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1、2016年数学（一）真题解析一、选择题一、选择题（1）【答案】【答案】（O.【解】【解】由 lim x工o+ dx( 1 + j? )6- -T =且(1+-=1且 才(1 +无)+ b1 9应选(C).djr1 壬“（1+工）(2)再由lim x工一*+a+b即a V 1且a【答案】【答案】（D）.1 cLz *o j?(l +工)1打：收敛得a VI,0 X ( 十工)+ Hra(. ,GT 收敛得 a + b 1 ,1 X ( 1十无)0【解】【解】F () = /(jr )djr =取C=O得f （jr ）的一个原函数为F（z） =(jt 1)2 C x V 19jr(lnx 一 1)
2、+C + 1， x 1. 4应选(D).j? (In j? 一 1) + 】9 工 $1.(3)【答案】【答案】（A）.【解】 【解】 设小=（1 +小2 馅+川,兀=（1+工2）2十丿1+川，由线性微分方程解的结构得g 小=2/1+/为,+ （工）夕=0的解，代入得-p（-T） 2 /1 + JC 2 =0,解得 P（ （.JC ） =一 -一2 ；再由线性微分方程解的结构，得严 =（1+小2为“ + p（_z）y =q&）的解，代入得4z (1 + )- -7 ( 1 + 2 )2 = q(=)，解得 q (jt ) =3jt (1 + JC 2 ),应选(A).1十工(4)【答案】【答案
3、】(D).【解】【解】/ (0) = 0 , lim /( J： ) = 0 , lim /(jc ) = lim 丄=0 ,x-o -() ()+ f8 n由/(0) =/(0-0) =/(0十0) = 0得于(工)在工=0处连续.由 lim 八? = lim - = 1 得 (0) =1；力 j-*0 无丄. /(JT ) / (0) nlim -= lim ,+ 无 z-o+工由一V 乂 V 丄得: V 冷 V 19从而 lim = 19于是 F+ (0)=19Ti + l n ?十 1 1 丄一0+ 1n n因为/I (0) = f (0) =1?所以/ (壬)在z = 0处可导9应选
4、(D).2016年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 10 页【答案】（C）.【解】 【解】 由A与B相似可知，存在可逆矩阵P,使得P lAP =B.2 oE(X) ,E(X2) = y ,D(X)对 P AP =B 两边取转置得PtAt（P_1）t =Bt,或（PT）tTaT（pT）t =b, 即At与Bt相似,（A）正确；由P AP =B得P A1 P =B 1，即与 矿|相似，（E）正确；由 P AP =B 及 P A P =B 得 P _1（A 十A i ）P =於 +B 1 ,即A +A与B +B 1相似，（D）正确，应选（C）.（6）【答案】【答案】（E）./I 2 2
5、【解】 【解】 二次型的矩阵为A = 2 1 22 2 1A - 1 -2-2 A - 1-2 - 2由A | =-22 = (A + 1 )2 (A 一 5)=0 得A 1矩阵A的特征值为入1 = 5,入2 A 3 =一1,二次型的规范形为f （Jr 1，工2，z3）=5祈一 y yl,从而/（厂，工2，工3）=2表示的曲面为5j；i yl 3/3 =2,该曲面表示双叶双曲面，应选（E）. （7）【答案】【答案】（E）.【解】 【解】 由XN（，川）得士H n （0,1）,（Jp =px + /则p随着C的增加而增加，应选(E).(8)【答案】【答案】(A).【解 【解 方法一 X B(2,
6、y) , 丫,2 4 2E(X) =E(y)=y,D(X) =D(y)=g,E(XY) =1 X 1 X PX =1,Y = 1Cov(X,Y)=E(Xy)-E(X)E(Y)=-9一Cv(X,Y)_=_lx2JD(X) 7D(Y) 9 4方法二PX=0=C(y)(i)2 =1 9P X = 1 = C2 y =4/01 21X44 1 ，同理丫4409 99应选(A).2 19 /984424=,E(Y)= ,D(Y)=T0 932016年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 10 页7PXY = Q =g，艮卩 XYPXY = 1 =FX =l,y292E(XY) =g,Cov(X
7、,Y) =E(XY) E(X)E(Y)2992PXYCov(x,y)VD(X) - VD(Y)二、填空题2 9 1-X 一 =-9 4 2 （9）【答案】【解】【解】limr f 0Zln(l + Zsin t)dt0i 21 COS Xlim工f 0t ln( 1 + /sin / )dt0limj-*0 x ln( 1 + j? sin x2工31 4X2)_ 1（10）答案】_/ +（一1）4aa【解】【解】rot A=j + (y 1)R.N1.x y z(11) 【答案】 一djr +2d 【解】【解】将x =Q ,y =1代入得n(工l)z y2 =x2f (x nq)两边关于jc
8、求偏导得n + (z +1)n： = 2jc f Jjc 一 z jc2 f(x 一 z (1 一 zx ) ?将 e = 09)= 1 = 1 代入得 / (O)=1;(w + 1)n y2 =x2f(jc nq)两边关于y求偏导得(工 +1)n； 2y =x2 _f (jc n 9? ) ( zy ) + ffy (jc 之9丿)9 将乂 =。9丿=1，n = 1 代入得 n；(C)91) = 2,故 c!n |(o,i)= 一 山 + 2dy.(12) 【答案】 y.T 【解】【解】方法一 arctan x =x- o (工3 ) 9-=1 一 ax 2 + o ( jc 2 ) 91
9、+ ax则 arctan x- -勺1 + axax 3 + o (_z 3 ),f(0)再由 f(x ) =/(0)+/Z(O)J7 + X2 + 3!/(0) 1 仙/曰飞厂亍，解侍方法二 (工)=j 2_(1心2)2,1 + jc (1 十 ax )厂(OJ+ o ( x 3 )得2016年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 10 页(1 + 2)26(2j? 一 2a2j?3 (1+a2)32 一 6j? 2 (6a 一 622 j?2) (1 + ajr2) 一 6aw (6qh 一 2tz2 j? 3)(1 + 2 )3 (1 + ajc2)4所以 (0) = 2 +
10、69 由一2 + 6q = 1 得 a =.（13）【答案】A4 +A3 +2A2 +3A +4.A-100A1 00 1 0【解】【解】0A10=A 0A 1+0 A - 100A-132 入+ 14 2 入 +1132A +1=入入(入 2 4- A + 2) + 3 + 4=A4 +A3 +2A2 +3A +4.-1+()T+0 1L |2 A+ 13A +1|4入+ 1(14)【答案】(&2,108).【解】【解】pj W 0.025 - - V “ 0.025 l = 95 ,一 o得 P F 0.025Z H i X + M0.025 = 0. 95 ,由 + M 0.025 =
11、10 . 8 得启0.025 = 10 . 8 F = 1. 3 ,从而 F -ZZ 0.025=& 2,故的置信度为0.95的双侧置信区间为（8.2,10.8）.三、解答题三、解答题（15）【解】 卜山旳【解】 卜山旳2(l+cos 91r2cos 9 drD i 2g f y= (cos4(9 + 3cos30 + 3cos?& )d03 J-i16 ff TJo(cos4 9 + 3cos30 + 3cos2)d=(4 + 3I3 + 32)= 5托 + .(16)【证明】(I)微分方程yr + 2yf ky =0的特征方程为A 2 + 2A + = 0, 解得入 i = 1 + k，A
12、 2 = 1 f 4-00因为0 VbVl,所以A! 0,A2 由 | y(_z)cLz=Ci| e 1 dj? + C2 edz,得 | y(_z)(lr 收敛.Jo Jo J 0 J o2016年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 10 页(d )方法 由入 1 V 0,入 2 V 0 得 lim yCx) lim (C + ) = 0 ,lim 3/(2 ) = lim (C入e，+ C2A )=。9才 | OO J7 -|-OO+oo i + r+ i于是J 丿(工)dr =万 j/(h )dz + 2j/z (jc )djr J 9再由yx )dj? =j/(z )+00
13、J 03/(工)dzI += j/(0)=,10=j/(0)=,0o=y Cx)r+ 3得 y (攵)dj?=.j 0 k方法二将 y(0) = l,j/(0) = 1 代入 y =Ce+ C2eAzG + C2 =1,A 1 Ci 十 A 2C2 1.解得Ci1心 _2 + Jlb 入 1 入 2 2 ky (工)dz = )2k得(17)【解】 【解】 方法一 由=(2工+1用得f (x ,y) = *eyj(2_z + l)d(e2j ) +爭(y) =*，(2工 + 1) e2x 2 J e21 dr + 甲(_y)=x e1y ( (f) )Cy).由 /(o，y)=y +1 得爭(
14、夕)=y + i，于是 /&，)=工 + 夕 +1.f工，:y)一工宀+1,令p“)=答a, q(“)=m3y学=(2_z + , 学=(2h + 1)/ vdy ox因为学=学，所以曲线积分与路径无关，dy dx于是 I(t) =(2 工十 l)e2j djr +(1 ei)dy =t +尹.J 0 Jo由 I/(l)=l-e2t = 0 得 t =2,因为r(o =e2z 0,所以当t =2时,I(i)取最小值，最小值为M2) =3.方法二 由夕)=(2工 + 1)e2jy 得 /(工，夕)=x &Ty +卩($), OX由 /(0,夕)=夕 + 1 得卩(夕)=丿 + 1,从而 /()
15、= x e2jy + y + 1 于是 I(t) = d/(a- ,y) = /(1,Z)-/(0,0)=誉一+t.由 I Ct) =1 e2l = 0 得 t =2,当t 2时，厂(/) 2时，厂(r) 0,则r = 2时J(r)取最小值，且最小值为/=3.2016年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 10 页n（18）解】 解】 由高斯公式得 / =（J?2 + l）dydz 2ydzdx + 3ncLz d2（2乂 + 1 ）du 9而 J=|X|X2Z”_i | ,卄1由递推关系得丨工卄1 工”丨W -丨工2 工1 I 因为级数工 X 2 |收敛，所以工丨H ”+i H”
16、|收敛,” =1 力 n = 1故级数工(工”+1 乂”)绝对收敛.n = l(11 )级数 (工卄1 一工”)的部分和为n = 1S” =(2工1)+(工 3一 攵2)+ +(工卄 1 一 久”)=工”+1 Xi，因为级数丫(工”+1 jr )收敛，即limS”存在，所以limz”存在.” = nf8 ”-*8令 limz” =a，s+i = f Cx )及函数 )的连续性得 a = f (a).n f 00令9? (jr ) =x /(jr ),即z =a为爭(工)的零点.因为爭(0) = /(0) = 一 1,9? (2) = 2 -/(2) =1 - /(2) - f(0)=l-2/，(V) 0,其中 7 6 (0,2), 所以( (p(x)在(0,2)内有零点.又因为卩(工)=1 /(工) 0,所以卩(2)只有唯一的一个零点，且位于(0,2)内，于是 0 a V 2 9 即 0 Vlimj?”f 8 2.(20)【解】【解】方法一当a工一2（A ： ： B）=CA B）/1-1-1 :222a11a11a一 a 一 1且aH 1时,I1-1-122 0a + 233 a-40
