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1、复数题型归纳（总2 北师大版数学选修2-2第五章数系的扩充与复数的引入自我总结卷一、选择题：1、复数 z = l + i (i 是虚数单位 ) ，则复数 (z + l)(z-1)虚部是 () 【答案】 D A、-l+2i B 、 -1 C、 2iD、 2 1、0 是复数 +勿为纯虚数的 ( ) 【答案】 BA、充分条件B、必要条件C、充要条件 D、非充分非必要条件1、已知复数石 =3 + 4i, z2 =/ + /,且石 ?云是实数，则实数/ 等于( A )? 期中考试题4 3 C* 3 D* 4 解析A - =(3+4i)(e-i) = (3e+4) + (4e-3)i.因为戲?二是实敛，所
2、以4e-3=0, 所以 e=|. 因此选人1、若复数 (肿一 3 协-4) +伽 2 一 5 加- 6” 是虚数，则实数加满足 () 【答案】 D(A) ?工一 1 (B) ffi6 (C)也工一 1 或？工 6 (D)也工一 1 且m丰6 1、若GGGC,则勺 ?乙 2 + XZ2 是() 【答案】 BA 纯虚数 B 实数 C 虚数 D 无法确定3 K 若(X2-1) + (X2+3X + 2)Z是纯虚数 , 则实数 *的值是 ()【答案】 A1. A 1 B -1 C 1 D 以上都不对已知复数心 , 若壬为实数 , 则实如的值为 ( )【答案】B.-2 D. 2. i 表示虚数单位，则+
3、”+户+严?的值是 ( ?3答案 A2x A. 0 B. 1 C- iD. 已知 z = - ￥，则 1 +尹+严的值为 (A A、B、C、 2+i4 3.在复平面内，若复数满足收+ 1 曰込- 八，则所对应的点的集合构成的图形3、lz + 3 + 4/l/2 B. 22 + 1 C. 2迈D? V2 3.如果复数 N满足|z+i| + |zi| =2,那么| z+1 + iI 的最小值是（）?J -A. 1 C. 2 解析|z+i| + |zi|=2,则点 Z 在以（0,1）和（0, 1）为端点的线段 , lz+1 + il 表示点 Z 到（一 1, 一 1）的距离 . 由图知最小值为 1?
4、答案 A 3.若同=2且|z + /| = |z-l|,则复数 : 二 z = 72（1 -/）或乙=-迈（1-。3.如果 zwC,且|z| = l,则的最大值为 _ 【答2、复数誌等于（）答案： BC. 1-岛D. -1- 孙2、复数（工尸的值是（）1+ZA?一 1 B?1 【答案】 AC. 32 D. -32 2、已知f则+的值为X XA -1 B 1 C -/ 【答案】 A2、f（n） = in（neN的值域中，元素的个数是（B ）A、 2 B、 3 C 4 D 无数个5 案】岳 +12 2 6 3-若 zeC且迂+ 2-2门=1,则迂- 2-2门的最小值是（）答案：B A. 2 B.
5、3 C? 4 D? 5 3.已知复数 Z = x+yi （x, ye/? , x i ）,满足比 -1| =兀，那么 z 在复平面上对应的点 （x,y）的轨迹是（ ）.A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析 Vz=x+yi （x, yGR, Q*） 满足zl=x9/? （xl）a+y=x 故 2y/3B D、）【答案】 A第四象限A、B、C、4 + 3, D、rf- 2 2 7 A 2cos -2 cos C 2sin D 2tan? 5、MS = 1 + cos a + i sin a,(;ra 2/r)的模是(B 8 6.若复数巳（i 是虚数单位）的实部和虚部相等，则实数a等于（）【答 2
6、 + i案】D A. 1 B. C. D. 3 3 3 6.已知复数 Z, =3-/7/,z2 =1-2/.若乞是实数，则实数方的值为（）【答案】A sA. 6 B. -6 C- 0 D.- 6 7.对于两个复数 a = -l + Z,卩=一卜有下列四个结论：ap = l；= 3+2i 的复数 z 等于.6. 2 + i + 1-2/ A. i B. 2i 6?复的虚部是（）A. 2B. -26. (1 + 2/)2 (2-/)21-z 1 + / 等于（【答案】 CD.- 5 【答案】 BC? 2/ D. -2z 【答案】 BA. 3-4/ B. -3 + 4/ C. 3 + 4/ D. 3
7、 4/ g=l;小+宀 1,其中正确的结论的个数为（）【答案】 BA. C. 3 B?2 7.下面是关于复数 z = Z 的四个命题 : 1-/D. 4 【答案】 CPi ：同=2, 其中真命题为（戸肱的共轨复数为 -1 + i几：z的虚部为 1B. P2C. D. 8.若复数 z满足方程Z2+2 = 0,A. 2迈B. -2V2 则的值为（）C. 2/ 【答案】 C12.定义运算= adbcy 则对复数z=x+yi (x, D. -2 厲 /Z 1 z 2i yGR）符合条件9 3+2i -l-2i 1 8. - = - 1-1+21 -l-2i 5 5 1 8. i 5 51二. 填空题：
8、1. 若复数 z = 2t2-3t-2 + (t2-4)i(teR)为纯虚数，则 t 的值为 _ 【答案】2 2. 已知 i 为虚数单位，复数z =,则丨 z 丨= 【答案】1-i 3. 若 i 为虚数单位，则复数匕 = _ ?【答案】 1-2,1 + Z 4. 己知$ = 1-加，其中 是实数，是虚数单位，则m-ni=【答案】2-i5. 若(a-2i)i = b-i , 其中 a,bwR, i是虚数单位，复数a+bi =【答案】 -1 + 27 6. 若复数( 代心 j 为虚数单位 )是纯虚数，则实数 的值为1 + 2? 【答案】 -67. 设 3 = +耳i,则集合 k=xx = cok+
9、co-k(keZ)中元素的个数是2。8.已知复数勺 =2- 讥 2=1-3几则复数丄 +乍=/ 勺 5 - 三、解答题 : 【复数的分类问题】解析由定义运算，得3+2i -l+2i 答案9、计算: 答案：冷 +字10 1、实数川取什么值时，复数z = m(m-)+(rn-V)i 是(I )实数(U)纯虚数(ID)虚数 【答案】 (1) m=l m=0 2、己知复数 z = (2r+3 血一 2) + (+加一 2)i , (meR)根据下列条件，求加值. (I) z 是实数；(U) z 是虚数； on) z是纯虚数；(iv)z=o. 【答案】当m:+m2=0?即m=2或时.z为实数：(2)当即
10、mH 2且mHl时，z为虚数 ;m =或 m = -2 2 m 工一 2 且 m H 1 即m二丄时，z为纯虚数：2 2m2 + 3m -2 = 0 (3)当7，解得彳irr + m 2 H 0 2 in2 +3m-2 = 当?rrr + m 2 = 0 m =或 m = -2 2 即m=2 时，z=0. 3. 取何值时 , 复数气罟+ ( (I)是实数 ; (II) 是纯虚数 . 【答案】(1)叶2w-15 = 0 w+3 0 二当加二是实数11 nr -2/7?-15 H 0 (2) m = 3或加=-2 nr - m - 6 = 0 ?半12 = 3或加=一 211寸，z 是纯虚数 .
11、4、设复数 Z = lg(/n2 -2m-2)+(m2 +3/n + 2),当加取何实数时 ?z是纯虚数 ; (U) z 对应的点位于复平面的第二象限。【答案】(1)z是纯虚数当且仅当解得，in = 3(2)由lg(/n2一 2加一2)0 12 一 1 v 加 v 1 或 1 + v v 3 m -1所以当一1 V 1 J了或 1 + V3 7/7 Z = co(2 + z) = (x + yz)(2 + /) = l+7i 或= -l-7io 解法 3: 解之得 F或产 ,14 化简得，所以有 Z-Z = o 或 1乙-1卩=13 由 Z Z = 0 得 x = 0 ；由 I z -1F =
12、 13 得 x = -2, = 3。所以“0; “-2-2 胶= 3 + 3,. （也可以直接用代数形式带入运算）7、求同时满足下列两个条件的所有复数；（1） Z + -eRf且 lz + -6；（2）的实部与虚部都是整数。解：设 z = 则10 ?10 ?10（% 刃）八 10 、Z1 10 、?z + = x+w + - =x + yi +；=x（l+ ）+ ）（1 一； ）/ Z x + yix + y +）厂x? + y?因为z +!2e/?,所以 y（l-U） = 0o 所以）， =0PV + K=10O 乙f + y y = 0 时，z = x,又 lz + 2/106,所以在实数
13、范围内无解。当疋 +），= 10 时，贝 z + = z + = z + z = 2xo 由Z Z 1 2x - x 3 2 因为为正整数，所以X 的值为 1,或 2,或 3。当 X = 1 时,= 3;当/ = 时, ，=石（舍）；当 x = My = lo 则 z = l 3i 或, z = 3土 j o 【根的问题】15 x = -6 . x = 8 或0 = z_ s + s K 关于 x 的方程是 x2-(tan + /)x-(2 + 0 = 0；若方程有实数根，求锐角&和实数根; 解：设实数根是0,则/-(tan& + ?-(2 + 0 = 0, 即 a -atan&-2 a +
14、l)z = 0 , ?/ a、tan0 e R , a2 - a tan -2 = 0, a + l = O; /. “ = 一 1,且 tan0 = 1 T X0 C ,对应的复数分别为过 A. B、C 做平行四边形 ABCD ,求此平行四边形的对角线BD 的长。解：山题知平行四边形三顶点坐标为q(0)( l,0),C(4,2),设 D 点的坐标为 _ _ _ 、? 一4 =D(x,y) o 因为丽 =丽，得 (-lJ) = (x-4,y-2), 得一 一得 y-2 = l. x = 3 _(x-l)-2-7(y-2) = 0 阿=AB = /53 =5/U-l)2+(y2)2=y/5312
15、 【答案】 A【向量计算】I12 12 I12 在复平面上 , 山ZBC = Z而d Zc _ Z?B16 3、在复平面内，。是原点，OA, OC,而表示的复数分别为那么就表示的复数为4-4i如图在复平而上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1 + 2/, -2 +几 0,那么这解析0r=Qi+加=l + 2i-2 + i = -l + 3i,所以 Q对应的复数为一l + 3i?答案 D 【杂乱】解：(1 + 20?严+() 52(嶂)20 = (l+2O-l+(-O52-i,0=(1 + 7)2-/10 = 1 + 2/ 2、已知复数召 =加 + (4 加，)i, (me/?) , z2 = 2cos+ (2 + 3sin0)i,(入, 并且 Zj = z2求几的取值范围。消去 m 可得: 几= 4sin & -3sin& = 4(sin&- 。)2, 由于一 lSsin&Sl , itt- A 7. 8 16 16 ZD =8 + 4/ /c = 10-3/ 4. 个正方形的第四个顶点对应的复数为（). A. 3+i B?3-i C. l-3i D. -l + 3i 1、计算（1 + 2/）?严 +（号）讦 _（弓严ym = 2 cos 8 4 一加 =2 + 3sin&
