《1989年全国硕士研究生考试数学（一）真题（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1989年全国硕士研究生考试数学（一）真题（含解析）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1989年全国硕士研究生招生考试数学(一)(科目代码：301)一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 已知 厂(3) =2,则恤八3_策_3)=h_oh_o ZnZn(2) 设/(工)是连续函数，且广(工)=2十2 则f(z)= .J 0(3) 设平面曲线L为下半圆y y = = J J 一 x x1 1，则曲线积分J (j:2 + j/2 )ds =_.(4) 向量场 u(xu(x ,y,y ,z),z) jcyjcy2 2i i yeyez zj j ln(l + z2 )k)k 在点(1,1,0)处的散度 div u u = =_./3 0 0/I 0(5)设矩阵A=
2、1 4 0,E,E = =0 1 0，则逆矩阵(A -2E)0 0 3300 r二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 当 20 时，曲线 y y = = j; sin 丄( ).x x(A) 有且仅有水平渐近线(B) 有且仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线，也有铅直渐近线(D) 既无水平渐近线，也无铅直渐近线(2) 已知曲面z=4 / J/上点P处的切平面平行于平面2工+ 2夕+ z 1 = 0,则点P的坐标为( ).(A)(l, -1,2) (B)(- 1,1,2)(0(1,1,2) (D)(- 1, 1,2)(3) 设线性无关的函数，夕2 夕3都是二阶非齐次线性微分方
3、程yy + + p=fGp=fG ) ) 的特解,C1?C2为任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为( ).(A)C1j/1 +C23/2(E) G_yi + C C2 2y y2 2 (Ci + C2 )3(OCqi + C2j/2 (1 一Ci C2 )j/3(D)C1j/1 + C C2 2y y2 2 + (1 Ci C C2 2 )y)y3 31989年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 9 页(4) 设函数 /(j：) = 2 (0 j; V l),S(z)=另 b” sin n ( 00 V 工 V+ ),其中n = 1b b =2 j /Xz )sin 兀 zdz
4、 ( = 1,2,)，则3(-)=( ).(A)_ 当 (B) -4- (C) 3 (D) 22 4 4 2(5) 设A为4阶矩阵，且| A | = 0,则A中( ).(A) 必有一列元素全为0(B) 必有两列元素对应成比例(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)(1)设z z = = f f2 2工y)+g(z,zy),其中二阶可导， ，g(“， ，p)具有二阶连续偏导数，求djcdjc dydy(2)设曲线积分f xyxy2 2 da:da: (px(px )ydy)ydy与路径无关9其中卩(工)具有连续
5、的导数，且爭(0) =0, J c cr(i,i)计算 jcyjcy2 2(x(x 的值.J (0,0)(3)计算三重积分(jc +z)dv+z)dv ,其中0是由z =Vx=Vx2 2 + + y y2 2与z =1 x x2 2 y2y2所围成的区域.n1989年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 9 页四、（本题满分6分）1 I y将函数于（工）=arctan尸三 展开成工的幕级数.1 X五、（本题满分7分）设于（2 ） = sin x x 1-Of（r）dn其中/（）为连续函数，求/Q）.0六、（本题满分7分）证明：方程In工=-f /1 cos 2工dxdx在区间（0?
6、+ ）内有且仅有两个不同的实根.e J o七、（本题满分6分）Z 1 + 工3 =入，问A为何值时，线性方程组丿4孙+厂+2g =入+2,有解，并求出解的一般形式.1 + g 2 + 4z 3 = 2入 + 31989年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 9 页八、(本题满分8分)设入为n n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明:(1) _为A】的特征值；人(2) 字为A的伴随矩阵A *的特征值.人九、(本题满分9分)设半径为R的球面丫的球心在定球面:2 2 +y+y2 2+z+z2 2 =a=a2 2(a(a 0)上，问当R取何值时，球 面工位于定球面内部的那部分面积最大？十、填空题(
7、本题共3小题，每小题2分，满分6分)(1) 已知随机事件A的概率P(A)=0. 5,随机事件B的概率P(E)=0. 6,以及条件概率P(BP(B | A) =0.8,则 P(AP(A U B) =_.(2) 甲、乙两人独立对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,已知目标被击中，则它是甲击中的概率为_.(3) 若随机变量在(1,6)上服从均匀分布，则方程工2+%十1=0有实根的概率为_.十一、(本题满分6分)设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1、标准差为施的正态分布，而Y服从标准正 态分布，试求随机变量Z =2X Y + 3的概率密度函数.1989年全国硕士研究生考试数学（一）真题第
8、 4 页，共 9 页1989年数学（一）真题解析、填空题（1）【答案】一12hA0/(3-A)-/(3)=_|/(3) = _l-h（2）【答案】z 1.【 【解解】 】令A =|q)cLz,则/(x) = x +2A,对此等式两边从0到1积分得A = + 2A ,Jo Z解得A =，故/（工）=x 1.（3）【答案】7T.【 【解解】方法一(工？ 4- y2 )ds = dsL J L7T lx = COS t ,方法二 令 （兀/冬2兀），则y = sin tJ (x2 + j/2 )ds(cos2Z +sin21)5/( sin t)2 +cos2Z dt = 7r.（4）【答案】2.【
9、 【解解】 】由 div u =d(j：y2) 3(yez ) 3_x ln(l + z2 )Ojc 3y dz2xz1+z2y2+ b +2.得 div uI （1,1,0）（5）【答案】一斗【 【解解】方法一0010T01I10A 一2E=120o0J由1100 0 : 12 0 : 00 1 : 0010001o0200 10 02 0:1000i 一 i1o卜010:00JI011120o，得J1 0 (A 2E)T = -4- 4- 0220 0 1方法二I1A-2E = 1o020，其中 =cC） ） 1) ,C = (1),2/1由(B E)=1_ 101丄71989年全国硕士研
10、究生考试数学（一）真题第 5 页，共 9 页1 0 0 丄丄0 2 20 0 1二、选择题【答案】（A）.1sin 【 【解解】 】 由limxsin 一 = lim 产 = 1,得；y = 1为水平渐近线；工 fOO X X-* 1（1） 【 【解解】 】 字字=2厂厂+ + g； + yg；, - = f + xgxz+gi + xygzz-djc djcdy（2） 【 【解解】 】 方法一 P = xy1 2 , Q = p（H）y 9因为曲线积分与路径无关，所以薯=碧，即卩Q）= 2乂， 解得卩（无）=x2 + C,由卩（0） = 0得C = O9故申（工）=x2 ；r（ （i,i）
11、） ri fi xy2dx +（p（.x）ydy = xy2dx + x2 ydy = Odw + ydy = J （ （o,o） ） J （ （o,o） ） J o J o Zr由limzsin丄=0,得曲线y =工sin丄 无铅直渐近线，应选（A）.X-* 0 JC JC（2） 【答案】（C）.【 【解解】 】 设点P的坐标为（工。，了。，4 亦一式），该点法向量为n = 2乂。，2%,1,由= +得工0 = I，% = 1,故所求的点为（1,1,2）,应选（C）.（3） 【答案】（D）.【 【解解】 】 显然小一3，23为y + p（H）y + g（z）y = 0的两个线性无关解，故 y
12、 + p（z）y + gQ）y = /（工）的通解为y = Ci ，3）+C2（y23）+$3 = Gy】+ C2y2 + （1 C! C2 ）y3应选（D）.（4） 【答案】（B）.【 【解解】 】 对/（工）进行奇延拓，将/Q）展成正弦级数，则S（*） = -S（y ），因为工=*为函数/Q）的连续点，所以S = （*） = /（y） = +，故S（-y） = _*，应选（B）.（5）【答案】（C）.【 【解解】 】 方法一 因为|A| = 0,所以r（A） 4,从而矩阵A的列向量组线性相关，即必有一列可由其余0列线性表示，应选（C）.401方法二 取A =o110000000，显然 |
13、A | = 0,01.矩阵A任何一列元素都不全为零，任何两列都不成比例，第4列不是第1,2,3列的线性组合，即排除 （A）（B）（D）,应选（C）.1989年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 6 页，共 9 页方法二 P = xy2 ,Q =（pxy j由箸=診得）=2工，解得卩（工）=x2 C,由卩（0） = 0得C = 0,故卩（工）=x2（1,1）(1,1)xy2 dx (px)ydy = (0,0)(0,0)jcy2 djc x2 ydy =(1,1)(0,0)iz 1 2 2 _ 1 2 2d(牙H y ) = X y( (i,i) )(0,0)1_（3）【解】方法一由Vr2+y2
14、 = 得。在工Oy平面上的投影区域为D ：2+j2 y,由对称性得业Q乂 du = 0 9于是n5/ l-x2y2QZ zdzzdv = jj dj? dj,n d=訝(1 2兴一20d_zdy =( * 工D DJ o J 02 A? ) ctrdy01方法二jc dv =。即 jjjQ +z)du =JC令由对称性得业 n=rcos Osin cp ,=rsin Osin 卩，(002兀,0卩于，0厂1) 9 则Z=rcos (p0rcos (p r2 sin cpdro2兀4 cos cp sin or3dr = -sin;0 2 2122(PT 7To = T四、【解】fjc ）=-1
15、 +(12)+ (1+工)證）11+jc2(1 H )2fx)的幕级数为 f S = ( 1)八(_ 1 Sd心于+ 缶八注意到乂 = 1时/（）有定义且级数手+ 宀 收敛，4 =0 2 + 100 /_ -I n故 /（X）关于工的無级数为y（z） = + S T1r2n+1（-Kx 0；当R 时，器 VO,故当R = -a时Q位于定球面内的面积最大.3 aK 3 dK 3十、填空题(1)【答案】0.7.【 【解解】 】由 P(B | A) = 0.8,即P(AB)P(A)=0. 8 得 P(AB) = 0. 4,于是 P(AUB)= P(A)+ P(B) P(AB) = 0.5 + 0.
16、6-0. 4 = 0.7.(2)【答案】0.75.【 【解解】 】 设A = 甲命中目标, B = 乙命中目标, C=目标被命中,P(A) = 0. 6,P(B) = 0. 5,且 C = A + B,则P(A | C)=P(AC)P(C)P(A)P(A+B)P(A)=P(A) + P(B) - P(A)P(B)(3)【答案】0.&0. 60. 6 + 0. 5 - 0. 3=0. 75.【 【解解】随机变量g的概率密度为/(x) = 5Io,其他，当 = 240,即WW2或时，方程d +自+ 1 = 0有实根，6 1则方程x2 + + 1 = 0有实根的概率为PM2 = j dj： = 0. &十一、【解】因为相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，所以随机变量Z = 2X Y+3服从正态分布，又因为 E(Z) = 2E(X) E(Y) + 3 = 5, D(Z) = 4D(X) + D(Y) = 9,所以ZN(5,32), 52故随机变量z的概率密度为fz(z) = , _oo 2 + oo.3 7271989年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 9 页，共 9 页
