三教上人（A+版-Applicable Achives）物理总复习： 单 摆 编稿：李传安 审稿：张金虎【考纲要求】1、了解单摆的结构，知道单摆是一种理想化的物理模型，学会用恰当的方法建立物理模型； 2、知道单摆做简谐运动的条件，知道单摆的回复力，学会用近似处理方法来解决相关物理问题； 3、理解单摆振动的规律及其周期公式，能利用单摆周期公式对有关物理情景进行分析； 4、知道等时性的概念，能利用单摆规律分析时钟走时快慢的问题； 5、知道用单摆测重力加速度的实验原理和实验步骤考点梳理】考点一、单摆定义：在一条不可伸长的轻绳下端栓一个可视为质点的小球，上端固定，摆球做小角度摆动，这样的装置叫单摆要点诠释：（1）单摆是一个理想化的物理模型2）单摆的振动可看作简谐运动的条件：最大摆角3）回复力来源：重力沿切线方向分力，如图所示在时，，其中考点二、单摆的周期实验证明单摆的周期与振幅A无关，与质量m无关，随摆长的增大而增大，随重力加速度g的增大而减小荷兰物理学家惠更斯总结出单摆周期公式：几种常见的单摆模型：在有些振动系统中不一定是绳长，g也不一定为9.8m/s2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。
1、等效摆长 如图所示，三根等长的绳、、共同系住一密度均匀的小球m，球直径为d与天花板的夹角1）若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在处，故等效摆长 ，周期 ；（2）若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O处，故等效摆长为，周期 2、等效重力加速度 （1）公式中的g由单摆所在的空间位置决定 由知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2 （2）g还由单摆系统的运动状态决定 单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值若单摆若在轨道上运行的航天飞机内，摆球完全失重，回复力为零，则等效值，所以周期为无穷大，即单摆不摆动了 当单摆有水平加速度时（如加速运动的车厢内），等效重力加速，平衡位置已经改变 （3）g还由单摆所处的物理环境决定如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有等效值的问题考点三 、用单摆测当地的重力加速度1、实验目的 利用单摆测定当地的重力加速度2、实验器材 铁架台（带铁夹）一个，中心有孔的金属小球一个，长约1m的细线一条，毫米刻度尺一根，游标卡尺（选用），秒表一块3、实验原理 单摆在偏角很小时的振动是简谐运动，振动周期跟偏角的大小和摆球的质量无关，这时单摆的周期公式是，变换这个公式可得。
因此只要测出单摆的摆长和振动周期T，即可求出当地的重力加速度g的值4、实验步骤 （1）在细线的一端打一个比小球上的孔径稍大些的结，将细线穿过球上的小孔，制成一个单摆 （2）如图，将铁夹固定在铁架台的上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，把做好的单摆固定在铁夹上，使摆线自由下垂 （3）测量单摆的摆长：用游标卡尺测出摆球直径2r，再用米尺测出从悬点至小球上端的悬线长，则摆长 （4）把单摆从平衡位置拉开一个小角度，使单摆在竖直平面内摆动，用秒表测量单摆完成全振动30至50次所用的时间，求出完成一次全振动所用的平均时间，这就是单摆的周期T （5）重复上述步骤，将每次对应的摆长、周期T填于表中，按公式算出每次g值，然后求出结果 摆长 (m)振动次数n（s）N次历时t（s）周期T（s）（）g（）平均值（）1 2 3 5、注意事项 （1）选择材料时摆线应选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1m；小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2cm； （2）单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象； （3）摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过； （4）摆动时，要使之保持在同一个运动平面内，不要形成圆锥摆； （5）计算单摆的振动次数时，应在摆球通过最低位置时开始计时，以后摆球从同一方向通过最低位置时进行读数，且在数“零”的同时按下秒表，开始计时计数。
（6）由公式可以得出，，因此对数据的处理可采用图象的方法如图所示，作出的图象，图象应是一条通过原点的直线，求出图线的斜率k，即可求得g值这样可以减小误差 【典型例题】类型一、关于单摆的振动特征的考查【高清课堂：单摆例2】例1、（20XX 海南卷）下列说法正确的是（ ）A．在同一地点，单摆做简谐振动的周期的平方与其摆长成正比B．弹簧振子做简谐振动时，振动系统的势能与动能之和保持不变C．在同一地点，当摆长不变时，摆球质量越大，单摆做简谐振动的周期越小D．系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率E．已知弹簧振子初始时刻的位置及其振动周期，就可知振子在任意时刻运动速度的方向【答案】ABD【解析】根据单摆的周期公式：可知，在同一地点，重力加速度g为定值，故周期的平方与其摆长成正比，A正确；弹簧振子做简谐振动时，只有动能和势能参与转化，根据机械能守恒定律条件可知，振动系统的势能与动能之和保持不变，B正确；根据单摆的周期公式：可知，单摆的周期与质量无关，C错；当系统做稳定的受迫振动时，系统振动频率等于周期性驱动力的频率，D正确；若弹簧振子初始时刻的位置在平衡位置，知道周期后，可以确定任意时刻运动速度的方向，若弹簧振子初始时刻的位置不在平衡位置，则无法确定，E错。
故选ABD举一反三【变式】如果是A、B两个单摆做简谐运动的图像（A为实线B为虚线）（1）A、B两个单摆的周期之比是多少？（2）A、B两个单摆的摆长之比是多少？【答案】（1） （2） 【解析】（1）由图像可知 所以 （2）由周期公式 所以类型二、关于单摆的等时性的应用【高清课堂：单摆例1】例2、图(a)是演示简谐振动图象的装置当盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速地拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系，板上的直线OO1代表时间轴图(b)是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线，若板N1和板N2拉动的速度和的关系为，则板N1、N2上曲线所代表的振动的周期T1和T2的关系为 （ ）A．T2=T1 B．T2=2T1 C．T2=4T1 D．T2=T1/4【答案】D【解析】由图可知 ，在木板运动距离时摆1完成一次全振动（一个周期）摆2完成2次全振动（2个周期），设两者的周期分别为T1和T2，则，（应用匀速运动的位移与时间的关系）， 解得T2=T1/4，故选项D正确总结升华】在利用沙摆获得做简谐运动的质点位移随时间的变化关系图象时，时间是通过木板匀速运动的位移反映出来的。
举一反三【变式】如图所示，一块涂有炭黑的玻璃板，质量为2kg，在竖直向上拉力F的作用下由静止开始竖直向上做匀变速直线运动；一个装有指针的、振动频率为5Hz的电动音叉在玻璃板上画出如图所示的曲线，若量得OA=1cm，OB=4cm，OC=9cm. 则外力F的大小为______Ng=10m/s2)【答案】24N【解析】由知，周期，OA、AB、BC时间间隔相等，又玻璃板做匀变速直线运动，OA、AB、BC距离之比为1:3:5，， 根据求得根据牛顿第二定律 解得类型三、等效摆长和等效重力加速度例3、如图所示两根长度均为L的细线下端拴一个质量为m的小球两线间的夹角为，今使摆球在垂直于纸面的平面内做小幅度振动，求其振动周期答案】 【解析】这是一个双线摆，可以将其等效为一个单摆，求出等效摆长后，代入单摆周期公式，即得出所求当双线摆在垂直于纸面的平面内做小幅度振动时，等效摆长为，故此双线摆的振动周期为 总结升华】解题的关键是找到隐蔽的摆长和摆角摆角应为，摆长应为小球球心到O点的距离，即举一反三【变式】如图甲乙丙丁四个单摆的摆长均为，质量均为，单摆甲放在空气中，周期为；单摆乙放在以加速度向下加速运动的电梯中，周期为；单摆丙带正电，放在匀强磁场B中，，周期为；单摆丁带正电，放在匀强电场E中，周期为，分别求出它们的周期。
【答案】；；【解析】甲是一般的单摆，；乙是等效重力加速度问题，等效重力加速度为，所以；丙在匀强磁场B中所受洛伦兹力始终沿绳方向，对单摆的周期没有影响，所以；单摆丁带正电，放在匀强电场E中，等效重力加速度为，所以类型四、摆钟快慢的分析例4、一物体在某一行星表面时，其重力加速度的值是物体在地球表面重力加速度的1/4，在地球上走得很准的摆钟，搬到此行星上，此钟的分针走一整圈经历的时间实际是( ) A．2小时 B．4小时 C．1/4小时 D．1/2小时【答案】A【解析】根据题目给的条件可以首先判断出行星上重力加速度是地球上重力加速度的1/4，根据单摆周期公式，周期与重力加速度的平方根成反比，因此摆移到行星上以后，周期将是地球上的2倍，也就是摆钟走得慢了，所以分针走一整圈的时间实际上是地球上的2倍，即2h故选项A正确总结升华】分析摆钟快慢问题，就是抓住单摆周期公式，摆长的变化对快慢的影响比较简单，重力加速度的变化往往是在某星球上，关键是要求出星球表面的重力加速度是地球表面的多少倍举一反三【变式】在某地，摆长为的摆钟A在某一段时间内快了秒，而另一摆长为的摆钟B在某一段时间内慢了秒，那么，在该地走时准确的摆钟的摆长应为多少？【答案】【解析】在该地走时准确的摆钟的摆长为，则周期，摆周期，摆周期，再设某一段时间为，据题意有 ，解此式得 ，再代入周期公式解得 。
类型五、单摆模型与牛顿第二定律和其他运动形式的结合【高清课堂：单摆例6】例5、在一次消防演习中，质量为60kg的消防员欲到达距离楼顶 l =40m处的房间如图所示，他沿一条竖直悬垂的轻绳从静止开始匀加速下滑，当他滑到该房间的窗户A处时，突然停止下滑，同时用脚踢开窗户，自己反弹了一下，然后进入窗内已知消防员从开始下滑到刚进入窗内共用了时间t=10s，试估算他沿绳子下滑时受到的摩擦力 f 大小最接近（ ） A .100N B .300N C. 600N D. 900N 【答案】B【解析】消防员反弹了一下又回到窗口，可以看作一个单摆模型，所用时间为半个周期由单摆周期公式 代入数据解得 （题目要求显然是估算）匀加速下滑时间 ，由 则根据牛顿第二定律 所以摩擦力【总结升华】本题关键是要分析“当他滑到该房间的窗户A处时，突然停止下滑，同时用脚踢开窗户，自己反弹了一下，然后进入窗内”这一句话的隐含的物理意义：反弹到最远后又回到窗口，是一个单摆模型，时间是半个周期举一反三【变式】如图所示，光滑圆弧槽半径为R，A为最低点，C到A的距离远小于R。
两质点小球B和C都由静止开始释放，要使B、C。