《1995年全国硕士研究生考试数学（一）真题（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1995年全国硕士研究生考试数学（一）真题（含解析）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、01995年全国硕士研究生招生考试数学(一)(科目代码：301)一、 填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)2(1) lim(l +3工)砧= .d r(2) - x x cos t t2 2 AtAt = = . .cLcJ, -(3) 设( (a X X b)b) c=2?则(a + + b)b) X X (b+c) (c+a) =_.(4) 幕级数 ：。、”严的收敛半径R =_T 0(5) 设3阶方阵满足关系式ABAABA =6A + + BABA , ,且人=0 丄40 0二、 选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设有直线L： + 十十 及平面兀：4鼻一2夕+
2、 z 2 =0,则直线L( ).【2工 一 y y 一 10z + 3=0(A)平行于兀 (E)在兀上(C)垂直于TT (D)与7T斜交(2) 设在0,叮上厂Q) 0,则/(0),/(1),/(1) -/(0)或/(0) -/(I)的大小顺序为 ( ).(A) /Z(l) /(0) f(l) -/(0)(B) y(l) /(l) -f (0) /(0)(C) f (1) -/(o) /71) /7o)(D) y f(0)-/(l) y(0)(3) 设 _/(z)可导，F(z) f(.xf(.x )(1+| sin x | ),则/(0)= 0 是 F(z)在 z=0 处可导的( ).(A)充分
3、必要条件 (E)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件，则B =01_1995年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 9 页(4)设 u un n =( 1) ln( 1 +，则级数().(A)“”与工都收敛n = 1 n = 1oo oo(C)工“”收敛而工诉发散n = n = 1(E) A %”与“7都发散n = 1 n = 1/Qiia 12 Q13、如1(5)设 A 二a a 21a a22 a 23,B,B a 11a 31a a32 a 33a 31 + Q 1100P2 =010，则必有().0J J(D)工“”发散而工记收敛n
4、= ln = la 22a 23 10a 12a 131 ,P1 = 100a 32 + Q 12a 33 + a 13001(A)AP1P2 =b(OP1P2A =B=B三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)(B)AP2P1 =b(d)p2p1a =b(1)设“ =fGfG ,y,y ,z),z) ,(p(jc,(p(jcz z ,e,ey y ,z) = 0,y = sin工，其中于,卩都具有一阶连续的偏导数，且萨H 0,求竟(2)设函数八工)在区间0,1上连续，并设11fCx)dxfCx)dx = A,求drQ)/(y)dy. Jo Jo J x四、(本题共2小题，毎小题6分，满分
5、12分)(1)计算曲面积分jpdS，其中工为锥面z z = = J J工“ + 在柱体jcz + + y y2 2 2 2工内的部分.(2)将函数/(工)=工一1(0 工 2)展开成周期为4的余弦级数.1995年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 9 页五、（本题满分7分）设曲线L位于工0夕平面的第一象限内丄上任一点M处的切线与夕轴总相交，交点记为A.已知顾 =OA=OA 且L过点,求L的方程.六、（本题满分8分）设函数QQ）在工平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分J/Qdz+QCz,，）与路径r(“i) r(i,t)无关，并且对任意/恒有 | 2pdz +Q(z,y)d；y=| 2
6、xydx2xydx +QQ,y)dy,求 Q(z,y).J (0,0) J (0,0)七、（本题满分8分）设函数 /（J7 ） ） ,g,g（ （j j： ：）在a,b上存在二阶导数，并且 g（z） H 0, f f（ （a a ） = = f f（ （b b） ） = g（a）= g g （ （b b） ） =0,试证：（1） 在开区间（ （a a ,b,b）内g（H）工0;（2） 在开区间a,ba,b）内至少存在一点w,使广票=厶黑.g（W） g g （ （W W） ）八、（本题满分7分）设3阶实对称矩阵A的特征值为心=1,入2 =入3 =1，对应于入1的特征向量为1 = （0,1,1）T
7、,求 A.1995年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 9 页九、（本题满分6分）设A是九阶矩阵，满足AAt=E（E为n n阶单位矩阵,为A的转置矩阵），|A|0 =y,Fx 0 =py o =y,nijP P max（X，Y） 0 =_十一、（本题满分6分）仏一工 g 0设随机变量X的概率密度为/xQ）= ，求随机变量Y= ex的概率密度f fY Y（ （yyIO9 工 V O91995年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 9 页1995年数学(一)真题解析一、填空题(1) 【答案】e6.2 6工【 【解解】lim(l + 3x) =lim CC1 + 3J；)57
8、x-* 0 x-0(2) 【答案】 一costd/ 2j:2cos j;4 .J 0【 【解解】 】px2COS 厂 & ) = Jcos t2 At 2x2 cos jc4.(3)【答案】4.【 【解解】(a + b)X(b +c) (c + a) = (a X b + a Xc + bXc) (c + a)=(a X b) c + (b X c) a = 2(a X &) c = 4.(4) 【答案】罷.【 【解解】 】 由lim I I = lim 十】卄】；：卄1 得收敛半径R = 43”f | a I ”一8 n Z 十(一3) o/3 0 0(5) 【答案】 0 2 0o 0 1【
9、 【解解】 】 由A 1 BA = 6A+BA得B4 = 6A2 + ABA，然后右乘人一】得B = 6A +AB,解得 =6(E -A)_1A = 6AT(jEA)】=6(A_1 - EK1 ,0$0由AT E =30 ，得(AT E)To06，二、选择题(1)【答案】(C).丄 I0013 0 00 2 00 0 1丄 I，故B =00 06【 【解解】 】 直线L的方向向量为 = 1,3,2 X 2, 1, 10 = 28,14,7=74, 2,1,因为平面7T的法向量平行于L的方向向量，所以L丄7T,选(C)(2)【答案】(E).【 【解解】 】 由拉格朗日中值定理得/(1)-/(0)
10、 = /(c),其中0 Vc V 1,由f3 0得fO 单调递增，再由0 V c V 1得/(I) /(c) /(0),应选(E).(3)【答案】(A).【 【解解】FL (0)XXF(h) F (0) /(x ) (1 sin x )f (0)lim - = lim -x-0_ X xOF； (0) = limT f 0十了(h )于(0) _ fQ). sin JC x=limx-0F(h)F(0) /(x ) (1 + sin x )/(0)-=lim -工 o+JCX1995年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 9 页+ /*()=/(0) + /(0),=lim心)一/(
11、O) 丄卡L 工FQ)在z = 0处可导的充分必要条件是(0) /(0) = y(0) + f (0),即/(0) = 0, 即/(0) = 0是F(z)在工=0处可导的充分必要条件，应选(A).(4) 【答案】(C).【 【解解】 】 由单调递减且limln(l+*) = 0得”收敛，/ 1 1 I 8由山=ln2 1 + 且工丄发散得工山发散，应选(C). Vt? n ” = j n ” =(5) 【答案】(C).【 【解解】 】 将A的第1行加到第3行，再将第1行与第2行对调得B,即/1Z10B =010 A =PxP2A,应选(C)o00J三、(1)【 【解解】 】U=z)两边对X求导
12、得axdy d7+几伴。(工2,e，,z) = 0两边对x求导得2工认+ ?； 卍警+甲； = 0,又y = sin无,竺=ax故 = f +/； .cosx-/；伽帀 dz (p 9； sinxcos x，解得丁 = lx -e cos x ,dz 卩3 卩301 丄 2 sinj ex H-e cos x j 卩3 卩3 7(2)【 【解解】方法一令FQ) =/(ndF(l) = A,则0ida: I /(j; )/(j/ )dj/ o J工= Jo/(z)clrJ _/(y)d_y=/(无)F(1) F(h )dz J 0A I f(x )dj?J o .f (j：)F(j: )djc
13、= A201F(x)dF(：)0iA2 - *严(乂)o十.方法二1 fl flI /Xz )f(y )dy =Lf fCy)dy,J 0又 f(y)dy = dy /(z (y )dz = J o J X Jo Jo0(lr f(y)f(x)dy0000=)dz y(y)dy ,于是 2djJ /(z)y(y )dy = /(乂)dz /(y)dy+/(z)d_r /(y)dy= Jo/(x)djr | f(y)dy -0002=f(x )dz0故。山f(T)f(.y)dy = -yA2.011995年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 6 页，共 9 页四、(1)【 【解解】1 ：z =
14、Vx2 + y2，其中x2 + y2 W 2无，dz dxJCdzVx2 +y2， dy1+厶+注/+/W2工zdS = JJ J工? +)2 =施 dfr =善血 Ji 曲加& = yV2 TCOS30d = 施.(2)【 【解解】 】 将/(工)进行偶延拓再进行周期延拓，则V JC2 +2 2 dz dy则Go2/(j： )dj?=02(z l)dj? = 0oa72 7TJ7f(x )cos-Ajc = o 2Yi 7r jr(z - l)cos 宁dz o 2=f (z - 1 )d(sin n 7rJ o n remtjc22 . 八.nnx= 1; sin - rm 2yVx2 +
15、 y2o92 . nitxsin -dje o 2b4 mix 苕cos2 4=T7( 1) _ 叮=0 n 7T1,2,3,，则0,8 I2 n 7：n = 2,4,6,，n = 1,3,5 ,90 x 18/1 tzjc . 1 3兀工.1 5兀攵. *亠 / 一门-J cos + 尹 cos + 尹 a Y -)，其中 0 W 工 W 2.527t五、【 【解解】 】 设M (hq)为L上的任意一点，L上M处的切线方程为 Y y = j/(X 工儿 令 X = 0 得 Y = y xyr，即 A (0 ,夕一xyf) 9| MA | = jc 丿+ j/?I OA = y xyr,由 =
16、 oa i,有化简后得y xyf | = a/(j: 0)2 + (j/+ xyfY , 3/ +工2 =0.h 人 2 /口 dz z再令z = y，得-=X ,QJC X解得z即e险dr +Cx2 + Cjc X ( H + C) 9由于所求曲线在第一象限内，知y 0,故y = / Cjc x2将已知条件y(*) = *代入上式，得C = 3,于是曲线方程为y = J玉工 _ 无2 (0 V z V 3).六、【解】由戶皿+QCz,y)旳与路径无关得薯=2乂，则Q()=工+ 3,(z,l)(0,0)2jcy(jc + Q(j; =Odx + _t2 + p(y)2dy = t2 + (p(y)dy , o Jo Jo001995年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 7 页，共 9 页(l,i) fl p2zy(y)dy=t2 +1 (t) = 2t 1,J o故 Q（z,y） jc2 2y 1.七、【证明】（1）（反证法）设存在c E（a,b）,使得g（c） = 0,由罗尔定理，存在 5 e （a,c）,$2 e （c,6）,使得 g（5）= g（W2）= o, 再由罗尔定理，存在
