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1、1993年数学（一）真题解析一、填空题（1） 【答案】（0，*）.【解】 【解】 由 F（_r） = 2-丄=0 得 z = =-,当 0 zV=-时 FQ）0,7T 4 4故FCz）的单调减区间为（o,*）.（2） 【答案】o,響，字.【解】 【解】 旋转曲面方程为：3川+2/+3/ = 12, 法向量为 n = 6工，4y ,6z（o,好阿=o,4a/3 ,672 ， 所求的单位法向量为“ = o,響，字 （3）【答案】 y.1【解】【解】b37Tf (x )sin 3j: Ax = 2x sin 3 j; dx0-J x d(cos 3工)=-x cos 3h|+f os 3M =年（4
2、）【答案】x2 + y2 + z2 【解【解graddu 1 _ (_t_ _y_ _z_3无9 I x2 y2 + z2 x2 y2 z2 x2 y2 -z2则 div(grad “)=訂 Q2+-T-；T ) + 訂 C+J+j ) + (/+；+ ) y2 + z2x2 x2 z2 y2 x2 y2 z2=Cx2 +y2 +z2)2 十 Cx2 +y2 +z2)2 十(工$ +歹2 +/)2_ 无？ + y2 + z2 (5)【答案】X =上(1,1,，1)丁(上为任意常数).【解】 【解】 因为r(A) =n-l,所以AX = 0的基础解系含一个线性无关的解向量,1、又因为A . =
3、0,所以AX = 0的通解为X =肛1,1,，1）丁4为任意常数）.1 ,二、选择题（1）【答案】（B）.【解】【解】,v /(j;) . cos x sin(sin2x )由 lim- - = lim-x-* 0 X 工*0 3工=+ 得/&)1 3又g（z）工r故fQ）是g&）的同阶但非等价的无穷小，应选（B）.1993年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 5 页（2） 【答案】（A）.【解】 双纽线（/ + y1 2 * ）2 = x2 y2的极坐标方程为r2 = cos 20, 由对称性得双纽线所围成的面积为12 r-|-cos 1X Xx d(e 1)7eJ - 1令 J
4、 = E，即无=ln( 1 + Z2 ),则A = 4 X cos 20 dd = 2 4 cos 29 dd ,2 J o J o应选（A）.（3） 【答案】（C）.【解】 直线b的方向向量为s, =直线 L2 的方向向量为 S2 = 1, - 1,0 X 0,2,1 = - 1, - 1,2,设两直线的夹角为0,由cos 0 = J 5| = 得0 =手，应选（C）.I Si I I S2 | 2 3（4） 【答案】（B）. 、【解】 令 P（z,y） = /（工）一e* sin y , Q（x ,y） = ）cos y , nc p由-=，得厂（工）+/（工）一e = 0,即 /（工）+
5、/（工）=eJ ,ox oy解得 /（ j: ） = e dr + c J = （*尹 + C）e_J ,1 ex eJ再由 /（0） = 0 得 C =-9故 /（工）=- -，应选（E）.（5） 【答案】（C）.【解】【解】由PQ = O得厂（P） +厂（Q） W 3,当t H 6时厂（Q） = 2,则厂（P） f (0) + kjc ,于是 lim /(x ) = +.再由/(0) V 0得于(工)在(0, +oo)内至少有一个零点，因为fO k 0,所以/()在0, + oo)上严格递增，故零点是唯一的.(2)a6 b等价于 61n a a In 6 0.令/Xh) = xn a an
6、 x /(a ) = 0,fjc ) = In a- 0(j: a),x(/(a ) = 0 ,由( 得于(工) 0(z a ),ff (j; )0(z a),由 b a 得 /(&)0,故 a b。/2 0 0 严i七、【解】【解】令人=0 3 a ,X = jc2 9f = XtAX,n J /0 a 3 x 31993年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 5 页显然矩阵A的特征值为入i = 1,入2 = 2,入3 = 5,00由 | A | = 10 得 9 a2 = 5,解得 a = 2,即 A = 1 032o23-100由E-A =0-2由2E A =由5E A =00
7、00300_20_ 1-202-2规范化得rI I1 0_2 O 1 1o 0 o-2010-2_ 100/ oI1_ 20o20010得入1 = 1对应的特征向量为a,=寸1得入2 = 2对应的特征向量为a2 =00一 1得入3 = 5对应的特征向量为30eir21 r01101 0故正交矩阵为Q =01、逅八、【证明】显然厂(4B) = n ,0由 r(AB) r(A),r(AB) n.因为矩阵的秩不超过其行数及列数，所以r(A)n,r(B)W,于是r(B) = n.因为矩阵的秩与矩阵的行向量组的秩、列向量组的秩都相等，所以矩阵B的列向量组的秩为，故矩阵B 的列向量组线性无关.九、【解】
8、【解】 轨迹如右图所示.设在时刻位于点Q,y)处，则上式两边对工求导，得由于JCdP-d2v =ds dtdj?d7dy d7（1 + 说）一yX将上式代入( * )式，得到所求的微分方程为其初值条件为y L= -i =o,y |乂=一1 = 1.1993年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 5 页十、填空题（1）【答案】 V-0【解】 【解】 设A = 第一次取到正品,人2 = 第一次取到次品,8 = 第二次取到次品,If) 9 2 1P(AJ = =, P(A2) = , P(B | AJ = , P(B|A2)=右，则P(B) = P(AJP(B | AJ + P(A2)P(
9、B I A2)10 2 , 2 1 2 1=X-X 一 =12 11 12 11 12 6 |亠，0 4,(2)【答案】 477Io, 其他【解】【解】Fy(y) = PYy = PX? 川，当 y0 时,Fy(y) = 0 ；当 3-4 时，Fy(y) = 1;当 0 4 时,Fy(y) = P0 W X =心 = =学,Jo/ Z0,即 Fy (y) = V 字,、1，y 0,|丄0 3/ 4,故/(y)= 4Io, y $ 4,0 3/ 4,其他.+8H、【解】(l)E(X) = = 0,f+ f+由 ECX2) = x2 = x2 ex dx = F(3) = 2,得J -OO J 0
10、D(X) = E(X2) -：E(X)2 = 2.(2) Cov(X, |X | ) = E(X | X | ) E(X) E( | X | ),由 ECX | X | ) =J x | x f(j：)dx = 0,得 Cov(X , |X|) = 0,即 X 与 |X| 不相关.(3) 设F(jc,y)为(X, | X | )的联合分布函数，F(l,l) - PX 1, | X |W 1 = P 1 冬 X W 1 =亍也=1 一丄，Fx(l) = PX 1 = -yj e_|x| djc = * + * J。ex djc = 1 _ 舟,fl 1F I x I (1)= P | X | 1 = e_lx| Ax = 1-1 1 J o e因为F(l,l)HFx(l) F|x| (1),所以X与|X|不相互独立.1993年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 5 页
