《1987年全国硕士研究生考试数学（一）真题（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1987年全国硕士研究生考试数学（一）真题（含解析）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1987年全国硕士研究生招生考试数学（一）（科目代码：301）一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 卜=1,（1） 与两直线1 + /,及斗 =尹=千都平行，且过原点的平面方程为_z = 2 + /（2） 当z =_时，函数y y =攵2*取得极小值.（3） 由曲线与两直线夕=（e+ 1） 及y y =0所围成的平面图形的面积为_.（4） 设L为取正向的圆J； +夕2 = 9,则曲线积分$ （2巧2,y2,y） ）djcdjc + + （ （x x2 2 4jr）dj/的值为（5）已知3维线性空间的一组基为s = （1,1,0）,。2 = （1,0,1）卫3 =（0,1,1）,则
2、向量a = （2,0,0）在上述基底下的坐标为_二、（本题满分8分） x x t t2 2求正常数 a a 与b ,使得lim -:. = 1成立.x-*o bxbx sin J o !a _|_ 2三、（本题满分7分）（1）（本题满分3分）设函数f f ,g,g连续可微，=y（m）=g（z +砂），求石茹./3 o（2）（本题满分4分）设矩阵A与B满足AB -A +2B,其中A =1 1o 10，求矩阵B.B.1987年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 9 页四、(本题满分8分)求微分方程+ + yyr r， ，+ + (9+ 0.五、 选择题(本题共4小题，每小题3分，满分1
3、2分)00 1 I(1) 设常数k0,k0,则级数工(一1)斗壬( ).n = l 九(A)发散 (E)绝对收敛(C)条件收敛 (D)收敛或发散与k k的取值有关(2) 设 I I = = ,其中 /(J?)为连续数,s0,t0,则 I I 的值( ).J 0(A)依赖于s,t (E)依赖于s s ,t,t(C)依赖于t,工，不依赖于s (D)依赖于s,不依赖于/(3) 设lim 了 V-了:; ? = 1,则在点 x x =a=a 处( ).(A)/)可导且fa)fa) HO (B)/(j;)取得极大值(C”Q)取得极小值 (D”Q)的导数不存在(4) 设A为阶矩阵，且|A|=a HO,A*
4、是A的伴随矩阵，则|A* | =( ).(A)a (B) (C)aT (D)aa a六、 (本题满分10分)求密级数 2込T的收敛域，并求其和函数.n = 1 九 21987年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 9 页七、（本题满分10分）计算曲面积分 / = JJz (83/ + 1 )dj/dz + 2(1 y2 )dzdj： 4yz clzdy,其中 S S 是由曲线s sFi(lw0=0（夕W 3）绕夕轴旋转一周所成的曲面，它的法向量与夕轴正向的夹角大八、（本题满分10分）设函数于（工）在闭区间0,1上可微，对于0,1上的每个工，函数的值都在区间（0,1）内, 且f fr
5、r （j;） H 1,证明：在（0,1）内有且仅有一个x x，使得f f OO xx. .九、（本题满分8分）JC j X 2 +工3 + 工4 = 0,Z 2 + 2工 3 + 2j? 4=1,问a,b为何值时，线性方程组丿 / 、 有唯一解？无解？有无穷多个x x 2 + （a 3）a: 3 2攵4 = b,3x 1 + 2工 2 + 広 3 + az 4 1 解？并求出有无穷多个解时的通解.1987年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 9 页十、填空题(本题共3小题，每小题2分，共6分)(1) 假设在一次试验中，事件A发生的概率为p,现进行兀次独立试验，则A至少发生一次的概率
6、为_，而事件A至多发生一次的概率为_.(2) 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球.现随机地取一个箱子,再从这个箱子中取出1个球,这个球为白球 的概率等于_.已知取岀的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为_1 2(3) 已知连续型随机变量X的概率密度为/() = +ET,则X的数学期望为_,V7TXX的方差为_十一、(本题满分6分)设随机变量X,Y相互独立，其概率密度函数分别为0 时j/ 0,故当无=7Z时，函数y = x2x取得极小值.In Z In Z In 2【答案】 y.【 【解解】 】 由In x = (e+ 1)
7、得岀工=e，曲线y = n x与直线y = (e+ 1)工的交点为(e,l),则所围成的平面图形的面积为A =In xdjr(e -4- 1 )2 e2 3 (e+1= xIn x (e 1) + (e+ 1)- -=.2(4)【答案】一18兀【 【解解】方法一由格林公式得)2xy 2y)dj： + (x2 4无)dy = JJ (2工一4 2x + 2)cLzd;y D=2jdx dy = 18tc.d方法二 令L：z 3COS 1 (起点 t = 0,终点 t = 2tt),则 y = 3sin tC2xy 2y)dx + x2C2n)dj/ = (18sin cos t 6sin Z)
8、( 3sin Z)dz +J 0(9cos2Z 12cos t) 3cos tdt*2k(54sin2Zcos t + 18sinS + 27cos3Z 36cos2)dz0*2n=18sin2 di 36 | cos21dt0=36J sin2zdz 72 | cos2zdz0=7212 一 144Q = 7212 = -18tt.(5)【答案】(1,1, 1)令 1 a 1 + x2a2【解】+ 工33=a ,11010由1011_ 1011oz o012、f20 1 0 -J o 0 10 011，得_ 11987年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 9 页向量a在基底ax
9、,a2 ,a3下的坐标为(1,1, 1).J / d. J a + x2 徂=lim-；- = H# 3川 3賦 -dt二、【 【解解】由lim。z0 X2 + 孑d一-x3 ,从而b 3石=1,再由 lim - -x-* o bx sin x故 q = 4,6 = 1.【 【解解】 】（2）【 【解解】 】3 X1 3 1 兴,_aZ = lim-:- = lim -o J + 严 工-o x sin x 昭Xo 1 cos x2=-=,得 a =4,dv警= ,薯=g (1 +y),故讐薯=g(人 + yfy )(1 + ：y).3 sc由 AB = A+2B 得(A-2E)B=A,解得於
10、=3 2；）一也，1/I0而A-2E =1-10 ,12z101:10由1_ 1001o卜o12:00J2-1得(A-2E)-i2-2-1001111001_ 1110002_ 1_ 112-1_ 1301-1_ 11102-2_ 11u o01_ 111于是B =2-2-111一 111014045-2-3-22-2-23S=1 两边积分得 yf + &yf + (9 + a2)y =无 + C,四、【 【解解】方法一yw + 63/ + ( 9 + a+ 63/z + ( 9 + a2 ) = 0 的特征方程为入 $ +6入 + (9 + a2 ) = 0,解得入 1,2 = 一3 土 a
11、i,则方程 yz + 6Z + (9 + a2 )j/ = 0 的通解为歹=e_3j (C】cos ax + C2sin ax );设 yz + 6jz，+ (9 + a2 )j/ = x + Co 的特解为 y * = Ah + B，代入得6c于(9 + a2)2一 9 +故原方程的通解为6y = e_3j (Ci cos ax + C2 sin ax) - - -r H-二-. 9 + a2 9 + a2 (9 + a2)2方法二特征方程为 A3 +6A2 + (9 + a2)A = 0,解得特征根为 A j = 0, A 2 = 3 + ai, A3 = 3 ai,yw + + (9 +
12、 a2 )j/ = 0 的通解为夕=+ e-3j (C2cos ax + C3 sin ax ),T 显然原方程有特解$。（工）=-7 9十a故原方程通解为 y = Cx + e_3x (C2cos ax + C3sin ax) + y. 9 + a1987年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 6 页，共 9 页五、 选择题（1） 【答案】（C）.【 【解解】 】 S（-i）nk-L = %（1）” g + （1）“ 丄，n = l X n = l 乳 n = l 因为级数（一1）” 4绝对收敛，级数工（一1）丄条件收敛，所以原级数条件收敛，应选（C）. ”=1 n n= 71（2） 【答案】
13、（D）.【 【解解】I = t P f（tx）dx = f （tJC ）d（Zx ） - =f f （u）du 9J o J 0 J 0显然/与s有关，与t无关，应选（D）（3） 【答案】（E）.【 【解解】 】 由极限的保号性可知，存在d 0,当0 VI Z a |5时,/（：）_ 0,（工a）即/（工） /（a）,故z = a为极大值点，应选（B）.（4） 【答案】（C）.【解】 由 AA* = AE 得出 |A | A = AE = An ,1 当工 HO 时，S(z) = /J工” =i由 | A | = a 工 0 得 | A * | = a4，应选（C）.六、 【解】 由lim 血
14、 =，得幕级数的收敛半径为R = 2,00 - i 00 （_ i n-l当工=2时，级数工;（-2）-1 = S -收敛；” =i n2 / ” = i n 1 1当工=2时，级数工2n_1 = 发散，故收敛域为2,2)；n = i / ” = i n令 SQ) = S |訐1，” =i 咒 2当工=0 时，S(0) = *；I-InJCn工=0,故S （无）=T(i-寺)， 2hV2 且 hHO.七、【解】 曲面s的方程为S：3/-l = /+（ Wy W3）,取外侧，令 So :y = 3(j:2 + z2 W 2),取右侧，则 s+s s(8j/ + 1)dj/dz + 2(1 y2)
15、dzdjc 4：yzdx dy 9由 # J7(8j/ + Ddj/dz + 2(1 j/2 )dz dx iyz da: dy s+s。dv =J djycLzdz = 7T(.y l)dj/ = 2兀 9r +z QT1987年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 7 页，共 9 页jj j; (8j/ + l)dydz + 2(1 y2 )dzda: 4：yzdx dy so1611 dz dr = 16 jj 2+z20,g(l) = /(l) 1 VO9由零点定理,g&)在(o,i)内有零点，即存在工e(0,1),使得gQ) = 0,即/(x) = x. g(z)=十(2) 1,因为
16、) H I9 所以 g(z) 0 或 g(z) V0,即g(H)在0,1上严格单调，故g(H)在(0,1)内零点唯一，即在(0,1)内有且仅有一个工，使得/(JC )=工dzdx = 32k ,o九、【解】A =111101110、01221012210-1a 3 -2b0_ 1a 3-2b321a_ 1.0_ 1-2a 311110 、0122100 a-106 + 1000a 10 ,当a当a当a工1,61,6=1,方为任意常数时，方程组有唯一解；工一1时，方程组无解；=-1时，方程组有无数个解，将a,6代入后得出，得方程组的通解为j0_ 1_ 1-r012210000000000 ,X = b、(紅，馬为任意常数).f 1、1、一 r-2+ k2-2+1100、0 ,1 ,、0 十、填空题(1)【答案】【解】 设并次试验中A发生的次数为X,显然XE(n,p), 则 PX 1 = 1-PX = 0 = 1 C%(l p)” = 1-(1-pY；PX 1 = PX = 0 +PX = 1 = C(l 一 pY +Cnp-pyx = (l p)”口 + G 1)/c、f53 20【答案
