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1、:8999*():8999*():8999*():8999*():8999*():8999*():8999*():8999*():8999*()2012年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 13 页:8*(2012年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 13 页:89999*():89999*()2012年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 13 页:89999*()2012年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 13 页2012年数学(一)真题解析一一、 、选择题选择题(1)【 【答案答案】(C).2 I【 【解解】 】 由limy =1,得夕=1
2、为曲线夕二耳耳的水平渐近线；HfOO J7 12 I由limy = ，得工=1为曲线夕= 的铅直渐近线； H-* 1 X 1显然工=1不是曲线夕的铅直渐近线，且曲线没有斜渐近线, 3C 12 I故曲线)=2 f有两条渐近线，应选(C).X 1方法点评：本题考查曲线的渐近线.渐近线是基础而频繁的考点，需要熟练掌握其求法. 曲线的渐近线共有三种，即水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线.若lim f(x) A ,则y =A为曲线y )的水平渐近线；工f oo若lim/(x )=，则jc a为曲线y fQx )的铅直渐近线；x*a若 limW =a (H 0,) 9 ) axb 则 y = ax -Vb
3、为曲线 y = )的斜渐才一*8 JC fOO近线.(2)【 【答案答案】(A).【 【解解】方法一由/() =ex(e2x -2)-(eM -/?) +2(ex - l)e2x(e3x -3)-(enx “)-Fn(ex - l)(e2x - 2)-(e(n_1)x n + l)e ,得/(0) = (-l)-1(n-l)!,应选(A).方法二 由导数的定义，得(0) = lim y)-门)= lim -(e2x 2) (enj: n ) - ( 1 )_1 (n 1) !,x-*0 x x-*o x应选(A).(3)【 【答案答案】(B).【 【解解】 】 方法一 由f工， ，y)在(0,
4、0)连续及lim存在，得/(0,0) =0.zo x + yyf 0取 y = 0,由lim -=lim - 存在，得lim - -= 0,x0 JC x0 X X x-*0 X即 fz(0,0) =0,同理 fy (0,0) =0.由limx-*0N fy (0,0)j/2 | 2工十夕=limx-*0存在，得fG )21 2o2012年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 13 页Az ffx （0,0）j; fy （0,0）j/ 0（/9）,故 yO ）在（0,0）处可微，应选（E）. 方法二 由lim：巴存在，得/（0,0） =0.x-o X + yyf 0令 p = J x
5、1 +，设 Hm = A：则北=/（亢9丿）一/（0,0）=0 x + 0 夕+ o（p）90 x + yy 0由可微的定义得/（工，夕）在（0,0）处可微，应选（E）.方法三 取/（2,夕）=|工| +| y | , lim 1 订| = 1，因为 lim 了） =工一o | x | 十 | | x-o xyf 0lim 不存在，所以/（je ,y）在（0,0）处对工不可偏导，由对称性，_/（工,y）在（0,0）处对 0 JCy也不可偏导，于是fCx ,y）在（0,0）处不可微,（A）不对；取显然于（工，夕）在（0,0）处可微，因为lim 半）=lim 宀不存在，所以x-0 | X I x-
6、o I X Ilim 1不存在，（C）不对；0 I JC 1+ |3 IL 0取/（力，夕）=y，因为/（力9y）连续可偏导，所以f G在（O9O）处可微9但lim工0 x + y yf 0 不存在，（D）不对，应选（B）.方法点评：本题考查二元函数可微的判断.判断二元函数fQ,y)在点(工0，歹。)处可微一 般有如下几个方法：(1) 若/(z,y)连续可偏导，则在(工。，火)处可微；(2) 若 Az = f(.T ,y) f(x0 ,夕0)= ACz j;0)+B(j/0)4-o( J Qx _ je0)2 + (3 jo)2)， 则f(x ,3?)在Czo，夕0)处可微；(3) 若fix
7、,y)在(x0 ,y0)处可偏导，则f x ,y)在(x0 ,j/0)处可微的充分必要条件是f(D)/(工0，夕0)AQojUQ Ho)/；(攵 o，o)(y ，o) A11 m r- - - -J -=0,X-*Xq P其中 = xoy + Cyyoy.【答案】(D).C2k 2【 【解解】由12 11 = e sin x dx 匚；J 7t3兀2由 13 12 = e sin x dx 0，得 / 2 0,得八 匚，于是 I2h、001则 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=*-P应选（B）.（7）【 【答案答案】（A）.01000110100020101Z 、0010002【
8、 【解解】X的密度函数为/x（z）=Y的密度函数为/y（J/） =e0,4严，y 0, 0, 夕 W 0.因为X,Y独立，所以X,Y的联合密度为JCx 0,0；于是 px y=jj f(x= 0,夕 0, 其他，o 54严曲=应选（A）.（8）【 【答案答案】（D）.【 【解解】 】 方法一 设两段长度分别为X,Y,则X+Y = 1或Y = X + 1.由 PY = -X + 1 =1,得处丫 = 1，应选（D）.方法二方法二设两段长度为X,Y,则X -17（0,1）,且Y = X + 1.由 X U(O,1)得 _/x(h)=E(X)=1, 0 V E V 1,0,其他.1 1 1x dj：
9、 ： = , E(Y) = E( X + 1) = E(X) + 1 = ? o 2 /p 1 1E(XY) =EX(X + 1) = E(X?) +E(X) = /山 十 =J o Z o112?2012年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 7 页，共 13 页fl 1 1由 E(X2)= 川吐=百得 D(X) =E(X2) - (EX)2 ,J o 3 o 4 1ZD(Y) =D(X + 1) =D(X)=点，则 Qxy =_ = 1,应选(D).12 VD(X) /D7yT方法点评方法点评： ：本题考查两个随机变量的相关系数相关系数的计算公式为 =一cv(.x_，X2，注意以下两个结论：
10、VD(X) VdW)(1) Pxy = 1 的充分必要条件为 PY = + 6 l(cz VO)；(2) y=l的充分必要条件为PY=aX+b =l(a 0).二二、 、填空题填空题(9)【 【答案答案】e【 【解解】 】 由观察知厂Q )十于(2)=2于的一特解为/Q)=eH, 将其代入 fd + /z (j?) 2/(j; ) 0 中满足，故 ) = ex.(10) 答案答案】贪贪2 _j： v2o: 一 jr2 dje =o【 【解解】 】2 _(jc 一 1) + 1 a/1 (jc l)2 d(jc 1) 0(工 + 1) /1 jc 2 dx/1 j?2 dje2z $ dz =守
11、.方法点评方法点评：本题考查定积分的计算.当积分表达式中出现根号，且根号内为二次多项式, 一般采用配方法，再换元.需要注意如下几个结论：(1) /(x )dx = /(工)+/( 乂)dr ;(2) 含丿/ 工?的积分，注意使用三角代换x =asin t.特别地，根据定积分的几何意义有Ja - j:2 -J o 4(11) 答案答案】i+j +k.于是 gradG+ + 三三) )| =1,1,1 =i +_/+/(;. y / I (2,1,1)(12)【 【答案答案】愛.愛.【 【解解】 】 令工：z = 1x y (z,，)C D),其中 D = (，夕)| 工+了1,2 20,夕0,2
12、012年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 8 页，共 13 页(13)【 【答案答案】 】=7卜2 0(0 1),D2.djrlyV312【 【解解】 】方法一取0 =0/I 0 0、j/0 0 0,aa T = 0 0 0(，由 E aa= |0 1 0o丿o 0 0 丿bo r，得E aa 1的秩为2.方法二 令 A =E aaT ,则 AnCEaaJCE aa)=Ead =A.由 ACE A) =O,得 r(A) +r(E A) 3.又由 r(A)+r(E-A)r(E)=3,得厂(A)+r(EA)=3.而 r (E A) = r (aa r) = r (a ) =1,所以 r (A )
13、 =r(E aa T) = 2.方法点评：本题考查矩阵的秩.研究由向量乘法形成的矩阵的秩时，通常使用矩阵的幕阵，本题很容易想到计算与A 的关系.另外注意本题E 心 与具体的a无关，可以采用举例法.(14) 【 【答案答案】 】 4.4【 【解解】 】 因为A,C互不相容，所徨P(ABC) P(AB) -P(ABC) P(AB) 3P( (AB C)= =- -=- =-r.p(C) 1 P(C) 1 P(C) 4三、解答题+ X JC 2(15) 【证明】 方法一 令/(2)=2111-cos x 1,1 x zf (a: ) = In1+ 工 I 2x1一工十I/sm xJC严 Q)=注士1
14、 COSH.4 当一 1 V工 0.(1 H )又因为/(0)=0,所以y严). -X 0, 0 1,+ JC H 2小值点，而 /(0)= 0,故当一1 工 2 0(0 jc 0,2012年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 9 页，共 13 页1 + T T2故当1 0且A 0且A0得(一1,0)为f (x ,y)的极小值点，极小值为/( 1,0) = e (17)【 【解解】 】 由limlLl,得级数的收敛半径为R =1.4/7 2 I 4-71 I 3当攵=1时，由lim (土 I)?工0,得工=土1时级数发散，故幕级数的收敛-* 乙 n 十 1域为(一1,1)1 + j：而 2(2
15、九 + 1)2% =( 2x 2n+1) z =(1 X(1 Vz V 1),当 0 |工 | 1 时，S1(H)Z = 0 9于是S (z )=3,1 + 乂(1 x-In t，0 | | O9所以 /Z(Z) = = sec t cos t，cos t于是 fCt) = ln(sec t + tan t) sin f + C 9再由 f (0) = 0 得 C=0,故/ (t) = ln(sec t + tan Z) sin t.由/(0)=0, lim/(t)= + oo得曲线L及龙轴及夕轴围成的无界区域的面积为 一守A = ydx = 2 cos t 厂(t)d =J 0 J 02 s
16、inSd/ = -7-.0 4补充L。：工=0(起点y =2,终点y =0),记L与L。围成的区域为D,由格林公式(19)【 【解解】 】得(20)【 【解解】 】I =Q) 2 y cLz + (z3 + z 2j/ )dj/ 32 j/ dx + (z3 + x 2y)dyJ L+L J Lq=JJ(等 _ If )亦；_ 2牺=jK dp =守一4.D D(I)由行列式按行或列展开的性质得| A | = 1 X A h + a A a Mn aMa = 1 一 a4.(n )若AX =P有无数个解，则|A 1=0,即a= l或Q=l.当 a 1 , (A 丨0)=,1-1001100-10 01_ 10-1010-1-100110001-10-1001000000 .因为r(A)-r(A)=3 4,所以方程组AX =0有无数个解，通解为当 a = 1 时,.(A P)=100.1因为r(A)工r(A),所以方程组AX=0无解.方法点评：行列式虽然不是考查的重点内容，但有几种特殊行列式需要熟练掌握其计算 方法：(1)三对角行列式，如本题矩阵对应的行列式，这种行列式的计算一般采用行列
