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1、、填空题(1)【答案】sin t cos t4芒【解】【解】d2 ydi71991年数学(一)真题解析djr / dzddy dy/ dtAxsin t2cos t 一 2sin tAx / dtdz4z2 2?sin t Z cos t4芒(2)【答案】dzQdy.【解】【解】方法一+ Vx2 + y2 + z2 = 72两边对jc求偏导得z +z牛djcyz+xy+ _抵 Vx2+y2+z20,解得聖ox=1;HW + Vx2 + y2 + z2 = a/2两边对y求偏导得I dzy + z dy.2 丄.2 丄 2=一罷,故 dz |( (i,o,-i)= dr /2dy.方法二jcyz
2、 + Vjc2 y2 + z2 = V2 两边求微分得 d(xyz) + d( Vx2 y2 z2 ) = 0,即 wdz + zzdy + pdz + 归 +/业 土三空=0,vx2 + y2 + z2将= (1,0, 1)代入得dz I( (i,o,-i)= dw 血如(3)【答案】x 3y + n + 2 = 0.【答案】 显然M0(1,2,3)为所求平面上的点，所求平面的法向量为兀=1,0, 1 X 2,1,1 = 1,3,1, 所求平面为兀：(无1) 3(夕一2) + (n 3) = 0,即 7r : j: 3，+ n + 2 = 0.【答案】一斗.Z【解】 由(1+处2)3 1 岂
3、工2 9 COS X -JC2，得牛=-，故 Q =-0 Ci Lt 乙-2(5)【答案】 o0 xz + xy t +0,解得字-20050000y丄2_331991年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 6 页【 【解】解】令B =5 22 1,C =1 -21 1，则 A-1B 1 Oo L由52101 01-21 01_2由21012 1010 1-25，得旷=1 -22 51-21-210/10711oV 01丄，得L =2_1-2000177-2500故AT00丄2_I00I7二、选择题（1）【答案】(D).【解】【解】由 limy = 1,得 3/ =Zf 81为曲线y
4、21 + e1_ 21 e_x的水平渐近线由 limy021 4- e_x=8,得工=0为曲线y = - r的铅直渐近线，应选（D）.1 _尸（2）【答案】(B).【解】【解】/(0) = In 2,/(x)=2odr + In 2两边对求导得ff （x ） = 2f （工），Ce2x.解得 /(j;) = Ce 2dj由 /(0) = 1口2得0 = In 2,故 /(x) = e2x In 2,应选(E).(3)【答案】(C)【解】 【解】 令 S：)= ax +a3 4-a2n-i , S2) = a2 +a4 -a2n ,S務)=ax a2-a2n-1 a2n = Sf Sf , S”
5、 = 5 +如-a”，由题意得 limSj)= 5, limS = 2,于是 limS2) =limS： limS；? = 3,因为limS2n =limS严+limSY = 8,所以级数乞a”等于8,应选(C)” foo n-* n-* n=l【答案】（A）【解】 【解】 令 0 = （h,） 1 =工 W0,h y W x ,D3 = （龙，歹）|一夕工夕，0冬夕1,由对称性得Jj (xy + cos x sin y)dx dy = 0,D2JJ jcy + cos jc sin y ) dz dy =D3(5)【答案】(D)【解】 【解】 由 ABC = E 得 BC = A-1，则 B
6、CA = A_1A = E,应选(D).jj cos x sin ydx dy = 2D3Jj cos x sin ydjc dy，应选(A).Di1991年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 6 页(1)【解】【解】lim (cosT) = lim 1 + (cos/F I)-， 乂 r0+ 工-*0十4贝U / = a3 4a + 7t.lim (cos fx 1)h lim cos :二+工e1lim 工 ” fo+ 工=e=4工，6y ,2n(i,ij)(2)【解】【解】法向量=4,6,2,方向余弦为cos ac 3,COS 0 =-, COS ya/T4 714=Tn9则
7、rdn(3)【解】【解】du_3工du714.丄+丄.du z /6j72 + 8y2z4 2, 丄= _714 Tn /TT 714 73/2 = E 绕z=0z轴旋转而成的曲面为S-x2 + y2 = 2n ,2683u 丿6工 2 + 8y 2p2z %/6jc2 + 8y268( (1,1,1) ) yrr( (1,1,1) ) a/TT( (1,1,1) )=yiT,8则。=(工，N)|(H,y) G Dz，0WnW4,其中 2 = (j: 9y) I J：2 + j2 2z,x2 + y2 + 2： )dv = J dzJJ(x2 + y2 + z ) djr dj/0 DJ 0
8、J 0 J( (0r(r20+ z)dr = 2k dzJ 0 .727(r3 + rz)dr0四、【解】【解】方法一I(Q )=4 2 1 64 256ttn dz = 4k =- o 3 3(1 + 3)da: + (2jc + j/)dj/ = (1 + a3 sin3 x ) dr + ( 2工 + a sin jc ) a cos x da:J 0=4 kL7t + a3sin工 dr + 2a0 x d(sin x ) + a20sin j?d(sin x )0=7T + 2q + 2a I j; sin xsin 工 dr )=兀 + 0,所以a = l时 (1 +L3?) dr
9、 + (2h + y)dy最小9故所求曲线为y = sin x.方法二而(1 + j/3 )djr + (2 工 + =l+ao +OA(1 + j/3 )dJr + (2z + jy)dy.)_ (1 + 3/3 )d+ (2z y)dy = (2 3y2 )dx dy = (3j2 2)dx dyl+ao JJ JJD Dr n ra sin x f ndjc0O3/2 2)dj/ =(a sin3 x 2a sin 工)dz 00ya3 -4a,(l+3)dj? + (2jc + j)d =OAdz = 7T ,01991年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 6 页令厂（Q
10、） = 4/ 4 = 0,得 Q = 1 ,因为J（l） = 8 0,所以Q = 1时Jl（1 +夕3）dz + （2工+ y ）dy最小，故所求曲线为y = sin X. 五、【解】 【解】 显然/（）满足狄利克雷充分条件，a”bn=21 (2 + j7)dj7 = 2XJ 0(2+t)= 5,= 2(2 + 工)cos rnzjc Ajc = 2(2J cos mtx dx +x cos mix Ax02 .jc sin nnxH7T2 cos rmx n 7r7?27T2sin mtjc dx =cos kjc H- - cos321x d(sin mtx )o0,x cos n itx
11、 dx 04 sin04 2 n 7Tmzx dxn = 1,3 拓 9 ，(00 V 工 0(/ = 从而A + E的特征值为+ 1 * 2 + 1，入” + 1，故丨 A + E | = (A1 + 1)(A2 + 1)-(A + 1) 1.方法二 因为A是”阶正定矩阵，所以其特征值入， 0(/ = 1,2,皿)，1,2,，”)，存在正交矩阵Q,使得QiAQ人 0 0、右 0 0、0 a2 0，或 A = Q0 a2 00 0 -An0 0 -入Q，0 0、入1 + 10 . 0 、于是A+E=Q0120eT+eeT=20入 2 + 1 000 儿.00 入” + 1,A + 10 0故
12、1 A + E |= 10 1*0入2+101 eT100 久” + 1=(心 +1)(心 +1)(入” +1) 1.九、【解冃 设曲线为y = y(x),曲线在点P(x,y)处的曲率为怡=W(1+“2)丁曲线在点P (x y)的法线为Y y =-/ (X x )y令 Y = 0 得 X = h + 9 即 Q(z + 乂/ ,0) 9I PQ I = Vy2y2 + y2 = y V1 + y，2由题意得一U I彳= ，整理得yy = l+jz/2.(1 *2)7 y 丿 1令寸=P，则刃 学=1 + p2,变量分离得弹竺=型， dy 1 + / y积分得 ln(l + p2 ) = In
13、y2 +n Cx ,即 1 + / = Cxy2 , 由 y(l) = = 0 得 Ci = 1,解得八士 d，变量分离得严f = 士如积分得 ln(y + Vy2 1 ) = 土无 + C?,由 j/(l) = 1 得 C2 =干 1,即 ln(jy + a/j/2 1 ) = 土(工一1) 9由y + Vy2 -1 = e”得yy - J寸 _ =严-”厂+ e2故所求的曲线为yeJ- + e21991年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 6 页十、填空题（1）【答案】0.2.X 2 解】 显然XN（2,2）,标准化得-N（0,l）.a由 P2 X 4 = P（0 1 =（？）一（0） = 0. 3 得故 px o = Px 0 时，Fz（n）= dxJ 0,ZX 2 e+2y）dy = 02 2e2y dj/0（ex ez ）dj? = 1 ez ze o故随机变量Z的分布函数为Fz（n）=l-ez - zex0,z 09N冬01991年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 6 页，共 6 页
