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1、教学案例多边形的内角和（第二课时）知识技能：了解多边形的内角和与外角和公式，并能进行简单的应用。过程方法： 通过对简单多边形的内角和的探究，发现规律，归纳出n边形的内角和公式； 通过对多边形多种转化形式的探究，体验解决问题时策略的多样性 ，培养实践能力与创新能力。培养、锻炼学生与他人合作交流的能力。 情感态度价值观: 学生通过类比、联想、转化、推理等探究活动，体验成功的快乐，感受数学研究的乐趣。重点：多边形的内角和公式的探究。难点：如何把多边形转化成三角形来探索多边形的内角和。教学方法：互动式探究模式、启发式、发现式教学法教学工具：多媒体课件、三角板（课堂实录式教案）师：上课！ 生：老师好！师
2、：同学们好！ 师：上节课我们学习了多边形的有关概念，这节课我们来研究多边形的内角和。首先回忆一下三角形的内角和。生：三角形的内角和是.师：正方形内角和是多少？生：。师：对，那一般四边形的内角和呢？生：。师：怎么得到的?生：作一条对角线，把四边形分成两个三角形，四边形的内角和正好是两个三角形的内角的和。探究1：师：那用同样方法能求出五边形、六边形的内角和吗？ 生（活动）：独立思考后，交流讨论，找同学板演分割方法，并分别讲解思路。师：请同学A说说你的思路。生A：作五边形的对角线，将其分成三个三角形，因而内角和。师：正确，那谁来说说如何得到六边形的内角和呢？生B：作六边形的对角线，将其分成四个三角形
3、，因而内角和。师：有些同学连的辅助线没有过同一顶点，所分出来的三角形个数一样吗？生：一样。，师：那你们观察比较一下，哪一种图形所体现的规律性更明显呢？生：对角线过同一顶点的图形。探究2：师：那由此你们能猜出n边形的内角和吗？ 为了便于观察，我们一起来把刚才得到的结果总结在一个表格里：多边形的边数456n过一个顶点的对角线的条数1所分成的三角形的个数2内角和生（活动）：口答结果，并观察找出规律：n边形的内角和是。师（板书）： n边形的内角和是。 生（活动）：在书上找到知识点1 n边形的内角和是。探究3：师：以上是通过作对角线将多边形分割成三角形来探究n边形的内角和的。是不是还有其它分割方法呢？请
4、同学们动手试一试，看谁想的办法多。生：自主探究，小组讨论交流。并让找出不同分割方法的同学板演并讲解思路。师：好，这位同学已经想出办法了，就请你来说说你的想法。生甲：在多边形内部取一点与各顶点连线。师：把五边形分成了多少个三角形？生甲：5个。师：这5个三角形的内角和是不是正好是五边形的内角和呢？生甲：不是，多了一个周角。内角和是。 师：非常好！同样得到了五边形的内角和，那你能不能就此猜出n边形的内角和呢？生甲：能，在n边形的内部取一点与各顶点连线， 得到n个三角形，这n个三角形的内角和减去多出的一个周角，就得到了n边形的内角和。 师：非常好！还有别的方法吗？生乙：在五边形的一边上取一点与各顶点连
5、线，将五边形分成四个三角形，四个三角形的内角和减去多出的一个平角，就得到五边形的内角和，。师：与前面的结果仍然一致。那能不能就此推出n边形的内角和呢？生乙：能。这样连线分割出的三角形个数比边数少1个，另外多出一个平角，所以多边形的内角和就是。师：很好，同样得到了n边形的内角和公式。刚才这两种方法都是从多边形内部分割的，如果我从多边形外部取一点与各顶点连线行吗？生：（试验、讨论、推导）生丙：能行。这样连线分割出的三角形个数可看成是“边数减1”个，再去掉多余的一个三角形的内角和，即，就得出五边形的内角和。师：对，这样也可以达到目的，那么你能根据上述分析概括出n边形的内角和的一般结论吗？生：能。这样
6、连线分割出的三角形个数比边数少1个，去掉多余的一个三角形的内角和，所以n边形的内角和就是。师：非常好，同学们探究出了这么多方法，其实还有别的方法，有兴趣的同学下去可以继续研究。拓展应用1：师（总结提问）：n边形的内角和是，知道它有什么用呢？生（思考后回答）：可以求多边形的内角和。师：好，那么同学们能求出十边形的内角和吗？生（快速抢答）： 。师：很好！那么反过来，如果知道某一多边形的内角和是，你能求出它的边数吗？生（快速抢答）： 12边形！师：很好！请你说说你是怎么快速求出来的？ 生：用除以得10，再加上2得12。师：很好！为什么可以除以呢？生：因为内角和是的整数倍。师：确切说是的正整数倍，是的
7、“边数减2”倍。所以边数减2等于10 ，边数为12。师：那你们说某一多边形的内角和是，可能吗？生：不可能！它不是的整数倍。师：某一多边形的内角和加上某个角（小于）后度数为，那么这个角是多少度？它是几边形？生：这个角是度，它是12边形。师：怎么算出来的呢？生：用除以商是10余数是80。师：为什么会出现余数呢？生：因为多了一个角。师：把多出的角的度数去掉呢？生：就得到n边形的内角和了。师：那去掉的是多少度的角？ 生：师：那么是几边形的内角和？生：12边形。师：那么增加的角度是多少度？生：师：非常好。下面思考一个证明题：例题1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？（学生独立思考求
8、解，板演、老师讲评。）解：如图，四边形ABCD中，因为，所以 即互补。所以，另一组对角也互补。（教师对板演过程中的不规范表述进行纠正、示范）探究4：师：多边形的内角和与它的应用我们已经研究了很多，那么它的外角和是多少呢？首先说一说三角形的外角和。生：三角形的外角和是。师：正方形、长方形的外角和呢？生：正方形、长方形的外角和也都是。师：那你能猜猜任意多边形的外角和是多少吗？ 生：师：有什么办法能证明这个猜想呢？以五边形为例说明。生（思考后回答）：根据每个外角与相邻的内角互为补角，可知外角和与内角和的总和是，减去内角和，结果为。师：非常好！那么用同样方法可知n边形的外角和与内角和的总和是，减去内角
9、和，结果为。师（板书）： n边形外角和为。生：在书上找到知识点2 n边形外角和为。师：现在我们来对比一下，多边形的内角和随边数的增加怎样变化？外角和呢？生：内角和变大，外角和不变。师：那么知道多边形的外角和能求边数吗？生：不能。师：为什么？生：外角和都一样。师：那要已知什么条件能求出多边形的边数呢？生：已知一个外角的度数。师：已知一个外角的度数就能求出任意一个多边形的边数吗？生：必须是正多边形。师：对！对于一个正多边形来说，已知它的外角的度数，才能求出它的边数。请看：例2：已知某正多边形的一个内角为，求它的边数。有几种解法？生（活动）：独自解决后同桌交流。绝大多数先用外角和很快求得结果，再找出
10、用内角和求解的方法。师：同学们算得很快，其中有一种办法是不特别快？谁来说一说？生M：每个外角=，所以n=6。师：非常好！谁来说一说另一种解法？生N：设边数为n，则=，得n=6。师：非常好！那么，比较一下哪一种方法更好呢？生：当然第一种！师：对，用外角和求正多边形的边数更快。在今后计算时可以适当选择简便的方法。拓展应用2：师：请同学们看一个有趣的问题：（1）小明在绕一个五边形的小道跑步。他每从一条小路转到下一条小路时，身体转过的角是哪个角？（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？生（出现争议）：外角！内角！思考一会之后多数同意转过的角是外角。师：我们来试一试，跑一跑，看转过的究竟是哪个角。
11、（情景再现）123541151314121生（齐声回答）：转过的角是外角。师：跑一圈一共转几次呢？生：五次。师：这五次的度数和是多少？生：是360。师：对！每跑完一圈，身体转过的角度之和正好是五边形的外角和。师：这节课我们对多边形的内角和、外角和的进行了探究，下面来做一组习题检测一下今天的学习效果。课本83页练习1，84页2、3题。独立计算，并将结果写在书上。师（巡视）：集体核对答案，强调关键步骤。拓展应用3：师：再看一个探索问题：“n角星”的“n个内角的和”的问题。师：先看“五角星”：利用五边形的外角等于不相邻的两个内角的和，可以把外角都转化到内角上去，请同学们观察一下，五边形的内角和、外角
12、和与“五角星的五个内角的和”有什么数量关系呢？ 生：五边形的内角和减去外角和就等于“五角星的五个内角的和”。师：那度数是多少呢？生：。师：很好，那么请同学们试着找出“六角星”、“七角星”的度数和分别是多少？ 生：“六角星”、“七角星”的度数和分别是和。师：随着边数的增加“n角星”的度数和有什么变化呢？4123567123564 生：每增加一个角，“n角星”的度数和就增加。师：那么你能找出“n角星的n个内角的和”的度数和吗？它与多边形的边数有什么内在联系呢？有什么规律吗？生（活动）：思考讨论，并探究出结果：n边形的内角和减去外角和就等于“n角星的n个内角的和”。师： 看，我们得到了一个重大发现：
13、 n角星”的n角和=下课后同学们也可以用其它方法验证一下这个结论。课堂小结：师：1 这节课主要探究学习了两个知识点：多边形的内角和与外角和公式。2 通过这节课的学习我们还要积累一些解题经验，想一想在哪些方面可以积累一些经验呢？首先，在探究时，多边形的问题可以怎样去解决呢？生：转化为三角形问题来解决。师：对，在探究n边形的内角和时就是把多边形问题转化为三角形问题来解决的。师：利用多边形的内角和公式可以解决什么问题？生：可以计算它的内角和及边数。师：利用多边形外角和可以解决什么问题？生：可以计算内角和及其边数。师：能吗？生： 正多边形的。师：对，忘了一个重要条件，已知一个角，利用外角和可以快速求得
14、正多边形的角和边数。师：好，这节课我们就上到这里，对于还可以继续探究的内容希望有兴趣的同学课下再共同讨论一下。布置作业: 课本第84页第2、4、7题（上一版在第90页）；思考题：某多边形的内角和减去某个角（小于）后度数为，求这个角的度数及多边形的边数。板书设计： 7.3.2多边形的内角和8- 8 -一、内容要点1多边形的内角和等于。 2、多边形的外角和等于。二、应用例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？（详细板书过程）探究1 图形探究2 图形 例2 已知某正多边形一个内角为 ，求它的边数。（简要板书过程）课后反思：本节课教学整体效果很好。该班级学生的程度较好，在探究中能够积极参与活动，思维活跃，想法新颖，使课堂教学充满活力。一系列的课堂练习设置充分调动了学生的参与热情，多数学生学习效果较好，达到了预期目的。个别学生课上有吃力的表现，尽管及时进行了帮助，课下还要及时进行进一步的关注。
