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1、勾股定理的应用一、学生知识状况分析本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图形、 对一些空间图形进行展开、折叠等活动 学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动， 因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础二、教学任务分析本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第一章勾股定理第节具体内容是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题当然， 在这些具体问题的解决过程中，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、 解决问题能力和应用意识； 一些探究活动具
2、体一定的难度， 需要学生相互间的合作交流， 有助于发展学生合作交流的能力本节课的教学目标是：1. 通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念2. 在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、 解决问题的能力及渗透数学建模的思想3. 在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的重点也是难点四、教法学法1. 教学方法引导探究归纳本节课的教学对象是初二学生，他们的参与意识教强， 思维活跃， 为了实现本节课的教学目标，我力求以下三个方面对学生进行引导：（1） 从创设问题情景入手，通过知识再现，孕育
3、教学过程；（2） 从学生活动出发，顺势教学过程；（3） 利用探索研究手段，通过思维深入，领悟教学过程2. 课前准备教具：教材、电脑、多媒体课件学具：用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具五、教学过程分析本节课设计了七个环节第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三环节：做一做；第四环节：小试牛刀；第五环节：举一反三；第六环节：交流小结；第七环节：布置作业第一环节：情境引入内容：情景 1：多媒体展示：提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近？ 情景 2：如图：在一个圆柱石凳上， 若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从 A 处爬
4、向 B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？意图：通过情景 1 复习公理： 两点之间线段最短； 情景的创设引入新课， 激发学生探究热情效果：从学生熟悉的生活场景引入，提出问题， 学生探究热情高涨， 为下一环节奠定了良好基础第二环节：合作探究内容：学生分为人活动小组， 合作探究蚂蚁爬行的最短路线， 充分讨论后， 汇总各小组的方案， 在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法， 通过具体计算， 总结出最短路线让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近” 就是研究两点连线最短问题， 引导学生体会利用数学解决实际问题的方法意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面
5、最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解在活动中体验数学建摸， 培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念效果：学生汇总了四种方案：AAA（1）（2）（ 3）（4）学生很容易算出：情形（1）中 AB 的路线长为：情形（ 2）中 AB 的路线长为：AA d ，所以情形（ 1）的路线比情形（ 2）要短学生在情形（ 3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线 AA剪开圆柱得到矩形，情形（3） AB 是折线，而情形（ 4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（ 4）即可如图：（1） 中 AB 的路线长为
6、：ABCD ABC（2） 中 AB 的路线长为：FE ABD（3） 中 AB 的路线长为： AO+OBAB（4） 中 AB 的路线长为： AB得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解 决问题 在这个环节中， 可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察接下来后提问：怎样计算AB？在 RtAAB中，利用勾股定理可得AB 2AA 2A B 2 ，若已知圆柱体高为12cm，底面半径为 3cm，取 3，则AB2122(33)2 ,AB15 注意事项： 本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条 因此教学时因该在学生在
7、圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上方法提炼： 解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：1. 审题分析实际问题；2. 建模建立相应的数学模型；3. 求解运用勾股定理计算；4. 检验是否符合实际问题的真实性第三环节：做一做内容：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 边和 BC 边是否分别垂直于底边 AB，但他随身只带了卷尺，（1） 你能替他想办法完成任务吗？（2） 李叔叔量得 AD 长是 30 厘米， AB 长是 40 厘米， BD 长是 50 厘米， AD 边垂直于 AB 边吗？为什么？（3） 小明随身只有一个长度为20
8、 厘米的刻度尺，他能有办法检验AD 边是否垂直于 AB 边吗？ BC 边与 AB 边呢？解答：（ 2）AD 2AB 23024022500BD 22500222ADABBDAD 和 AB 垂直意图：运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题， 利用允许的工具灵活处理问题效果：先鼓励学生自己寻找办法， 再让学生说明李叔叔的办法的合理性当刻度尺较短时， 学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法， 如利用分段相加的方法量出 AB，AD 和 BD 的长度，或在 AB，AD 边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论第四环节：小试牛刀内容：1. 甲、乙两位探险者
9、到沙漠进行探险， 某日早晨 8：00 甲先出发，他以 6 km/h的速度向正东行走， 1 时后乙出发，他以 5 km/h 的速度向正北行走上午10： 00，甲、乙两人相距多远？解答：如图: 已知 A 是甲、乙的出发点， 10:00 甲到达 B 点，乙到达 C 点则:AB=26=12（km）北AC=15=5（ km）C在 RtABC 中:BC 2AC2AB252122169132BC=13（km）即甲乙两人相距 13 kmAB东2. 如图，台阶 A 处的蚂蚁要爬到B 处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离解答：AB 2152202625252 .20B32A3. 有一个高为 1.5 m，半径是
10、 1m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔， 从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？解答：设伸入油桶中的长度为x m则最长时 :x21.52x2.522 最长是 2.5+0.5=3（m）最短时:初三（2）班体育成绩人数25202015111010不 及 格 及 格 中 良 好 优 秀 成 绩最短是 1.5+0.5=2（m）答: 这根铁棒的长应在2 3m之间 意图：对本节知识进行巩固练习，训练学生根据实际情形画出示意图并计算效果：学生能独立地画出示意图，将现实情形转化为数学模型，并求解第五环节：举一反三内容：1. 如图，在棱长为 10 cm的正方体的一个顶点 A
11、 处有一只蚂蚁，现要向顶点 B 处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是 1 cm/s ，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s 内从 A 爬到 B？BBBACA解：如图，在 Rt ABC中:初三（1）班体育成绩人数252020151010105550500202 .不及格及格中良好优秀成绩不能在 20 s 内从 A 爬到 B.2. 在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题 的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇， 它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？解答：设水
12、池的水深AC 为 x 尺，则这根芦苇长为AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形 ABC 中， BC=5 尺.由勾股定理得 : BC2+AC2=AB2.即52+ x2=（ x+1） 2. 25+x2= x2+2x+1.2x=24. x=12， x+1=13答：水池的水深 12 尺，这根芦苇长13 尺 意图：第 1 题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问题平面化； 第 2 题，学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程效果：学生能画出棱柱的侧面展开图，确定出AB 位置，并正确计算如有可能， 还可把
13、正方体换成长方体进行讨论学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程注意事项： 对于普通班级而言，学生完成“小试牛刀” ，已经基本完成课堂教学任务 因此本环节可以作为教学中的一个备选环节， 共老师们根据学生状况选用第六环节：交流小结内容：师生相互交流总结：1. 解决实际问题的方法是建立数学模型求解2. 在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题意图：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史 效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出在寻求曲面最短路径时， 往往考虑其展开图， 利用两点之间， 线段最短进行求解 并赞叹我国古代数学的成就
