第 1 页 共 7 页第二讲 比和比例学习目标：1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“ 1”变化的比例问题5、方程解比例应用题知识点拨：比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容. 通过本讲需要学生掌握的内容有：一、比和比例的性质性质 1：若 a: b=c：d，则 (a + c)：(b + d)= a：b=c：d；性质 2：若 a: b=c：d，则 (a - c)：(b - d)= a：b=c： d；性质 3：若 a: b=c：d，则 (a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d； (x 为常数 ) 性质 4：若 a: b=c：d，则 a d = b c；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a b=k(k 为常数 )，则称 a、b 成正比；反比例：如果a b=k(k 为常数 )，则称 a、b 成反比二、主要比例转化实例xaybybxa；xyab；abxy；xaybmxamyb；xmaymb( 其中0m) ；xaybxaxyab；xyabxa；xyabxyab；xayb，yczdxaczbd；:x yzac bc bd ；x的ca等于y的db，则x是y的adbc，y是x的bcad三、按比例分配与和差关系按比例分配例如：将x个物体按照:a b 的比例分配给甲、乙两个人， 那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x的比分别为:aab 和:bab ，所以甲分配到axab个，乙分配到bxab个. 已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别A、B，元素的数量比为:a b ( 这里 ab ) ，数量差为x，那么A的元素数量为axab，B的元素数量为bxab，所以解题的关键是求出ab 与a或 b 的比值四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l” 。
题中如果有几个不同的单位“1” ，必须根据具体情况，将不同的单位“1” ，转化成统一的单位“1” ，使数量关系简单化，达到解决问题的效果在解答分数应用题时，要注意以下几点：1.题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1” 2.若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1” 3.应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法4.题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解5.赋值解比例问题例题精讲： 模块一、 比的基础例 1 已知 3(x-1)=7 9，求 x第 2 页 共 7 页2 六年级一班的男、女生比例为32，又来了 4 名女生后，全班共有44 人求现在的男、女生人数之比例 3 配制一种农药， 其中生石灰、 硫磺粉和水的重量比是1212，现在要配制这种农药2700千克，求各种原料分别需要多少千克例 4 师徒二人共加工零件400个， 师傅加工一个零件用9分钟， 徒弟加工一个零件用15 分钟完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件练习 1 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车30 元，小客车15 元，小轿车10 元。
某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是56，小客车与小轿车之比是411，收取小轿车的通行费比大客车多210 元求这天这三种车辆通过的数量2.一块长方形的地，长和宽的比是5 3，周长是96 米，求这块地的面积3. 一个长方体，长与宽的比是43，宽与高的比是 54，体积是 450 分米3问：长方体的长、宽、高各多少厘米？4. 一把小刀售价 6 元如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是35；如果小强买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是911问：两人原来共有多少钱？5. 甲、乙、丙三人分138 只贝壳，甲每取走5 只乙就取走 4 只，乙每取走 5 只丙就取走 6 只问：最后三人各分到多少只贝壳？6. 一条路全长 60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是123，某人走各段路程所用的时间之比是345已知他走平路的速度是5 千米/ 时，他走完全程用多少时间？模块二、比例转化【例1】已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的13，乙等于甲、丙两数和的12，丙等于甲、乙两数和的57，求:甲 乙 丙 .【例2】已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的23，那么甲的23、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为多少？【例3】如下图所示，圆B与圆 C 的面积之和等于圆A面积的45，且圆A中的阴影部分面积占圆A面积的16，圆B的阴影部分面积占圆B面积的15，圆 C 的阴影部分面积占圆C 面积的13求圆A、圆B、圆 C 的面积之比第 3 页 共 7 页CBA【例4】某俱乐部男、 女会员的人数之比是3:2 ， 分为甲、乙、 丙三组已知甲、乙、 丙三组的人数比是10 :8:7 ，甲组中男、女会员的人数之比是3:1 ，乙组中男、女会员的人数之比是5:3求丙组中男、女会员人数之比【巩固】一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的一段时间后，分别剩下60% 、 40% 的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率( 建设速度 ) 之比3:1 ，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.【例5】某团体有 100名会员，男女会员人数之比是14:11 ，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12 :13 、 5: 3、 2:1 ，那么丙组有多少名男会员？【例6】( 2007 年华杯赛总决赛)A、B、C 三项工程的工作量之比为1: 2:3，由甲、乙、丙三队分别承担 三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？【巩固】某次数学竞赛设一、二、三等奖已知：甲、乙两校获一等奖的人数相等；甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5: 6；甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20% ；甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50% ；甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5 倍那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？模块三、按比例分配与和差关系（一）量倍对应【例7】一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16 个，而甲、乙两班的人数比为13:11 ，求一共有多少个苹果？【巩固】在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80 元已知甲比丙多捐18 元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是10 :7 ，则甲捐元，乙捐元，丙捐元【巩固】有 120个皮球，分给两个班使用，一班分到的13与二班分到的12相等，求两个班各分到多少皮球？【例8】一班和二班的人数之比是8:7 ，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为4: 5求原来两班的人数488742 人.【例9】幼儿园大班和中班共有32 名男生， 18 名女生 已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班男生数第 4 页 共 7 页与女生数的比为2:1 ，那么大班有女生多少名？【巩固】参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3: 2 ，六年级比四年级多80 人，三个年级参加植树的各有多少人?【巩固】圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20 支圆珠笔和21 支铅笔共用715 元问圆珠笔的单价是每支多少元 ? 【例10】 甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发，沿长方形的边爬去，结果在距B点2厘米的 C 点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的1.2 倍，求这个长方形的周长【例11】 甲乙两车分别从A， B 两地出发，相向而行出发时，甲、乙的速度比是54，相遇后，甲的速度减少20，乙的速度增加20，这样，当甲到达B 地时，乙离 A 地还有 10 千米问： A，B 两地相距多少千米？【解析】 甲、乙原来的速度比是54，相遇后的速度比是：5 （ 120） 4 （120） 44856相遇时，甲、乙分别走了全程的95和94。
设全程x 千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为5：6，其中相遇后甲行驶了全长的4/9 ，所以乙行驶了全长的1586594，所以乙一共行了全长454415894，还剩 1-4544451，没有走所以A、B 全长为 450 千米 . 【例12】 师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9 分钟，徒弟加工一个零件用15 分钟 完成任务时，师傅比徒弟多加工100 个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？【巩固】师徒二人共加工零件400 个，师傅加工一个零件用9 分钟，徒弟加工一个零件用15 分钟完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？【例13】A、B、 C 三个水桶的总容积是1440 公升，如果A、B两桶装满水，C 桶是空的；若将A桶水的全部和B桶水的15，或将B桶水的全部和A桶水的13倒入 C 桶， C 桶都恰好装满求A、B、 C 三个水桶容积各是多少公升？【巩固】学而思学校四五六年级共有615 名学生，已知六年级学生的12，等于五年级学生的25，等于四年级学生的37这三个年级各有多少名学生学生？【例14】 一块长方形铁板， 宽是长的45从宽边截去21厘米，长边截去 35% 以后，得到一块正方形铁板问原来长方形铁板的长是多少厘米?【巩固】一个正方形的一边减少20% ，另一边增加2米，得到一个长方形，这个长方形的面积与原正方甲乙CBA第 5 页 共 7 页形面积相等原正方形的边长是多少米?【例15】 一把小刀售价3元如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是2:5；如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为8:13 小明原来有多少钱？【巩固】甲、乙两人原有的钱数之比为6:5 ，后来甲又得到180 元，乙又得到30 元，这时甲、乙钱数之比为 18:11 ，求原来两人的钱数之和为多少？【例16】 一项机械加工作业，用 4 台A型机床， 5 天可以完成； 用 4 台A型机床和 2 台B型机床 3 天可以完成；用 3 台B型机床和9 台 C 型机床， 2天可以完成， 若 3 种机床各取一台工作5 天后， 剩下A、C型机床继续工作，还需要_ 天可以完成作业【例17】 某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是1: 2 ，第一天售出苹果的20% ，售出桃子的吨数与所剩桃子的吨数的比是1: 3 ；第二天售出苹果18吨，桃子12吨，这样一来，所剩苹果的吨数是所剩桃子吨数的415，问原有苹果和桃子各有多少吨？【解析】 法一：设原来苹果有x吨，则原来桃子有2x 吨，得：(120%)18431521213xx，解得37x所以原有苹果 37 吨，原有桃子37274 (吨) 法二：原来苹果和桃子的吨数的比是1: 2 ，把原来的苹果的吨数看作1，则原来桃子的吨数为2，第一天后剩下的苹果是41 (120%)5，剩下的桃子是332132，所以此时剩下的苹果和桃子的重量比是43:8:1552现在再售出苹果18 吨，桃子 12 吨，所剩的苹果与桃子的重量比是4:15 这就相当于第一天后剩下的苹果和桃子的重量比是8:15 ，先售出桃子12 吨，苹果83212155吨，此时剩下的苹果和桃子的重量比还是8:15 ，再售出32581855吨苹果， 剩下的苹果和桃子的重量比变为4:15 ，所以这585相当于 844 份，最后剩下的桃子有581587542吨，那么第一天后剩下的桃子有871111222吨，原有桃子111374213吨，原有苹果74237 吨（二）利用不变量统一份数【例18】 有一个长方体，长和宽的比是2 :1 ，宽与高的比是3:2 表面积为272cm ，求这个长方体的体积.【巩固】有一个长方体， 长与宽的比是2:1 ，宽与高的比是3: 2已知这个长方体。