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1、2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第一册)第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式【知识导学】一：基本不等式1如果a0，b0，当且仅当ab时，等号成立其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数2变形：ab2，a，bR，当且仅当ab时，等号成立ab2，a，b都是正数，当且仅当ab时，等号成立规律与方法：1.对公式及的理解.（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.2.由公式和可以引申出常用的常用结论：（1）（同号）；（2）（异号）；（3
2、）或.二：基本不等式的证明方法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，我们用、分别代替、，可得：如果，则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，（当且仅当时取等号“=”）方法二：代数法 ，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.三：用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值
3、时，应具备三个条件：一正二定三等. 一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； 三等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.规律与方法：1两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而是不成立的.2两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.当a=b取等号，其含义是；仅当a=b取等号，其含义是.综合上述两条，a=b是的充要条件.3基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若
4、对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.4利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：各项都是正数；和（或积）为定值；各项能取得相等的值.【考题透析】透析题组一：基本不等式的内容及其注意1（2021北京一七一中高二月考）若，则下列不等式中正确的是（ ）ABCD2（2020上海市松江一中高一期中）三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（ ）A如果，那么；B如果，那么；C对任意实数和，有，当且仅当时等号成立；D如果，那么3（2021全国高一课时练习）已知，且，那么（ ）A
5、BCD透析题组二：由基本不等式证明或比较不等式的大小4（2021广东）若，则下面结论正确的有（ ）AB若，则 C若，则D若，则有最大值5（2020三亚华侨学校高一期中）设（、为互不相等的正实数），则与的大小关系是（ ）ABCD6（2021全国高一专题练习）下列说法中错误的是（ ）A不等式恒成立B若，则C若，满足，则D存在，使得成立透析题组三：基本不等式求积的最大值7（2021云南省玉溪第一中学高一月考）已知，且，则的最大值是（ ）A1BC3D58（2021全国高一专题练习）若，则的最大值是（ ）ABCD9（2021全国高一专题练习）已知，且，则下列结论中正确的是（ ）A有最小值4B有最小值C有
6、最大值D有最大值2透析题组四：基本不等式求和的最小值10（2021河北张家口高一期末）已知，且，则的最小值为（ ）A4B9C10D1211（2020铜山启星中学高一月考）设则的最大值是（ ）A3BCD12（2021广东潮州）已知实数，且，则的最小值是（ ）A6BCD透析题组五：基本不等式“1”的妙用13（2021云南高一期末）已知，.若，则的最小值为（ ）AB C D14（2020安徽马鞍山高一月考）已知，且，则的最小值是（ ）A6B12C18D2415（2021全国）若，且，则的最小值为（ ）A2BCD透析题型六：基本不等式的恒成立求参数问题16（2020淮北市树人高级中学高一月考）若关于的
7、不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（ ）A（1，4B（0，4）C（0，4D（1，417（2021四川省绵阳南山中学高一月考）若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为（ ）ABCD18（2021全国）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）A10B12C16D9透析题型七：基本不等式的实际问题的应用19（2021全国高一专题练习）某药店有一架不准确的天平（其两臂不等）和一个10克的砝码一名患者想要20克中药，售货员将砝码放在左盘中，将药物放在右盘中，待平衡后交给患者；然后又将药物放在左盘中，将砝码放在右盘中，待平衡后再交给患者设两次称量后患者实际得到药物为克，则下列结论正确的是（ ）
8、ABCD以上都可能20（2021全国高一单元测试）道路通行能力表示道路的容量，指单位时间内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标，通常由道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件决定某条道路一小时的通行能力满足，其中为安全距离，为车速（m/s）若安全距离取40m，则该道路一小时通行能力的最大值约为（ ）A98B111C145D18521（2021全国）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用和最小为（ ）A60万元B160万元C200万元D240万元【考点同练】一、单选题22（2021河北张家口高
9、二期末）已知，则“”是“，”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件23（2022全国）已知正数x，y满足x2+2xy-3=0，则2x+y的最小值是（ ）A1B3C6D1224（2022全国（文）若实数满足，则的取值范围是（ ）ABCD25（2021全国高三专题练习）若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）ABCD26（2021全国高三月考）若，且，则的最小值为（ ）ABCD27（2021新疆乌鲁木齐乌市八中高二月考（文）若ab0，则下列不等式成立的是（ ）AabBabCaD28（2021富宁县第一中学）设，且，则当取最小值时，（ ）A8B12C16D29（2
10、021江苏苏州）设ab是正实数，以下不等式恒成立的为（ ）ABCD30（2021安徽六安一中）下列结论正确的是（ ）A当时，B当时，的最小值是2C当时，的最小值是1D设，则的最小值是231（2021沙坪坝重庆南开中学）若，且，则的最小值为（ ）A3BCD二、多选题32（2021河北高一期末）下列选项中正确的是（ ）A不等式恒成立B若为正实数，则C当，不等式恒成立D若正实数，满足，则33（2020淮北市树人高级中学高一月考）设，且，那么（ ）A有最小值B有最大值Cab有最大值.Dab有最小值.34（2021河北正定中学）下列命题中，正确的有（ ）A若ab0，则a2abb2B若ab0，则C若ba0
11、，c0，则D若a，bR，则a4b42a2b235（2021深圳市富源学校高二期中）若、且，则下列不等式中恒成立的是（ ）ABCD36（2021广东）下列求最值的运算中，运算方法错误的有（ ）A当时，故时，的最大值为；B当时，当且仅当时取等号，解得或，又由，所以取，故时，的最小值为；C由于，故的最小值是；D，且，由于，则，又，则，且，的最小值为三、填空题37（2021全国高三专题练习（理）（配凑型）已知，求函数的最小值是 _38（2021海南高三三模）已知，则的最小值为_39（2021广西（理）已知函数，的最小值为3，则_40（2021全国高三专题练习）已知x0，y0，且1，不等式m恒成立，则实
12、数m的取值范围是_四、解答题41（2021河北张家口高一期末）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.42（2021中宁县中宁中学高二月考（文）（1）已知，求的最小值（2） 已知是不全相等的实数，求证：43（2021东莞市光明中学高二月考）某电动摩托车企业计划在2021年投资生产一款高端电动摩托车经市场调研
13、测算，生产该款电动摩托车需投入设备改造费1000万元，生产该款电动摩托车万台需投入资金万元，且，生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元；当该款电动摩托车售价为5000（单位：元/台）时，当年内生产的该款摩托车能全部销售完（1）求的值，并写出2021年该款摩托车的年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万台）的函数解析式；（2）当2021年该款摩托车的年产量为多少时，年利润最大？最大年利润是多少？（年利润销售所得投入资金设备改造费）44 （2021全国）（1）已知，求证：（2）证明：【答案精讲】1D【详解】解：由，令，则，则，故A错误；则，则，故B错误；则，则无意义，故C错误；因为，则，所以.故选：D.2C【详解】设图中全等的直角三角形的直角边长分别为，则斜边长为.图中四个直角三角形的面积和为，外围正方形的面积为.由图可知，四个直角三角
