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1、精选优质文档-倾情为你奉上空间向量与立体几何典型例题一、选择题：1(2008全国卷理)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ C ）AB CD1.解：C由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高（即点到底面的距离），故与底面所成角的正弦值为.另解：设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为长度均为，平面的法向量为,则与底面所成角的正弦值为.二、填空题：1(2008全国卷理)等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 1题图（1）1.答案：.设，作，则，为二面角的平面角，结合等边三角形与正方形可知此四棱锥
2、为正四棱锥，则,1题图（2）故所成角的余弦值另解：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点,则,故所成角的余弦值.三、解答题：1（2008安徽文）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，, , ,为的中点。（）求异面直线AB与MD所成角的大小；（）求点B到平面OCD的距离。1方法一（综合法）（1） 为异面直线与所成的角（或其补角）作连接，所以 与所成角的大小为（）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 于点Q，又 , 线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，所以点B到平面OCD的距离为方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设与所
3、成的角为, , 与所成角的大小为(2) 设平面OCD的法向量为,则即 取,解得设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, , .所以点B到平面OCD的距离为2（2008安徽理）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点。（）证明：直线；（）求异面直线AB与MD所成角的大小； （）求点B到平面OCD的距离。2 方法一（综合法） （1）取OB中点E，连接ME，NE又 （2） 为异面直线与所成的角（或其补角）作连接， 所以 与所成角的大小为（3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 于点Q，又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，所以点B
4、到平面OCD的距离为方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设平面OCD的法向量为,则即 取,解得(2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(3)设点B到平面OCD的交流为,则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为3（2008北京文）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，ACB=90，AP=BP=AB，PCAC.（）求证：PCAB；（）求二面角B-AP-C的大小.3解法一：（）取AB中点D，连结PD，CD.AP=BP，PDAB.AC=BC.CDAB.PDCDD.AB平面PCD.PC平面PCD，PCAB.（）AC=
5、BC,AP=BP,APCBPC.又PCAC，PCBC.又ACB90，即ACBC，且ACPC=C，ABBP，BEAP.EC是BE在平面PAC内的射影，CEAP.BEC是二面角B-AP-C的平面角.在BCE中，BCE=90,BC=2,BE=，sinBEC=二面角B-AP-C的大小为aresin解法二：（）AC=BC,AP=BP,APCBPC.又PCAC.PCBC.ACBC=C,PC平面ABC.AB平面ABC，PCAB. ()如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.设P（0，0，t）,PB=AB2，t=2,P(0,0,2).取AP中点E，
6、连结BE，CE.AC=PC,AB=BP,CEAP,BEAP.BEC是二面角B-AP-C的平面角.E(0,1,1),cosBEC=二面角B-AP-C的大小为arccosACBDP4（2008北京理）如图，在三棱锥中，（）求证：；（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离4解法一：（）取中点，连结，平面平面，ACBEP（），又，又，即，且，平面取中点连结，是在平面内的射影，是二面角的平面角在中，ACBDPH二面角的大小为（）由（）知平面，平面平面过作，垂足为平面平面，平面的长即为点到平面的距离由（）知，又，且，平面平面，在中， 点到平面的距离为解法二：（），又，平面平面，（）如图，以为原点建立空间直
7、角坐标系ACBPzxyHE则设，取中点，连结，是二面角的平面角，二面角的大小为（），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离如（）建立空间直角坐标系，点的坐标为 点到平面的距离为5 (2008福建文) 如图，在四棱锥中，侧面PAD底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BCAD,ABCD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。（1）求证：PO平面ABCD;（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）求点A到平面PCD的距离5.解：如图，A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)所以所以异面直线所成的角的余弦值为
8、：(2)设平面PCD的法向量为，所以 ；令x=1,则y=z=1,所以 又则，点A到平面PCD的距离为：6(2008福建理) 如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.（）求证：PO平面ABCD；（）求异面直线PD与CD所成角的大小；（）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.6本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.解法一：（）证明：在P
9、AD中PA=PD,O为AD中点，所以POAD,又侧面PAD底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，所以PO平面ABCD.（）连结BO，在直角梯形ABCD中、BCAD，AD=2AB=2BC,有ODBC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，所以OBDC.由（）知，POOB,PBO为锐角，所以PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD=2AB=2BC=2,在RtAOB中，AB=1,AO=1,所以OB，在RtPOA中，因为AP，AO1，所以OP1，在RtPBO中，tanPBO所以异面直线PB与CD所成的角是.（）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为.设QDx，则，由（）得CD
10、=OB=，在RtPOC中， 所以PC=CD=DP, 由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时.解法二：()同解法一.()以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 所以所以异面直线PB与CD所成的角是arccos， ()假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，由()知设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).则所以即，取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).设由，得解y=-或y=(舍去)，此时，所以存
11、在点Q满足题意，此时.7、(2008海南、宁夏理)如图，已知点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，PDA=60。（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。7解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系则，连结，在平面中，延长交于设，由已知，由可得ABCDPxyzH解得，所以（）因为，所以即与所成的角为（）平面的一个法向量是因为，所以可得与平面所成的角为8. (2008湖北文)如图，在直三棱柱中，平面侧面 （）求证： （）若，直线AC与平面所成的角为， 二面角8.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力和推
12、理论证能力.（满分12分） ()证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D，则由平面A1BC侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1A1B，得AD平面A1BC.又BC平面A1BC所以ADBC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,则AA1底面ABC,所以AA1BC.又AA1AD=A,从而BC侧面A1ABB1,又AB侧面A1ABB1，故ABBC. ()证法1：连接CD,则由()知ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，ABA1就是二面角A1BCA的颊角，即ACD，ABA1=j. 于是在RtADC中，sin=,在RtADA1中，sinAA1D, sin=sinAA1D,由于与AA1D都是锐角，所以AA1D. 又由RtA1AB知，AA1DjAA1Bj，故j. 证法2：由()知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=c（ca，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),A1(0,c,a)，于是，（0，c,a）,=(0,c,a)设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),则由可取n
