速度注清水，同时将桶 内液体搅拌均匀后以2 L/min的速度排出，问经过几分钟液体浓度降低一半？【解】 设第t分钟时溶质为m(t),取/ , / +山,则dm = 0 巴? X 2ck.fdm 1 门. . -1= 0 9 厶于是有曲 5 解
15、得m(t) = 150e 5 .m (0) = 150,令 m(z) = * X 150,解得 t 51n 2(分钟).(17)【解】 【解】 因为a, ,a2,-.a5为AX =0的基础解系，所以-.a,线性无关.由齐次线性方程组解的结构性质得02，0、仍为方程组AX =()的解，则攸，比，攸为方程组AX=O的基础解系的充分必要条件是負2,卩$线性无关,h00 . (2 t 2G0 . 0而( (01,02， ， .、)= (a 1 ，- ,a、)0t 2tl 0000 .2001年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 6 页0 0(200则莎.“2,，伏线性无关的充分必要条件是(
16、-20=冇+( 1)卄匕工0,12100当t + (- 1)7 H 0时，即当S为偶数时心01. “2,，“、为方程组AX=O的基础解系.00H士 t2 ；当1为奇数时5工一上2，向量组1(18)【解】【解】(I )由 AP = (Ax ,A2x ,A3x) =(Ax ,A2x ,3Ax -2A2x) =P 1 o0 0 0 3 =PB,1 2因为A B,所以A的特征值为;h= 3,入2= 0,A3= 1， ，于是A+E的特征值为i= -2, “2=1，“3=2,故 | = 4./0O 得A =PBP _1，其中B=103o1_ 2丿A00(U )由丨 XE-B | =-1A3=(入 + 3)A (A 1) =0,0-1A +2得B的特征值为心=3，入2 =0 9入3=1.方法点评：求矩阵的特征值通常有如下三个方法：(1) 定义法，即令AX =AX(X H 0),通过矩阵满足的方程求出矩阵的特征值.【例】 设A为方阵，且A2 =2A,求A的特征值.【解】令AX =AX,由A? =2A得(入$ 2入) )X=0,因为XHO,所以入=0或入=2.(2) 公式法，即通过特征方程|入E A |
